Lingo经济与金融中的优化问题

约束条件
供需平衡： A1+A２+ A３+ A４= x1+x2+x3+x4 供应限制： A1 ，A２， A３， A４ ≤ 2 消费限制： x1，x2，x3，x4 ≤ 2 非负限制： A1,A２, A３, A４, x1,x2,x3,x4 ≥ 0
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模型求解
用LINDO求解，最优解:A1=A2=x1=x2=2, A3=A4=x3=x4=0
目标 市场的清算价格应该是多少？
甲和丙分别生产多少？
乙和丁分别购买多少？
问题 分析
关键是考虑这些运输成本
认为甲乙是一个市场（地区或国家），而丙丁是另一个市场（地区或国家）。关税成 本的存在，两个市场的清算价可能是不同 的 。
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建立 线性 规划 模型
(LP)
决策变 量
甲以1、2、3、4万元的单价售出的产品数量分别是A1 ，A２， A３， A４ （吨）
M
xij S j ,j 1,2,...,N
i1
N
xij c j ,i 1,2,...,M
j 1
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LINGO模型为
MODEL:
TITLE 拍卖与投标;
SETS: ! S,C,B,X的含义就是上面建模时给出的定义;
AUCTION: S;
BIDDER : C;
LINK(BIDDER,AUCTION): B, X;
MAX=@SUM(LINK: B*X); ! 目标函数;
@FOR(AUCTION(J):
! 拍卖数量限制
[AUC_LIM] @SUM(BIDDER(I): X(I,J)) < S(J) );
@FOR(BIDDER(I):
! 投标数量限制;
[BID_LIM] @SUM(AUCTION(J): X(I,J)) < C(I) );
乙以9、4.5、3、2.25万元的单价购买的产品数量分别是x1，x2， x3，x4（吨）
丙以2、4、6、8万元的单价售出的产品数量分别是B 1 ，B ２， B ３， B ４ （吨）
丁以15、8、5、3万元的单价购买的产品数量分别是y1，y2，y3，y4 （吨）
目标函 数
9x1+4.5x2+3x3+2.5x4+15y1+8y2+5y3+3y4 -2BX-1.5AY- A1-
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拍卖与投标问题- 例6.3: 艺术品拍卖问题
招标项目类型 1
2
3
4
5
招标项目的数量 1
2
3
3
4
投标人1 9
2
8
6
3
投标 价格
投标人2
6
7
9
1
5
投标人3 7
8
6
3
4
投标人4 5
4
3
2
1
假设每个投标人对每类艺术品最多只能购买1件 每个投标人购买的艺术品的总数不能超过3件
问哪些艺术品能够卖出去？卖给谁？每类物品的清算价应该是多少？
BX+BY = B1+B２+ B３+ B４
AX+BX=x1+x2+x3+x4
AY+BY=y1+y2+y3+y4
供应限制
消费限制
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非负限制
结果解释
最优解为A1=A2=A3=x1=x2=2, B1=1，B2=3，y1=1，y2=3，y3=3，AX=BY=4， A4=B3=B4=x3=x4=y4=BY=0. AY=2，也即甲将向丁销售2吨产品，丙不会向乙销售
设甲以pk的价格售出的产品数量为Ak (k=1,2,…,K)，乙以qk的 价格购入的产品数量为Xk ( (k=1,2,…,L）。记c0 = d0 =0
L
K
Max qk X k pk A
k 1
k 1
K
L
s.t. Ak X k 0
k 1
k 1
0 Ak ck ck1,k 1,2,...,L
决
汽车在每条道路上的分布将达到均衡状态
策
变
量
共有20个决策变量Y(j)和X(i,j)，(i=2， 3，4；j=AB，AC，
BC，BD，CD）
线性规 划模型
(LP)
如Y（AB）表示道路AB上的总的流量，进一步分解成三部分： 道路AB上的流量不超过2时的流量，用X（2，AB）表示； AB上的流量超过2但不超过3时，超过2的流量部分用X（3，AB）表示； AB上的流量超过3但不超过4时，超过3的流量部分用X（4，AB）表示。
推广:大学生的选课问题
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交通流均衡问题－例6.4: 公路网汽车分布
B
A 居民区
C
每天上班时间有6千辆小汽车要从居民区A前 往工作区D
D 工作区
5条道路上每辆汽车的平均行驶时间和汽 车流量之间的关系见下表
道路
AB
AC
BC
BD
CD
行驶 流量 ≤2
20
52
12
52
20
时间 （分
2< 流量 ≤3
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目标函数
用T(i，j)表示流量X(i，j)对应的堵塞时间
总的堵塞时间 最小
T(i,j)*X(i,j)
i2,3,4，j)关于i是单调增加的，即不断增加的车流只会使以前的堵 塞加剧而不可能使以前的堵塞减缓。故关于决策变量X(i，j)而言， 与希望优化的目标的单调性一致
9
2
4
4.5
4
6
3
6
8
2.25
8
市场的清算价格应该是多少?
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建立线性规划模型(LP)
决策变量
甲以1、2、3、4万元的单价售出的产品数量分别是A1 ，A２， A３， A４ （吨）
目标函数
乙以9、4.5、3、2.25万元的单价购买的产品数量分别是x1，x2， x3，x4（吨）
9x1+4.5x2+3x3+2.5x4 -A1-2A２-3A３-4 A４
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问题分析与假设 实际中可以通过对所有投标的报价进行排序来解决
假设有一个中间商希望最大化自己的例润
设有N类物品需要拍卖，第j类物品的数量为Sj（j=1, 2，…,N）；有M个投标者，投 标者i（i=1，2，…,M）对第j类物品的投标价格为bij（假设非负）。投标者i对每类 物品最多购买一件，且总件数不能超过ci。
0 X k dk dk1,k 1,2,...,M
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两个生产商、两个消费者的情形 －例6.2: 市场清算价格
市场上有两个生产商（甲和丙）和两个消费者（乙和丁）。他们在不同价格下的供应 能力和需求能力为:
生产商（甲） 生产商（丙） 消费者（乙） 消费者（丁）
单价 （万元/ 吨）
1
2A２-3A３-4 A４-2B1-4B２-6B３-8B４
虚拟经销商的总利润最 大
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甲的产量：
决 策
A1，A2，A3，A4
变
量 之
AX AY
间
关 系
乙的销量：
x1，x2，x3，x4
丙的产量： B1，B2，B3，B4
BX BY
丁的产量： y1，y2，y3，y4
约束 条件
供需平衡：AX+AY= A1+A２+ A３+ A４
[ROAD_LIM] @SUM(CAR(J): X(J,I)) = Y(I) ); ! 每条道路的分流量X的上下界设定; @FOR(LINK(I,J)|I#EQ#1: @BND(0,X(I,J),2) ); @FOR(LINK(I,J)|I#GT#1: @BND(0,X(I,J),1) ); END
假设乙的消费能力随价格的变化情况分为L段，即价格位于区间(qk+1,qk]时，消费量最 多为dk,(k=1,2,…,L; q1 >…>qL>qL+1 =0; 0=d0< d1 < d2 <…<dL) ，我们把这个函数关系 称为需求函数（这里它也是一个阶梯函数）
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建立线性规划模型 (LP)
结果解释
思考:供需平衡约束的对偶价格含义 供需平衡约束目前的右端项为0，影子价格为-3。 如果右端项增加一个很小的量，引起的经销商的损失就是这个小量的3倍。
清算价格: 3万元
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模型扩展
假设甲的供应能力随价格的变化情况分为K段，即价格位于区间[pk , pk+1)时，供应量最 多为ck (k=1,2,…,K; 0 < p1 < p2 <…<pK+1 =∞; 0 =c0 < c1 < c2 <…<cK)，我们把这个函数 关系称为供应函数（这里它是一个阶梯函数）
@FOR(LINK: @BIN(X));
! 0-1变量限制;
END
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最优解为：投标人1得到艺术品1、3、4，投标人2、3都得到艺术品2、3、5，投 标人4得到艺术品4、5. 结果，第4、5类艺术品各剩下1件没有成交。
如何才能确定清算价格呢？
约束“AUC_LIM”是针对每类艺术品的数量限制的，对应的影子价格就是其清算价 格：即5类艺术品的清算价格分别是5、5、3、0、0。第4、5类艺术品有剩余，所 以清算价格为0
供应能 单价 力（吨） （万元
/吨）
2
2
供应能 单价 力（吨）（元/
吨）
1
9
需求能 单价 需求能 力（吨） （元/吨）力（吨）
2
15
1
2
4
4
4
4.5
4
3
6
6
8
3
6
4
8
8
12 2.25
8
8
3
5
6
3
10
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甲销售到丁的运输成本是1.5（万元）/吨
丙销售到乙的运输成本是2（万元）/吨
甲、乙之间，丙、丁之间没有运输成本
约 每条道路上的总流量Y等于该道路上的分流量X的和
束 条 件
道路交汇处A、B、C、D(称为节点)的流量守恒（即流入量 等于流出量）
决策变量的上限限制，如 X(2，AB)≤2，X(3，AB)≤1，X
（4，AB）≤1等
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LINGO模型如下：
MODEL: TITLE 交通流均衡; SETS: ROAD/AB,AC,BC,BD,CD/:Y; CAR/2,3,4/; LINK(CAR,ROAD): T, X; ENDSETS DATA: ! 行驶时间; T=20,52,12,52,20
30,53,13,53,30 40,54,14,54,40; ENDDATA [OBJ] MIN=@SUM(LINK: T*X);
! 目标函数;
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! 四个节点的流量守恒条件; [NODE_A] Y(@INDEX(AB))+Y(@INDEX(AC)) = 6; [NODE_B] Y(@INDEX(AB))=Y(@INDEX(BC))+Y(@INDEX(BD)); [NODE_C] Y(@INDEX(AC))+Y(@INDEX(BC))=Y(@INDEX(CD)); [NODE_D] Y(@INDEX(BD))+Y(@INDEX(CD))=6; ! 每条道路上的总流量Y等于该道路上的分流量X的和; @FOR( ROAD(I):
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目标：确定第j类物品的清算价格pj，它应当满足下列假设条件： 成交的第j类物品的数量不超过Sj（j=1，2，…,N）； 对第j类物品的报价低于pj的投标人将不能获得第j类物品； 如果成交的第 j 类物品的数量少于Sj（j=1， 2，…,N），可以认为pj=0 （除非拍卖方另 外指定一个最低的保护价）； 对第j类物品的报价高于pj的投标人有权获得第j类物品，但如果他有权获得的物品超过3 件，那么假设他总是希望使自己的满意度最大（满意度可以用他的报价与市场清算价 之差来衡量）。
1. 经济均衡问题及其应用
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单一生产商、单一消费者的情形 －例6.1: 市场清算价格
市场上有一个生产商（甲）和一个消费者（乙）。对某种产品，他们在不同价格下的 供应能力和需求能力为:
生产商（甲）
消费者（乙）
单价（万元/ 吨）
1 2 3 4
供应能力（吨）单价（元/吨） 需求能力（吨）
2
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用0-1变量xij表示是否分配一件第j类物品给投标者i，即xij=1表 示分配，而xij=0表示不分配。
线性规划模型 (LP)
目标函数
虚拟的中间商的总利润最大 , 即
MN
max bij xij i1 j1
约束条件
(1)每类物品的数 量限制
(2)每个投标人所能分到的物品的数 量限制
如何才能确定清算价格呢？
针对甲的供需平衡条件，目前的右端项为0，影子价格为-3.5，意思就是说如果右端项 增加一个很小的量，引起的经销商的损失就是这个小量的3.5倍。可见，此时甲的销售 单价就是3万元，这就是甲面对的清算价格！
生产商丙面对的清算价格为5。则乙面对的清算价格就是是3.5，丁面对的清算价格就是5， 因为甲乙位于同一个市场，而丙丁也位于同一个市场。这两个市场的清算价之差正好等 于从甲、乙到丙、丁的运输成本（1.5）。
30
53
13
53
30
钟）
3< 流量 ≤4 40
54
14
54
40
这些汽车将如何在每条道路上分布？
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问题分析
交通流的规律:每辆汽车都将选择使自己从A到D运行时间最少 的路线
必然的结果:无论走哪条路线从A到D，最终花费的时间应该是一样的，因为花费时间 较长的那条线路上的部分汽车总会改变自己的路线，以缩短自己的行驶时间
应该投资a股票545455b454545至少可以增值13636430201213最近购买某种产品用行表示的顾客下次购买四种产品的机会概率现有新产品a已有的同类产品bcd市场调查如下表0750100501040201030102040302020303优化建模问题分析模型建立a475优化建模12999791299979优化建模记价格选项分别为h高m中l低对应的效用为jhml
ENDSETS
DATA: ! 通过文本文件输入数据;
AUCTION=@FILE(AUCTION.TXT);
BIDDER =@FILE(AUCTION.TXT);
S=@FILE(AUCTION.TXT);
C=@FILE(AUCTION.TXT);
B=@FILE(AUCTION.TXT);
ENDDATA