高考数学大一轮复习 4.2同角三角函数基本关系及诱导公式教师用书 理 苏教版

§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2
α＋cos 2
α＝1. (2)商数关系：sin α
cos α＝tan α.
2．下列各角的终边与角α的终边的关系
3.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( × ) (3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝1
3.( × )
(4)已知sin θ＝
m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π2
，π]，则m <－5或m ≥3.( × ) (5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝
3－12，则tan θ的值为－3或－3
3
.( × ) (6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2
α的值是－1
3
.( √ )
1．已知α是第二象限角，sin α＝5
13，则cos α＝ .
答案 －12
13
解析 ∵sin α＝5
13，α是第二象限角，
∴cos α＝－1－sin 2
α＝－1213
.
2．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π
2，0)，则tan(2π－α)的值为 ．
答案
25
5
解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－2
3，
又α∈(－π
2，0)，
得cos α＝1－sin 2
α＝
53
， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α ＝－sin αcos α＝255
.
3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝ . 答案 －2
3
解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
－α
＝－sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6
－α
＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α＝－23. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2cos π3x ，x ≤2 000，
x －15，x >2 000，则f [f (2 015)]＝ .
答案 －1
解析 ∵f [f (2 015)]＝f (2 015－15)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 2
3
π＝－1.
题型一 同角三角函数关系的应用
例1 (1)已知cos(π＋x )＝3
5，x ∈(π，2π)，则tan x ＝ .
(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2
α－sin αcos α的值是 ．
答案 (1)43 (2)2
5
解析 (1)∵cos(π＋x )＝－cos x ＝35，∴cos x ＝－3
5.
又x ∈(π，2π)， ∴sin x ＝－1－cos 2
x ＝－1－ －35 2＝－4
5
，
∴tan x ＝sin x cos x ＝4
3
.
(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，
即tan α＝2，
∴sin 2
α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2
α－tan αtan 2
α＋1＝2
5
. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2
α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝
tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2
＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2
α＋cos 2
α，sin 2
α＝1－cos 2
α，cos 2
α＝1－sin 2
α.
(1)已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x
sin x －1
的值是 ．
(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝ . 答案 (1)12 (2)2
5
解析 (1)由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1
cos 2
x ＝－1， 故
cos x sin x －1＝12
.
(2)sin θcos θ＝sin θ·cos θ
sin 2θ＋cos 2
θ ＝
tan θtan 2
θ＋1＝222＋1＝2
5
. 题型二 诱导公式的应用
例2 (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫5π6－α的值；
(2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－72π的值．
思维点拨 (1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π
6－α的关系．
(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值．
解 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫5π6－α＝π，
∴
5π6－α＝π－⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α. ∴cos ⎝
⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α
＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α＝－33，
即cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π6－α＝－33.
(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－3
5，
∴cos α＝3
5
.
∴sin(3π＋α)·tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α
＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin α·
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
－αcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
－α
＝sin α·cos αsin α＝cos α＝3
5
.
思维升华 熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．
(1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为 ．
(2)已知sin α
是方程5x 2
－7x －6＝0的根，α
是第三象限角，则
sin －α－32π cos 3
2π－α
cos π2－α sin π
2
＋α
·tan 2
(π
－α)
＝ . 答案 (1)－13 (2)－9
16
解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2
＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.
(2)∵方程5x 2
－7x －6＝0的根为－35或2，
又α是第三象限角，∴sin α＝－3
5
，
∴cos α＝－1－sin 2
α＝－45，
∴tan α＝sin α
cos α＝－35－45
＝34
，
∴原式＝cos α －sin α sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2
α＝－916.
题型三 三角函数式的求值与化简
例3 (1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(π
2
＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是 ．
(2)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1
5，则tan α＝ .
答案 (1)31010 (2)－4
3
解析 (1)2tan(π－α)－3cos(π
2＋β)＋5＝0化简为
－2tan α＋3sin β＋5＝0，①
tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0.② 由①②消去sin β， 解得tan α＝3.
又α为锐角，根据sin 2
α＋cos 2
α＝1， 解得sin α＝310
10
.
(2)因为sin α＋cos α＝1
5
，
所以(sin α＋cos α)2
＝1＋2sin α·cos α＝(15)2，
即2sin α·cos α＝－24
25
，
所以(sin α－cos α)2
＝1－2sin α·cos α＝1＋2425＝4925，
又2sin α·cos α＝－24
25
<0,0<α<π，
所以sin α>0，cos α<0，即sin α－cos α>0，
故sin α－cos α＝
4925＝75
， 由⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＋cos α＝1
5，sin α－cos α＝7
5，得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝4
5，cos α＝－3
5
，
所以tan α＝－43
.
思维升华 在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．
(1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝2
3
，则这个三角形是
三角形(填“锐角”“直角”“钝角”)． (2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0， 则
sin 2π－α ·sin π＋α ·cos π＋α
sin 3π－α ·cos π－α
＝ .
答案 (1)钝角 (2)－25
5
解析 (1)∵(sin α＋cos α)2
＝1＋2sin αcos α＝49，
∴sin αcos α＝－5
18<0，∴α为钝角．
∴此三角形为钝角三角形．
(2)原式＝－sin α· －sin α · －cos α
sin α· －cos α ＝sin α，
∵tan α＝2>0，∴α为第一象限角或第三象限角． 又sin α＋cos α<0，∴α为第三象限角， 由tan α＝sin α
cos α
＝2，
得sin α＝2cos α代入sin 2
α＋cos 2
α＝1， 解得sin α＝－25
5
.
分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用
典例：(1)已知A ＝
sin k π＋α sin α＋cos k π＋α
cos α
(k ∈Z )，则A 的值构成的集合
是 ．
(2)在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝ .
思维点拨 (1)角中含有整数k ，应对k 是奇数还是偶数进行讨论；(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论． 解析 (1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos α
cos α
＝2；
k 为奇数时，A ＝
－sin αsin α－cos α
cos α
＝－2.
∴A 的值构成的集合是{2，－2}．
(2)由已知得⎩⎨
⎧
sin A ＝2sin B ， ①
3cos A ＝2cos B ， ②
①2
＋②2
得2cos 2
A ＝1，即cos A ＝±2
2
， 当cos A ＝
22时，cos B ＝32
， 又A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝π4，B ＝π6，
∴C ＝π－(A ＋B )＝7
12π.
当cos A ＝－
22时，cos B ＝－32
. 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝34π，B ＝5
6π，不合题意．
综上，C ＝7
12
π.
答案 (1){2，－2} (2)7
12
π
温馨提醒 (1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用.
方法与技巧
同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．
1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．
2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)
2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2
θ＋cos 2
θ＝cos 2
θ(1＋tan 2
θ)＝sin 2
θ⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π
4
＝…. 失误与防范
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)
1．α是第四象限角，tan α＝－5
12，则sin α＝ .
答案 －5
13
解析 ∵tan α＝sin αcos α＝－512，∴cos α＝－12
5sin α，
又sin 2
α＋cos 2
α＝1，
∴sin 2
α＋14425sin 2α＝16925sin 2α＝1.
又sin α<0，∴sin α＝－
5
13
. 2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3＋2α＝ .
答案 －7
9
解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π
2
，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1
3
.
则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋α－1＝－79.
3．已知sin(π－α)＝－2sin(π
2＋α)，则sin α·cos α＝ .
答案 －2
5
解析 由sin(π－α)＝－2sin(π
2＋α)得sin α＝－2cos α，
所以tan α＝－2，
所以sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2
α＝－2
5
. 4．已知f (α)＝sin π－α ·cos 2π－α cos －π－α ·tan π－α ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为 ．
答案 12
解析 ∵f (α)＝sin αcos α
－cos α· －tan α
＝cos α，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－25π3 ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12.
5．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π
4对称，则φ的取值是 ．
答案 k π－π
4
(k ∈Z )
解析 ∵y ＝cos x ＋2的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，
∴x ＋φ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π－φ(k ∈Z )，令π4＝k π－φ(k ∈Z )得φ＝k π－π
4(k ∈Z )．
6．如果
sin α
＝
1
5
，且α
为第二象限角，则
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2＋α＝ . 答案
26
5
解析 ∵sin α＝1
5
，且α为第二象限角，
∴cos α＝－1－sin 2α＝－
1－125＝－265， ∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2＋α＝－cos α＝265. 7．已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4
－α)＝ . 答案 －74
解析 由题意可得cos(π4＋α)＝±74，又因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74
，所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74
. 8．化简：sin 2
α＋π ·cos π＋α ·cos －α－2π tan π＋α ·sin 3 π2
＋α ·sin －α－2π ＝ . 答案 1
解析 原式＝sin 2α· －cos α ·cos αtan α·cos 3α· －sin α ＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α
＝1. 9．已知sin θ＝45，π2
<θ<π. (1)求tan θ的值；
(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ
的值． 解 (1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝925
. 又π2<θ<π，∴cos θ＝－35
. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43
. (2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857
. 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3(π2
－θ)＋sin 3(π2－θ)的值．(已知：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)) 解 由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2
－4a ≥0，
∴a ≥4或a ≤0.
又∵⎩
⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
则a 2
－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，
因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.
∴cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)
＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.
B 组 专项能力提升
(时间：25分钟)
1．已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32
π－θ)的值是 ． 答案 －229
解析 ∵sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2
)， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝223
. ∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ
＝－13×223＝－229
. 2．已知2tan α·sin α＝3，－π2
<α<0，则sin α＝ . 答案 －32
解析 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α
＝3， 即2cos 2
α＋3cos α－2＝0，
又－π2
<α<0， 解得cos α＝12
(cos α＝－2舍去)， 故sin α＝－32. 3．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则
sin 3π2＋θ ＋cos π－θ sin π2
－θ －sin π－θ ＝ . 答案 2
解析 由题意可得tan θ＝2，
原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ
＝2. 4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－θ的值是 ． 答案 0
解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－θ＝0. 5．(1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α
的值； (2)化简：tan π－α cos 2π－α sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －α－π sin －π－α
. 解 (1)因为tan α＝13
， 所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2
α2sin αcos α＋cos 2α
＝tan 2α＋12tan α＋1＝23
. (2)原式＝－tan α·cos α· －cos α cos π＋α · －sin π＋α
＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α
＝－1. 6．已知f (x )＝cos 2 n π＋x ·sin 2 n π－x cos 2[ 2n ＋1 π－x ]
(n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式；
(2)求f (π2 014)＋f (503π1 007)的值．
解 (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，
f (x )＝cos 2 2k π＋x ·sin 2 2k π－x cos [ 2×2k ＋1 π－x ]
＝cos 2x ·sin 2 －x cos 2 π－x
＝cos 2x · －sin x 2 －cos x 2 ＝sin 2x ；
当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，
f (x )＝cos 2[ 2k ＋1 π＋x ]·sin 2[ 2k ＋1 π－x ]cos 2{[2× 2k ＋1 ＋1]π－x }
＝cos 2[2k π＋ π＋x ]·sin 2[2k π＋ π－x ]cos 2[2× 2k ＋1 π＋ π－x ]
＝cos 2 π＋x ·sin 2 π－x cos 2 π－x
＝ －cos x 2sin 2x －cos x 2 ＝sin 2x ，
综上得f (x )＝sin 2x .
(2)由(1)得f (π2 014)＋f (503π1 007
) ＝sin
2π2 014＋sin 21 006π2 014 ＝sin
2π2 014＋sin 2(π2－π2 014) ＝sin
2π2 014＋cos 2π2 014＝1.。