勾股定理的三维推广

勾股定理的三维推广
作者：肖敏
来源：《教育教学论坛》2014年第12期
摘要：本文利用计算三角形面积的方法证明了三维空间中的勾股定理。

关键词：勾股定理；直四面体；面积；凌锥的体积
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0236-02
勾股定理“直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2.如何把这一定理推广到三维空间中去呢？首先我们要进行如下的类比：一个三角形包含不在同一直线的三个点，类似的，一个四面体包含不在同一平面上的四个点。

二维空间中一个直角三角形与三维空间中在以同一顶点出发具有三个直角面的四面体类比（图1）。

显然，在这个四面体中以OA、OB、OC为棱的二面角都是直二面角。

图1（a）中直角三角形的边a、b、c的长与图1（b）中四面体中的四个面AOB、BOC、COA、ABC的面积相类比。

直角三角形的斜边c的长可以由两直角边求得，那么如图的直四面体的底面ABC的面积是否可以由其他面的面积求得呢？也就是说二维空间中的直角三角形三边有勾股定理关系，那么在三维空间中的直四面体四个面之间的关系有否类似的勾股定理关系呢？
我们先看特殊情况。

令：OA=OB=OC=2，如图1（b），则直四面体的侧面积相等，且
S△AOB=S△BOC=S△COA=2.底面△ABC是边长为2的等边三角形，其面积为：=2。

显然满足：（△AOB面积）2+（△BOC面积）2+（△COA面积）2=（△ABC面积）2。

再看一般情况：
设AO=n；BO=m；CO=h（图2）。

作OD垂直于BC；设OD=d，
连接AD，作OE垂直于AD；
设OE=x，则根据要求，
只要证明：
（1）
mn+
nh+
mh=（△ABC面积）2。

为求△ABC的面积，可以利用棱锥的体积公式。

（2）（△BOC面积）·n=
mhn=（△ABC面积）·x.
现在d是△BOC的高，于是有：
△BOC面积=mh=d（BC）=d
因此d=，两边平方得：
（3）d2=
因为x是△AOD中AD边上的高的长度，
△AOD的面积dn=x（AD）=x，从而x=，代入（2）得：（mhn）=（△ABC面积）·，约去，并乘以有：△ABC的面积=mh，
（三角形ABC面积）2=m2h2（+1），
以（3）式的d2代入，就得
=n2m2+n2h2+m2h2
（△AOB的面积）2+（△AOC的面积）2+（△BOC的面积）2。

证毕。

从而在三维空间中有这样一个定理：一个直四面体的侧面的面积的平方和等于它底面面积的平方。

这个定理可以看作勾股定理在三维空间中的一个推广。