九年级数学上册上册数学压轴题(培优篇)(Word版 含解析)

九年级数学上册上册数学压轴题（培优篇）（Word 版 含解析）
一、压轴题
1．如图1，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=100，D 是BC 的中点．
小明对图1进行了如下探究：在线段AD 上任取一点E ，连接EB ．将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ，连接BF ，小明发现：随着点E 在线段AD 上位置的变化，点F 的位置也在变化，点F 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）如图2，当点F 在直线AD 上时，连接CF ，猜想直线CF 与直线AB 的位置关系，并说明理由．
（2）若点F 落在直线AD 的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？
（3）当点E 在线段AD 上运动时，直接写出AF 的最小值．
2．问题提出
（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且
2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．
3．如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝3，BC ＝4．
（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边BC 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由． 4．如图①，
O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，
CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．
（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．
（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．
5．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以
1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移
动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．
（1）填空：______＝______，______＝______（用含t 的代数式表示）；
（2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？
（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
6．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米，与地面的距离为y 米，运行时间为t 秒，经过多次测试，得到如下部分数据： t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米
2
4.56
5.84
6
5.84
4.56
2
…
（2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足()
2
56y a x k =-+
①用含a 的代数式表示k ；
②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．
7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与直线y ＝x +3交于点A （m ，0）和点B （2，n ），与y 轴交于点C ．
（1）求m ，n 的值及抛物线的解析式；
（2）在图1中，把△AOC 平移，始终保持点A 的对应点P 在抛物线上，点C ，O 的对应点分别为M ，N ，连接OP ，若点M 恰好在直线y ＝x +3上，求线段OP 的长度； （3）如图2，在抛物线上是否存在点Q （不与点C 重合），使△QAB 和△ABC 的面积相等？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ，作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交
于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4． （1）请直接写出a 的值____________；
（2）若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等， ①求b 的值；
②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴，交抛物线于M 、N 两点，且4QM QN +=，求
c 的取值范围；
（3）若1c b =--，2727b -<<，设线段AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ，将抛物线绕原点逆时针旋转α，且1
tan 2
α=
，此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点，若点D 在点C 上方，请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上，并求CD 的最大值．
9．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，
．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．
（1）求这条抛物线对应函数的表达式；
（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．
（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．
①若点G 到AE 和MF 距离相等，直接写出点G 的坐标．
②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG 和FC 为边做矩形FGDC ，直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值．
10．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.
（1）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，点F ，H 分别在边AB 和CD 上，且1AF DH ==，线段CE 与FH 交于点G ，求证：EF 为四边形AFGE 的相似对角线；
（2）在四边形ABCD 中，BD 是四边形ABCD 的相似对角线，120A CBD ∠=∠=，
2AB =，6BD =，求CD 的长；
（3）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，90A ∠=，8AB =，6AD =，点E 是AB 的中点，点F 是射线AD 上的动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，请直接写出线段AF 的长度（写出3个即可）.
11．矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转至矩形EGCF （其中E 、G 、F 分别与A 、B 、D 对应）．
（1）如图1，当点G 落在AD 边上时，直接写出AG 的长为 ； （2）如图2，当点G 落在线段AE 上时，AD 与CG 交于点H ，求GH 的长；
（3）如图3，记O 为矩形ABCD 对角线的交点，S 为△OGE 的面积，求S 的取值范围．
12．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ； （1）求证：∠ADC+∠CBD ＝
1
2
∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）//CF AB ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF 的最小值为4 【解析】 【分析】
（1）结合题意，根据旋转的知识，得BE EF =，80BEF ∠= ，再根据三角形内角和性
质，得50BFD ∠=；结合AB=AC=4，D 是BC 的中点，推导得CFD BAD ∠=∠，即可完成解题；
（2）由（1）可知：EB=EF=EC ，得到B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心，得∠BCF=
1
2
∠BEF=40°，从而计算得ABC BCF ∠=∠，完成求解； （3）由（1）和（2）知，CF ∥AB ，因此得点F 的运动路径在CF 上；故当点E 与点A 重合时，AF 最小，从而完成求解. 【详解】
（1）∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ∴BE EF =，80BEF ∠= ∴180502
BEF
EBF BFE -∠∠=∠=
= ，即50BFD ∠=
∵AB=AC=4，D 是BC 的中点 ∴BD DC =,AD BC ⊥
∴BF CF =，ABD ACD △≌△ ∴FBD FCD △≌△，100
5022
BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠= ∴50CFD BAD ∠=∠= ∴//CF AB
（2）如图，连接BE 、EC 、BF 、EF
由（1）可知：EB=EF=EC
∴B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心 ∴∠BCF=
1
2
∠BEF=40° ∵50BAD ∠=，AD BC ⊥ ∴9040ABC BAD ∠=-∠= ∴ABC BCF ∠=∠
∴//CF AB ，（1）中的结论仍然成立 （3）由（1）和（2）知，//CF AB ∴点F 的运动路径在CF 上 如图，作AM ⊥CF 于点M
∵8090BEF ∠=<
∴点E 在线段AD 上运动时，点B 旋转不到点M 的位置 ∴故当点E 与点A 重合时，AF 最小 此时AF 1=AB=AC=4，即AF 的最小值为4． 【点睛】
本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解． 2．（1）12；（2）53；（3）202． 【解析】 【分析】
（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.
（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.
（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点
N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】
（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
135BAC ∠=，
180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，
BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，
BD AD ∴=，
在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，
222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，
42AB =
2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，
6AC =，
11
641222
ABC
S
AC BD ∴=
⋅=⨯⨯=．
（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，
D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，
PD PQ ∴=，
PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，
点P 为AB 上的动点，
PC PD CQ ∴+≥，
∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，
点C 为半圆AB 的中点，
90COB ∴∠=，
90BOD COD COB ∠+∠=∠=，
11
903033
BOD COB ∴∠=∠=⨯=，
10AB =，
11
10522
OD AB ∴==⨯=，
在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，
155
,222DH OD QH DH ∴==∴==，
2
222553522OH OD DH ⎛⎫∴=-=-=
⎪⎝⎭
， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，
553,22
OM QH MQ OH ∴==
==
， 515
522
CM OM OC ∴=+=+
=，
2
2
2215535322CQ CM MQ ⎛⎫
⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， PC PD ∴+的最小值为53．
（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交
OB 于点F ，
PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，
,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，
．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，
SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠， E 为OA 上的点，F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥，
∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，
45POA POB AOB ∠+∠=∠=， 45SOA NOB ∴∠+∠=，
454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．
扇形AOB 的半径为20，
20OS ON OP ∴===，
在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=
PE EF FP ∴++的长度的最小值为202
【点睛】
本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.
3．(1)作图见解析；（2）4
9 .
【解析】
试题分析：（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心；
（2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论．
试题解析：（1）如图所示：
①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；②分别以G、H为圆
心，以大于2
3
GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；③过X作OX⊥AB，交直线BD于
点O，则点O即为⊙O的圆心．
（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是
∠ABC 的平分线BM 上的点，如图1，在∠ABC 的平分线BM 上任意确定点P 1（不为∠ABC 的顶点）
∵OX=BOsin ∠ABM ，P 1Z=BPsin ∠ABM ，当BP 1＞BO 时，P 1Z ＞OX 即P 与B 的距离越大，⊙P 的面积越大，这时，BM 与AC 的交点P 是符合题意的、BP 长度最大的点； 如图2，
∵∠BPA ＞90°，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，则E 在边AB 上，
∴以P 为圆心、PC 为半径作圆，则⊙P 与CB 相切于C ，与边AB 相切于E ，即这时⊙P 是符合题意的圆，
时⊙P 的面积就是S 的最大值，
∵AC=1，BC=2，∴AB=5，
设PC=x ，则PA=AC-PC=1-x
在直角△APE 中，PA 2=PE 2+AE 2，
∴（1-x ）2=x 2+（5-2）2，
∴x=25-4；
②如图3，
同理可得：当⊙P 与Rt △ABC 的边AB 和AC 相切时，设PC=y ，则（2-y ）2=y 2+（5-1）2，
∴y=512
； ③如图4，
同理可得，当⊙P 与Rt △ABC 的边BC 和AC 相切时，设PF=z ，
∵△APF ∽△PBE ，
∴PF ：BE=AF ：PE ， ∴
， ∴z=49
． 由①、②、③可知，
49＞512
-＞
∴z ＞y ＞x ， ∴⊙P 的面积S 的最大值为π．
考点:1. 切线的性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.作图—复杂作图．
4．(1)证明见解析；(2)213；(3)
23a 【解析】
【分析】
(1)根据△ABC 是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C ，结合圆周角定理即可证明；
(2)过点A 作AG ⊥BC 于点G ，根据△ABC 是等边三角形，可以得到BG 、AG 的值，由BF ∥AG 可得到AF BG EF EB
=，求出BE ，最后利用勾股定理即可求解； (3)过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知AF BG EF EB =，CG=BG=1122
AC a =，可以得到BM 的值，根据BF ∥AG ，可证得△EBF ∽△EGA ，列比例式求出BF ，从而表示出△OFB 的面积．
【详解】
(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°，
∴∠DEB=∠D ，
∴BD=BE ；
(2)解：如图所示，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，
∵△ABC 是等边三角形，AC=6，
∴BG=11322
BC AC ==，
∴在Rt △ABG
中，333AG BG ==，
∵BF ⊥EC ，
∴BF ∥AG ，
∴
AF BG EF EB
=， ∵AF ：EF=3：2， ∴BE=23
BG=2， ∴EG=BE+BG=3+2=5，
在Rt △AEG 中，()2222335213AE AG EG =+=+=
(3)解：如图所示，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，
由题(2)知AF BG EF EB =，CG=BG=1122
AC a =， ∴3=2
AF BG EF EB =， ∴22113323
EB BG a a =
=⨯=， ∴EC=CG+BG+BE=11142233a a a a ++=， ∴EM=12EC =23
a ， ∴BM=EM-BE=
211333a a a -=， ∵BF ∥AG ，
∴△EBF ∽△EGA ，
∴123=115
32
a BF BE AG EG a a ==+， ∵33AG BG ==，
∴2525
BF a a =⨯=，
∴△OFB 的面积＝
211223BF BM a a ⋅=⨯=． 【点睛】 本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质求解．
5．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .
（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22(5)(2)t t -+＝
25据此求出t 值.
（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值.
【详解】
解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.
（2）由题意得：22(5)(2)t t -+＝25，
解得：1t ＝0，2t ＝2；
当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；
（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下：
长方形ABCD 的面积是：56⨯＝()230cm ，
使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝()24cm ，
()15242
t t -⨯⨯=， 解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．
即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．
【点睛】
本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值.
6．（1）10；（2）10+米；（3）①100k a =-；②不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用表格中数据直接得出网球达到最大高度时的时间及最大值；
（2）首先求出函数解析式，进而求出网球落在地面时，与端点A 的水平距离；
（3）①由（2）得网球落在地面上时，得出对应点坐标，代入计算即可； ②由球网高度及球桌的长度可知其扣杀路线解析式为110
y x =，若要击杀则有(21
10010
a x a x --=
，根据有唯一的击球点即该方程有唯一实数根即可求得a 的值，继而根据对应x 的值取舍可得．
【详解】 （1）由表格中数据可得4t =，（秒），网球达到最大高度，最大高度为6；
（2）以A 为原点，以球场中线所在直线为x 轴，网球发出的方向为x 轴的正方向，竖直运动方向为y 方向，建立平面直角坐标系．
由表格中数据，可得y 是x 的二次函数，且顶点坐标为(10，6)，
可设2(10)6y m x =-+，
将（0，2）代入，可得：125m =-
， ∴21(10)625
y x =--+，
当0y =，得10x =±(负值舍去)，
∴网球落在地面上时，网球与端点A 的距离为10+米；
（3）①由（2）得网球落在地面上时，对应的点为(10+，0)代入
(2
y a x k =-+，得100k a =-；
②不存在． ∵网高1.2米，球网到A 的距离为24122
=米， ∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（12，1.2）点， ∴扣杀路线在直线110
y x =上，
令(2110010a x a x --=，
整理得：2150010ax x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
， 当0=时符合条件， 2
21106200010a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，
解得1a =，2a =． 开口向下，0a ＜，
∴1a ，2a 都可以，
将1a ，2a 分别代入(2110010
a x a x --=，得到得解都是负数，不符合实际． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．
7．（1）y ＝x 2+2x ﹣3，m ＝﹣3，n ＝5；（2）3）存在；Q 点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）把点A （m ，0）和点B （2，n ）代入直线y ＝x +3，解得：m ＝﹣3，n ＝5，A （﹣3，0）、B （2，5），把A 、B 坐标代入抛物线解析式即可求解；
（2）由平移得：PN ＝OA ＝3，NM ＝OC ＝3，设：平移后点P （t ，t 2+2t ﹣3），则N （t +3，t 2+2t ﹣3），M （t +3，t 2+2t ﹣6），根据点M 在直线y ＝x +3上，即可求解；
（3）存在．设：直线AB 交y 轴于D （0，3），点C 关于点D 的对称点为C ′（0，9）按照△QAB 和△Q ′AB 和△ABC 的面积相同即可求解．
【详解】
解：（1）把点A （m ，0）和点B （2，n ）代入直线y ＝x +3，解得：m ＝﹣3，n ＝5， ∴A （﹣3，0）、B （2，5），把A 、B 坐标代入抛物线解析式，解得：a ＝1，b ＝2， ∴抛物线解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3…①，
则C （0，﹣3）；
（2）由平移得：PN ＝OA ＝3，NM ＝OC ＝3，
设：平移后点P （t ，t 2+2t ﹣3），则N （t +3，t 2+2t ﹣3），
∴M （t +3，t 2+2t ﹣6），∵点M 在直线y ＝x +3上，
∴t 2+2t ﹣6＝t +3+3，解得：t ＝3或﹣4，
∴P 点坐标为（3，12）或（﹣4，5），
则线段OP 的长度为：；
（3）存在．
设：直线AB 交y 轴于D （0，3），点C 关于点D 的对称点为C ′（0，9）
过点C 和C ′分别做AB 的平行线，交抛物线于点Q 、Q ′，
则：△QAB 和△Q ′AB 和△ABC 的面积相同，
直线QC 和Q ′C 的方程分别为：y ＝x ﹣3和y ＝x +9…②，
将①、②联立，解得：x ＝﹣1或x ＝3或x ＝﹣4，
∴Q 点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5）．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
8．（1）1；（2）①4b =-；②26c ≤<；（3）D 一定在线段AB 上，
52102
=CD 【解析】
【分析】
（1）根据题意顶点P （k ，h ）可将二次函数化为顶点式：()2
y a x k h =-+，又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，即可得出a 的值； （2）①根据抛物线x=0和x=4时函数值相等，可得到顶点P 的横坐标，根据韦达定理结合（1）即可得到b 的值，
②根据（1）和（2）①即可得二次函数对称轴为x=2，利用点Q （0，2）关于对称轴的对称点R （4，2）可得QR=4，又QR 在直线y=2上，故令M 坐标（t ，2）（0≤t ＜2），代入二次函数即求得c 的取值范围；
（3）由c=-b-1代入抛物线方程即可化简，将抛物线绕原点逆时针旋转αα，且tanα=2，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tanα=2，可得到直线l 的解析式，最后联立直线方程与抛物线方程运算求解．
【详解】
解：（1）根据题意可知1二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的顶点为P （k ，h ），
故二次函数顶点式为()2
y a x k h =-+，
又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，且无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，
∴a=1；
故答案为：a=1．
（2）①∵二次函数当0x =和4x =时的函数值相等 ∴222
b b x a =-=-= ∴4b =-
故答案为：4b =-．
②将点Q 向右平移4个单位得点()4,2R
当2c =时，2
42y x x =-+
令2y =，则2242x x =-+
解得14x =，20x =
此时()0,2M ，()4,2N ，4MN QR ==
∵4QM QN +=∵QM NR =
∴4QN NR QR +==
∴N 在线段QR 上，同理M 在线段QR 上
设(),2M m ，则02m ≤<，224m m c =-+ 2242(2)6c m m m =-++=--+
∵10-<，对称轴为2m =，02m ≤<
∴c 随着m 的增大而增大
∴26c ≤<
故答案为：26c ≤<．
（3）∵1c b =--∴21y x bx b =+--
将抛物线绕原点逆时针旋转α，且tan 2α=，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tan 2α=，
∴l 的解析式为2y x =
221
y x y x bx b =⎧⎨=+--⎩∴2(2)10x b x b +---= ∴222
4(2)448b ac b b b ∆=-=-++=+
∴22
b x -+±=
∴12,22b D b ⎛-+-++ ⎝⎭ 2224412444244AB ac b b b b y k b a ---+-+=+=+==-++
124224AB D b y y b b ⎛⎫-+-=-++-++= ⎪⎝⎭
∵20b ≥
∴14104
D AB y y -=≥==> ∴点1D 始终在直线AB 上方
∵222b C b ⎛-+--+- ⎝⎭
∴22442244B C A b b y y b b ⎛⎫-+---=-+--++= ⎪⎝⎭
∴AB C y y -==
)2216
4-+=
∵b -<<2028b ≤<，
∴4≤<
设n
，4n ≤< ∴2(2)164
AB C n y y --+-= ∵104
-<，对称轴为2n =
∴当4n ≤<时，AB C y y -随着n 的增大而减小
∴当4n =时，0AB C y y -=
∴当4n ≤<时，AB C y y >
∴区域S 的边界与l 的交点必有两个
∵1D AB y y >
∴区域S 的边界与l 的交点D 一定在线段AB 上
∴D AB y y = ∴2(2)164
D C C AB n y y y y --+-=-=
∴当n =D C y y -
有最大值1+
此时12
D C x x +-= 由勾股定理得：
2
CD ==，
故答案为：5102
=
CD ． 【点睛】 本题考查二次函数一般式与顶点式、韦达定理的运用，以及根与系数的关系判断二次函数交点情况，正确理解相关知识点是解决本题的关键．
9．（1）243y x x =-+-；（2）点P 坐标为（－1，－8），（5，－8）；（3）①G 的坐标．3551(
)22，3551(,)225515(22-，5515(22--+；②513t +=或513t -= 【解析】
【分析】
（1）将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，可确定抛物线解析式；
（2）根据A 、B 两点坐标得AB=3-1=2，由三角形面积公式求P 点纵坐标的绝对值，得出P 点纵坐标的两个值，代入抛物线解析式求P 点横坐标；
（3）①根据题意，可分为两种情况进行分析：当点G 在对称轴右侧；当点G 在对称轴左侧；结合图像，分别求出点G 的坐标即可；
②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点G 在对称轴左侧；当点G 在对称轴右侧；结合图像，分别列出方程，求出t 的值即可．
【详解】
解：（1）把点(1,0)A ，(3,0)B 代入抛物线2y x bx c =-++上，
求得：4b =，3c =-，
∴2
43y x x =-+-；
（2）依题意，得312AB =-=，
设P 点坐标为(,)a n ，
当0n >时，则8n =，
故2–438x x +-=，
即24110x x ++=，
∴441111644280∆=-⨯⨯=-=-<2（-）， 方程24110x x -++=无实数根；
当0n <时，则8n =-
故2438x x -+-=-，
即2450x x -+-=，
解得：11x =-，25x =
所求点P 坐标为（－1，－8），（5，－8）．
（3）①分两种情况
当点G 在对称轴右侧，设点G D 的横坐标为m ，则点D 到对称轴的距离为2m -，
∵点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -﹐
当点D 的坐标为(,2)m m -，有
2243m m m -=-+-，
解得：1352m +=，2352
m -=（不符题意舍去）， 此时点D 的坐标为：3551(
,)+-． 当点D 的坐标为(,2)m m -时，有 2243m m m -=-+-，
解得：1552
m +=，255m -=（不符题意舍去）， 此时点D 的坐标为：5515(
,)22
+--． 当点G 在对称轴左侧，设点D 的横坐标为m ，则点D 到对称轴的距离为2m -﹐
因为点D 到x 轴和到对称轴的距离相等所以点D 的纵坐标为2m -或2m -，
分别代入解析式可求出点D 的坐标分别为：3551(
,)22---，5515(,)22--+． 综上所述点D 的坐标为：3551(,)22+-﹐5515(,)22
+--，3551(,)22---，5515(,)22
--+． ②分两种情况
当点G 在对称轴左侧，此时有1EN t =-，2NF t =﹐
因为//EN GF ，点E 为CG 的中点，
所以222GF EN t ==-，
所以点G 的坐标为(42,2)t t --，
将(42,2)t t --代入2
43y x x =-+-中，得 2(42)4(42)3t t t -=--+-2-，
解得：15134
t +=，25134t -=（不合题意舍去）． 当点G 在对称轴右侧，此时有1EN t =-，2NF t =，
因为//EN GF ，点E 为CG 的中点，
所以222GF EN t ==-，
所以点G 的坐标为(42,2)t t --，
将(42,2)t t --代入2
43y x x =-+-中，得 2(42)4(42)3t t t -=--+-2-，
解得：1t =2t =．
综上所述：t =或t =． 【点睛】
本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角形面积公式的运用．关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法，掌握三角形的高与P 点纵坐标的关系，注意运用数形结合和分类讨论的思想进行解题．
10．（1）详见解析；（2）3CD =或3；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）只要证明△EAF ∽△FEG 即可解决问题；
（2）如图3中，作DE ⊥BA 交BA 的延长线于E ．设AE=a ．在Rt △BDE 中，利用勾股定理构建方程求出a ，分两种情形构建方程求解即可；
（3）①当△AFE ∽△EFC 时，连接BC ，AC ，BD ．②当△AFE ∽△FEC 时，作CH ⊥AD 交AD 的延长线于H ，作OM ⊥AD 于M ，连接OA ．③当△AFE ∽△CEF 时，分别求解即可，注意答案不唯一．
【详解】
解：（1）如图1，∵正方形ABCD 中4AB AD CD ===，90A D ∠=∠=，E 为AD 中点
∴2AE ED ==，∵1AF DH ==，∴
12AF DE AE CD == ∴AEF DCE ∆∆∽
∴AEF DCE ∠=∠，AFE DEC ∠=∠ ∵//AF DH ，∴四边形AFHD 为平行四边形
∴AD FH ，∴AEF EFG ∠=∠，DEC EGF AFE ∠=∠=∠
∴AEF EFG ∆∆∽
∴EF 为四边形AFGE 的相似对角线.
（2）如图2，过点D 作DE BA ⊥，垂足为E ，设AE a =
∵120A CBD ∠=∠=，∴60EAD ∠=，∴DE =
∵2AB =，BD =
∴()22236a a ++=
12
a =（负根已经舍弃），
∴1AD =
分为两种情况： ①如图3，当ABD BCD ∆∆∽时，
AD BD BD CD = ∴()
316CD -=，∴333CD =+
②如图4，当ABD BDC ∆∆∽时，
AB BD BD CD
= ∴26CD =，∴3CD =
综上，333CD =+或3
（3）①如图5，∵∠FEC=∠A=90°，∠BEF=∠BEC+∠FEC=∠A+∠AEF ，
∴AFE BEC ∠=∠，AF EF AF AE EC BE
==，∴AFE BEC ∆∆∽，∴90B ∠= 由“一线三等角”得83AF =
.
②如图，当△AFE ∽△FEC 时，作CH ⊥AD 交AD 的延长线于H ，作OM ⊥AD 于M ，连接OA ．
∵△AFE∽△FEC，
∴∠AFE=∠FEC，
∴AD∥EC，
∴∠CEB=∠DAB=90°，
∵∠OMA=∠AHC=90°，
∴四边形AEOM，四边形AECH都是矩形，
∵OM⊥AD，
∴AM=MD=3，
∴AM=OE=3，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=4，
∴OA=22
34
+=5，
∴CE=AH=8，设AF=x，则FH=8-x，CH=AE=4，
由△AEF∽△HFC，可得AF
CH
=
AE
FH
，
∴
4
48
x
x =
-
，
解得x=4，
经检验x=4是分式方程的解，
∴AF=4．
③如图当△AFE∽△CEF时易证四边形AECF是矩形，AF=EC=8．
综上所述，满足条件的AF的长为8
3
或4或8．（答案不唯一）
【点睛】
本题属于圆综合题，考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
11．（1）4﹣32）3
2
；（3）455
【解析】
【分析】
（1）在Rt△DCG中，利用勾股定理求出DG即可解决问题；
（2）首先证明AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣HD＝4﹣m，在Rt△DHC中，根据CH2＝CD2+DH2，构建方程求出m即可解决问题；
（3）如图，当点G在对角线AC上时，△OGE的面积最小，当点G在AC的延长线上时，△OE′G′的面积最大，分别求出面积的最小值，最大值即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝CG＝4，∠D＝90°，
∵AB＝CD＝2，
∴DG＝22
CG-＝22
CD
-＝23，
42
∴AG＝AB﹣BG＝4﹣23，
故答案为:4﹣23．
（2）如图2中，
由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°，
∵点G在线段AE上，
∴∠AGC＝90°，
∵CA＝CA，CB＝CG，
∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．
∴∠ACB＝∠ACG，
∵AB∥CD
∴∠ACG＝∠DAC，
∴∠ACH＝∠HAC，
∴AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣AH＝5﹣m，在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2，
∴m2＝22+（4﹣m）2，
∴m＝5
2
，
∴AH＝5
2
，GH＝22
AH AG
-＝
2
2
5
2
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＝
3
2
．
（3）在Rt△ABC中，2225
AC AB BC
=+=,
1
5
2
OC AC，
由题可知，G点在以C点为圆心，BC为半径的圆上运动，且GE与该圆相切，因为GE=AB 不变，所以O到直线GE的距离即为△OGE的高，当点G在对角线AC上时，OG最短，即
△OGE的面积最小，最小值＝1
2
×OG×EG＝
1
2
×2×（4﹣5）＝4﹣5．
当点G在AC的延长线上时，OG最长，即△OE′G′的面积最大．最大值＝1
2
×E′G′×OG′＝
1
2
×2×（4+5）＝4+5.
综上所述，455
【点睛】
本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.（1）比较简单，掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键；（2）能表示Rt△DHC三边，借助方程思想是解决此问的关键；（2）理解线段GE的运动轨迹，得出面积最小（大）时G点的位置是解决此问的关键.
12．（1）详见解析；（2）详见解析；
【解析】
【分析】
()1根据垂径定理得到BD CD
=，根据等腰三角形的性质得到
()
111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到
ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
()1证明：OD BC ⊥，
BD CD ∴=， CBD DCB ∴∠=∠，
90DFE EDF ∠+∠=，
90EDF DFE ∴∠=-∠，
OD OA =，
()111809022
ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠， 190902
DFE AOD ∴-∠=-∠， 12
DEF AOD ∴∠=∠， DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，
12
ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠； ()2解：OD BC ⊥，
BE CE ∴=，BD CD =，
BD CD ∴=，
OA OD =，
ADO OAD ∴∠=∠，
PA 切O 于点A ，
90PAO ∴∠=， 90OAD DAP ∴∠+∠=， PFA DFE ∠=∠，
90PFA ADO ∴∠+∠=，
PAF PFA ∴∠=∠，
PA PF ∴=．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．。