《组合数学》测试题含答案

测试题
——组合数学
一、选择题
1. 把101本书分给10名学生，则下列说法正确的是（）
A.有一名学生分得11本书
B.至少有一名学生分得11本书
C.至多有一名学生分得11本书
D.有一名学生分得至少11本书
2. 8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，则不同的排列方法是（）
A.!63⨯
B.!64⨯
C.!66⨯
D.!68⨯
3. 10名嘉宾和4名领导站成一排参加剪彩，其中领导不能相邻，则站位方法总数为（）
A.()4,11!10P ⨯
B.()4,9!10P ⨯
C.()4,10!10P ⨯
D.!3!14-
4. 把10个人分成两组，每组5人，共有多少种方法（）
A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510
B.⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510510 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49 D.⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4949 5. 设x,y 均为正整数且20≤+y x ，则这样的有序数对()y x ,共有（）个
A.190
B.200
C.210
D.220
6. 仅由数字1，2，3组成的七位数中，相邻数字均不相同的七位数的个数是（）
A.128
B.252
C.343
D.192
7. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为（）
A.576
B.504
C.720
D.336
8. 设n 为正整数，则∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n
k k n 02等于（）
A.n 2
B.12-n
C.n n 2⋅
D.12-⋅n n
9. 设n 为正整数，则()
k k n k k n 310
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=的值是（） A.n 2 B.n
2- C.()n 2- D.0 10.设n 为正整数，则当2≥n 时，∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n
k k k 22=()
A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3n
B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21n
C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n
D.22+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n
11.()632132x x x +-中23231x x x 的系数是（）
A.1440
B.-1440
C.0
D.1 12.在1和610之间只由数字1，2或3构成的整数个数为（） A.2136- B.2
336- C.2137- D.2337- 13.在1和300之间的整数中能被3或5整除的整数共有（）个
A.100
B.120
C.140
D.160
14.已知(){}o n n f ≥是Fibonacci 数列且
()()348,217==f f ，则()=10f （） A.89B.110C.144D.288
15.递推关系3143---=n n n a a a 的特征方程是（）
A.0432=+-x x
B.0432=-+x x
C.04323=+-x x
D.0432
3=-+x x
16.已知()⋯⋯=⨯+=,2,1,0232n a n n ，则当2≥n 时，=n a （） A.2123--+n n a a B.2123---n n a a
C.2123--+-n n a a
D.2123----n n a a
17.递推关系()⎩⎨⎧=≥+=-3
12201a n a a n n n 的解为（）
A.32+⨯=n n n a
B.()221+⨯+=n
n n a C.()122+⨯+=n n n a D.()n n n a 23⨯+=
18.设()⋯⋯=⨯=,2,1,025n a n
n ，则数列{}0≥n n a 的常生成函数是（） A.x 215- B.()
2215x - C.()
x 215- D.()2215x - 19.把15个相同的足球分给4个人，使得每人至少分得3个足球，不同的分法共有（）种
A.45
B.36
C.28
D.20
20.多重集{}b a S ⋅⋅=4,2的5-排列数为（）
A.5
B.10
C.15
D.20
21.部分数为3且没有等于1的部分的15-分拆的个数为（）
A.10
B.11
C.12
D.13
22.设n,k 都是正整数，以()n P k 表示部分数为k 的n-分拆的个数，则()116P 的值是（）
A.6
B.7
C.8
D.9
23.设A ，B ，C 是实数且对任意正整数n 都有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=1233n C n B n A n
，则B 的值是（） A.9B.8C.7D.6
24.不定方程1722321=++x x x 的正整数解的个数是（）
A.26
B.28
C.30
D.32
25.已知数列{}0≥n n a 的指数生成函数是()()t t e e t E
521⋅-=，则该数列的通项公式是（） A.n n n n a 567++= B.n n n n a 567+-=
C.n n n n a 5627+⨯+=
D.n
n n n a 5627+⨯-= 二、填空题
1. 在1和2000之间能被6整除但不能被15整除的正整数共有_________个
2. 用红、黄、蓝、黑4种颜色去图n ⨯1棋盘，每个方格涂一种颜色，则使得被涂成红色的方格数是奇数
的涂色方法共有_______种
3. 已知递归推关系()31243321≥-+=---n a a a a n n n n 的一个特征根为2，则其通解为___________
4. 把()3≥n n 个人分到3个不同的房间，每个房间至少1人的分法数为__________
5. 棋盘⨯
⨯
⨯⨯⨯⨯⨯
的车多项式为___________ 6.由5个字母a,b,c,d,e 作成的6次齐次式最多可以有_________个不同类的项。

7.()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∑=k n k k n
k 201=_____________________ 8.求由2个0，3个1和3个2作成的八位数的个数______________
9.含3个变元x,y,z 的一个对称多项式包含9个项，其中4项包含x,2项包含xyz ,1项是常数项，则包含xy 的项数为____________
10．已知()n f 是n 的3次多项式且()10=f ,()11=f ,()32=f ,()193=f ,则()=n f ____________
11.已()k n g ,表示把n 元集划分成k 个元素个数均不小于2的子集的不同方法数，则()2,n g =___________
12.部分数为3且没有等于k 的部分的n-分拆数________________
13.把24颗糖分成5堆，每堆至少有3颗糖，则有___________种分法
三、计算题
1．在1000至9999之间有多少个数字不同的奇数？
2、以3种不同的长度，8种不同的颜色和4种不同的直径生产粉笔，试问总共有多少种不同种类的粉笔？
3、至多使用4位数字可以写成多少个2进制数！（2进制数只能用符号0或1）
4、由字母表L={a,b,c,d,e}中字母组成的不同字母且长度为4的字符串有多少个？如果允许字母重复出现，则由L 中字母组成的长度为3的字符串有多少个？
5、从{1，2，3……9}中选取不同的数字且使5和6不相邻的7位数有多少？
6、已知平面上任3点不共线的25个点，它们能确定多少条直线？能确定多少个三角形？
7、计算数字为1，2，3，4，5且满足以下两个性质的4位数的个数：(a)数字全不相同；(b)数为偶数
8、正整数7715785有多少个不同的正因子（1除外）？
9、50！中有多少个0在结尾处？
10、比5400大并且只有下列性质的数有多少？(a)数字全不相同；(b)不出现数字2和7
11.将m=3761写成阶乘和的形式。

12.根据序数生成的排列(p)=(3214)，其序号是多少？
13.如果用序数法对5个文字排列编号，则序号为117的排列是多少？
14.设中介数序列为（120），向它所对应的4个文字的全排列是什么？
15.按字典序给出所有3个文字的全排列。

16.按递归生成算法，依次写出所有的4个文字的全排列。

17.根据邻位互换生成算法，4个文字的排列4231的下一个排列是什不同的方案?
18.有5件不同的工作任务，由4个人去完成它们，每件工作只能由一个人完成，问有多少种方式完成所有这5件工作？
19.有纪念章4枚，纪念册6本，分送给十位同学，问有多少种分法？如限制每人得一件物品，则又有多少种分法？
20．写出按次序产生的所有从1，2，3，4，5，6中任取2个的组合。

21．给定一个n 边形，能画出多少个三角形使得三角形的顶点为n 边形的顶点，三角形的
边为n 边形的对角线（不是边）？
22．试问（x+y+z ）的6次方中有多少不同的项？
23.如果没有两个相邻的数在同一个集合里，由{1，2，…20}中的数可形成3个数的集合有
多少？
24.试列出重集{2·a,1·b,3·c}的所有3组合和4组合。

25.设{Fn}为fibonna 序列，求出使Fn=n 的所有的n 。

26.试求从1到1000中,不能被4,5或6整除的个数?
27.计算12+22+……+n2
28.设某地的街道把城市分割成矩形方格，每个方格叫它块，某甲从家里出发上班，向东要走过7块，向北要走过5块，问某甲上班的路经有多少条？
29.设n=253273114,试求能除尽数n 的正整数的数目。

30.求（1+x 4+x 8）10中x 20项的系数。

31.试给出3个文字的对称群S 3中的所有元素，并说出各个元素的格式。

32.有一BIBD ，已知b=14,k=3,λ=2,求v 和r 。

33.将39写成∑a i i!(0≤a i ≤i)的形式。

34.8个人围坐一圈，问有多少种不同的坐法？
35.求()()()()10,10103,1032,1021,10C C C C +⋯⋯+++
36.试给出两个正交的7阶拉丁方。

37.在3n+1个球中，有n 个相同，求从这3n+1个球中选取n 个的方案数。

38.用红、黄两种颜色为一个等边三角形的三个顶点着色，问有多少种实质不同的着色方案？
39.在r,s,t,u,v,w,x,y,z 的排列中，求y 居x 和z 中间的排列数。

40.求1040和2030的公因数数目。

41.求1到1000中不被5和7整除，但被3整除的数的数目。

42.求4444321n +⋯⋯+++的和。

43.用母函数法求递推关系08621=+---n n n a a a 的解，已知a 0=0,a 1=1。

44.试求由a,b,c 这3个文字组成的n 位符号串中不出现aa 图像的符号串的数目。

45.26个英文小写字母进行排列，要求x 和y 之间有5个字母的排列数。

46.8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子里，每个盒子最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？
47.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、黑球各3个，从中取出6个球，试问有多少种不同的取法。

48.用b 、r 、g 这三种颜色的5颗珠子镶成的圆环，共有几种不同的方案？
49.n 个完全一样的球放到r （n ≥r ）个有标志的盒中，无一空盒，试问有多少种方案？
50.假设某个凸n 边形的任意三条对角线不共点，试求这凸n 边形的对角线交于多少个点？
51.求()()21432321+++⋯⋯+⨯⨯+⨯⨯=n n n S n 从k 个不同文字中取n 个文字作允许重复的排列，但不允许一个文字连续出现3次，求这样的排列的数目。

52.求下图中从A 点出发到n 点的路径数。

53.n 条直线将平面分成多少个区域？假设无三线共点，且两两相交。

54.四位十进制数abcd ，试求满足a+b+c+d=31的数的数目。

55.两名教师分别对6名学生面试，每位教师各负责一门课，每名学生面试时间固定，6名学生面试时间定于下周一的第1节至第6节课，两门课的面试分别在901和902两个教室进行。

试问共有多少种面试的顺序。

56. 对正六角形的6个顶点用5种颜色进行染色，试问有多少种不同的方案？旋转或翻转使之重合的视为相同的方案。

58.生成矩阵
试求相应的校验矩阵H 。

59.由m 个0，n 个1组成的n+m 位符号串，其中n ≤m+1,试求不存在两个1相邻的符号串的数目。

60.n 个男人与n 个女人沿一圆桌坐下，问两个女人之间坐一个男人的方案数，又m 个女人n 个男人，且m<n ，沿一圆桌坐下求无两个女人并坐的方案数。

61.求由A,B,C,D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数目。

62.求满足下列条件：
40321=++x x x ,2510,205,156321≤≤≤≤≤≤x x x 的整数解数目。

63.求不超过120的素数的数目。

64.试说明A 4群中各置换的不同格式及其个数。

65.已知生矩阵
求下列信息的码字？
（a ） 1110(b)1000(c)0001(d)1101
66.有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第1组的最小数大于另一组的最大数，有多少种取法？
67.设某组织有26名成员，要选一名主席，一名会计，一名秘书，且规定一人不得担任一个以上职务，问有多少种选法？
68.从整数1，2，…，100中选取两个数。

（1）使得它们的差等于7；（2）使得它们的差小于或等于7，各有多少种选取方式？
69.有n 个相同的红球和m 个相同的白球；那么这m+n 个球有多少种不同的排列方式？
70.一个工厂里已装配了30辆汽车，可供选择的设备是收音机、空调和白圈轮胎。

这30辆汽车中，15辆有收音机，8辆有空调，6辆是白圈轮胎，而这三种设备都具有的汽车有3辆，试求这三种设备都不具备的汽车至少有多少辆？
71.数1，2，…，9的全排列中，求偶数在原来位置上，其余都不在原来位置上的错排数目。

72.在等于300的自然数中：（1）有多少个不能被3，5和7整除的数？（2）有多少个能被3整除，但不能被5和7整除的数？
73.求下列数值函数的生成函数：
（1）r r c a =(r=0，1，2，…)，其中C 为实数。

(2)()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=r q a r r 1，（r=0,1,2,…）,其中a 为正整数。

74.求下列生成函数的数值函数：其中()()2265x x x x A +-=
75.用生成函数求下式之和：()()().2121n n n n n ++∙+∙ 76.一个人上楼梯，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，令n a 表示有n 个台阶时的上楼方式数，写出n a 的递推关系，并求解之。

77.利用特征方程法解递推关系：
78.求下列递推关系的特解n n n n a a a 22321=+---
79.1)求小于10000的含1的正整数的个数2)求小于10000的含0的正整数的个数。

80．在100名选手之间进行淘汰赛(即一场的比赛结果，失败者退出比赛),最后产生一名冠军，问要举行几场比赛？
81.计算[1,n]的无重不相邻组合()r n C ,的计数问题
82.某保密装置须同时使用若干把不同的钥匙才能打开。

现有７人，每人持若干钥匙。

须４
人到场，所备钥匙才能开锁。

问①至少有多少把不同的钥匙？②每人至少持几把钥
匙？
83.凸10边形的任意三个对角线不共点，试求这凸10边形的对角线交于多少点？又把所有
对角线分割成多少段？
84.在5个0，4个1组成的字符串中，出现01或10的总次数为4的，有多少个?
85.整数n 拆分成1，2，3，…，m 的和，并允许重复，求其母函数。

??
86.某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇1次，1人也没有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议？
87.给出下列等式的组合意义：
（a ）()m k n k l n l m k n m n l m
l ≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∑=,10
(b)
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⋯⋯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+l m l m m l m m l m m l m m l m l 12111 88. 将正整数10写成3个非负整数321,,n n n 的和，要求6,4,3321≤≤≤n n n ，有多少种不同的写法？
89.计算母函数()()()2
3121x x x x G +++=的头6项。

90.红、白、黑三色球各8个，现从中取出9个，要求3种颜色的球都有，问有多少种不同取法？ 91.求序列()()()()()n n c n c n c n c n ,1,,2,,1,,0,-⋯⋯-的母函数。

92.解递归关系2,0,0102===+-a a a a n n
93. 求下列表达式中求出50a 的值
94.设r a 是掷两个骰子时和为r 的方式数，其中第一个骰子的点数为偶数，第二个骰子的点数为奇数，求序列{}⋯⋯210,,a a a 的母函数。

95.有多少棵有n 个顶点的二叉数？
96．求下式之和
97．展开多项式()4
321x x x ++ 98.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有多少种方案。

99.试求n 个完全一样的骰子掷出多少种不同的方案？
100.写出全部部分数最小的19-完备分拆
101.已知()()n
n n f -+=2，求()n f k ∆ 102.求方程
1742321=++x x x 的非负整数解的个数。

四、证明题
1.证明：{1,2,…,n}的全排列的最大逆序数是n(n-1)/2。

试确定具有n(n-1)/2个逆序的唯一排列。

2.证()()()1,1,1++=-r n c r r n nc ．并给出组合意义.
3.n 个完全一样的球，放到r 个有标志的盒子，n ≥r ，要求无一空盒，试证其方案数为()1,1--r n c .
4.试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数．
5.试证明：()()()()1,1,,1,0++=+⋯⋯++m n c m n c m c m c
6. 证明：(C(n,0))2+(C(n,1))2+…+(C(n,n))2=C(2n,n)
7. 证明：若121==F F ,21--+=n n n F F F (n>2)，则
其中α=（1+√5）/2，β=（1-√5）/2
8. N 个代表参加会议，试证其中至少有两个人各自的朋友数相等。

9. 证明：()()6/12121222++=+++n n n n
10. 证明：()n n 2/!2是整数。

11. 证明：在边长为1的等边三角形内任取5点，试证至少有两点的距离小于1/2。

12.证明：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+110111n n n n n F F F F 其中n F 定义为：121==F F ，21--+=n n n F F F
13.任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。

14.在边长为1的正方形内任取5
2。

15.若H 是群G 的子群，试证：|xH|=K,其中K ＝|H|，x ∈G 。

16.二维空间的点（x,y ）的坐标x 和y 都是整数的点称为格点。

任意5个格点的集合A ，试证A 中至少存在两个点，它们的中点也是格点。

17.证明：在由字母表{0，1，2}生成的长度为n 的字符串中，0出现偶数次的字符串有（3n +1）/2个。

18.试证任意r 个相邻的正整数的连乘积（n+1）(n+2)…(n+r)必被r!除尽。

19.证明：()()()()()()()n m c n m c n m c n m c m c n m c m c n ,20,,1,11,,0,=-+⋯⋯+--+
20.证明()()()12,2,21,-=+⋯⋯++n n n n nc n c n c
21.任取5个整数，试求其中必存在3个数，其和能被3整除。

22.若H 是群G 的子群，x 和y 是G 的元素。

试证xH ∩yH 或为空集，或xH=yH.
23.令S={1，2，…，n+1},n ≥2,(){}z y z x S z y x T <<∈=,,,, 试证：()()3,122,1......21222+++=+++=n C n C n T 。

24.证明：任何K 个相继的正整数之积，必是r 的倍数，其中r=1，2，…，K 。

25.求证：()221++n n =()()()n n n n n n 212212-+++。

26.使用二项式定理证明()k n k n
k n 20=∑=,试推广到任意实数r ，求()k n k n
k r 0
=∑。

27.证明C B A C B C A B A C B A C B A +---++=
28.证明任何k 个相继正整数中，有一个必能被k 整除。

29.证明在小于或等于2n 的任意n+1个不同的正整数中，必有两个是互等的。

30.证任一正整数n 可唯一地表成如下形式:,0≤a i ≤i,i ＝1,2,…。

31.对于给定的正整数n,证明当
时，()k n C ,是最大值。

32.证明在由字母表{0,1,2}生成的长度为n 的字符串中,0出现偶数次的字符串有个；
33.设有三个7位的二进制数：7654321a a a a a a a ，7654321b b b b b b b ，7654321c c c c c c c 。

试证存在
整数i 和j ，71≤≤≤j i ，使得下列之一必定成立，j i j i j i j i j i j i c c b b c c a a b b a a =========,,。

34.证明：在n 阶幻方中将每个数码a 换成a n -+12，所得的阵列仍是一个n 阶幻方。

（注：所谓幻方是指一个n n ⨯方阵，其中的元素分别是22,1n ⋯⋯，且每列的元素和均相等）
35.证明：把有n 个元素的集合s 划分为k 个有序集合的个数等于n k
36.试证明：()()()1,,111/10<-+-=+∑∞=x x k k n c x k k
k n
37.证明：如果在边长为1的等边三角形内任取10个点，则必有2个点，它们的距离不大
于1/3。

测试题答案
——组合数学
一、选择题
1.D
2.C
3.A
4.C
5.A
6.D
7.A
8.B
9.C10.C
11.B12.C13.C14.A15.C16.B17.D18.A19.D20.C
21.C22.B23.D24.B25.D
二、填空题
1. 267
6.210
7.0
8.420
9.2
10.135223++-n n n
11.121
---n n 12.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21232k n n 13.23
三、计算题
1、 在1000至9999之间的数都是4位数。

我们可以先选个位，再选千位，百位和十位。

因为我们要的数是奇数，所以个位数字可以是1，3，5，7，9中的任何一个，即有5种选择。

选定个位数之后，十位就只有8种选择了。

百位也只有8种选择，而十位则只有7种选择，因此应用乘法原则，问题的答案是5×8×8×7=2240种。

2、 在这个问题中，我们要计算的是组合数，因为粉笔的特性与上面三种数的顺序无关，利用乘法法则可知共有3×8×4=96种不同种类的粉笔。

3、 因为2进制数必须考虑其数字的次序，故要计算的是排列问题。

有4种选择要做，并且每种都可以独立地选择0或1，于是有2×2×2×2=24=16种至多4位数字的2进制数，它们分别是{0，1，10，11，100，101，111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111}
4、 从5个字母中选取4个组成的字符串共有p(5,4)=5×4×3×2=120种。

如果允许字母重复出现，则长度为3的字符串共有5×5×5=125种。

5、 可以这样考虑：在9个数字中不重复地选取7个作排列共有()7,9P 种，其中出现5和6相邻的排列
数共有()5,762P ⨯⨯种，因为出现5和6相邻的排列可看成是从1，2，3，4，7，8，9七个数中选5个排列后，将56或65插入到这5个数的6个间隔位置上（数前、数后及两个数字之间的间隔共6个位置），所以包含相邻的5和6的7位数共有()5,762P ⨯⨯，于是所求数的个数为
()()1512005,7627,9=⨯⨯-P P 。

6、 因为任3点均不共线，所以25个点中每两个点组成一条直线，每3个点了构成一个三角形，所以
共有()3002,25=C 条直线和()23003,25=C 个三角形。

7、 因为所求的数为偶数，所以个位只有2种选择：2或4。

因为4位数字全不相同，所以乘余3位数
只能是1，2，3，4，5中去掉用于个位数的数字之后的4个数字的3排列，可是共有2×P(4,3)=24个这样的数。

8、 因为1175377157853
2
4
⨯⨯⨯=，所以共有()()()()119111131214=-++++个不同的正因子
9、因为在1到50中共有10个数含有因子5而这10个数中又有2个包含有因子25。

因此50！中含有10+2=12个5因子，显然50！中至少含有12个因子2，因为在1到50这50个数中有25个是偶数所以50！中含有12个因子10，即50！在结尾处有12个0。

10、符合条件的数可分成以下几类：
（1）8位数：共有7×P （7，7）=35280个
（2）7位数：共有7×P （7，6）=35280个
（3）6位数：共有7×P （7，5）=17640个
（4）5位数：共有7×P （7，4）=5880个
（5）4位数：8位数>5的有3×P （7，3）=630个
8位数=5，百位数>4的有4×P （6，2）=120个
8位数=5，百位数=4的有P （6，2）=30个
所以符合条件的数共有94860个 11.3761=5·6!+5!+4!+2·3!+2!+1
12.因为和(p)=(3214)对应的中介数是（021），所以（p ）的序号为m=0·3!+2·2!+1=5,即(p)是第5个排列 13.因为117=4·4!+3·3!+2!+1，则中介数为（4311），所以序号为117的5个文字的全排列为54231。

14.因为a1=0,所以2在1的右边，a2=2，所以3在1和2的左边,a3=1，所以4在2的前面且在3和1的后
面，因此所对应的排列为3142。

15.123，132，213，231，312，321
16.1234124314234123
1324134214324132
3124314234124312
2134214324134213
2314234124314231
3214324134214321
17.排列4231的下一个排列是4213。

18.因为5件工作中的每一件工作都可由4个人中的任一人完成，因此每件工作有4种分配方法，所以总共有4×4×4×4×4=1024种完成任务的方案。

19.因为没有限制一个同学可得纪念章和纪念册的个数，所以将4枚纪念章分给十个同学的方法有C （10+4-1,4）=C(13,4),将6本纪念册分给十个同学的方法有C（10+6-1，6）=C（15，6），所以若有C （13，4）、C（15，6）种方案。

20.如果限制每人得1件物品，则共有10！/（4！6！）12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56
21.因为n边形的每个顶点有n-3条对角线，要使另一边也是对角线，则选中的两条对角线不能相邻，于是相当于在n-4条对角线中选2条对角线作三角形的两边，另一条边即为此二对角线顶点的连线。

所以共有C(n-4,2)个这样的三角形，有n个顶点，共有n·c(n-4,2)个三角形。

但这里有重复，因为每一个满足条件的三角形在三个顶点处重复了3次，所以真正不同的三角形只有n·c(n-4,2)/3.例如，6边形中可以找出6·c(2,2)/3=2个这样的三角形。

22.共有C（3+6-1,6）=C(8,6)=C(8,2)=28项。

23.因为可以在{1,2,…,18}中任取3个的组合同在{1,2,…,20}中任取3个没有相邻的数组成的集合之间建立起一一对应关系,所以答案是C(18,3)=816
24.{c,c,c},{b,c,c},{a,c,c},{a,b,c},{a,a,c},{a,a,b}，共6个3组合，
{a,c,c,c},{b,c,c,c},{a,b,c,c},{a,a,c,c},{a,a,b,c}共5个4组合。

25.F1=1,F5=5
26.因为能被4整除的有10000/4=2500，能被5整除的有1000/5=2000，能被6整除的有10000/6=1666，能同时被4，5整除的有10000/20=500，能同时被4，6整除的有10000/24=416，能同时被5，6整除的有10000/30=333，能同时被4，5，6整除的有10000/120=83，所以符合要求的有10000-（2500+2000+1666）+（500+416+333）-83=5000（个）
27.因为k2=2C(k,2)+C(k,1)=2×k(k－1)/2+k=k2
所以12+22+……+n2=2(C(1,2)+C(2,2)+……+C(n,2))+C(1,1)+C(2,1)+……+C(n,1)
=2×C(n+1,3)+C(n+1,2)
=2×(n+1)n(n －1)/(3×2)+(n+1)n/2
=n(n+1)(2n+1)/6
28.N=C(7+5,7)=C(7+5,5)=C(12,5)=792
一般情况N=C(m+n,n)
29.N=(1+5)(1+2)(1+3)(1+4)=360
30. 令x 4
=y,则x 8
=y 2
,x 20
=y 5
,于是（1+y+y 2
）
10
中y 5项的系数N 即为(1+x 4+x 8)10中x 20
项的系数，而
y 5
=y?y ·y ·y ·y=y ·y ·y ·y 2
=y ·y 2
·y 2
，于是
N=C(10,5)+c(10,3)c(7,1)+c(10,1)·c(9,2)=1326
31S 3={(1)(2)(3),(23),(12),(13),(123),(132)}
(1)(2)(3)的格式是(1)3
(23),(12),(13)的格式是(1)1
(2)2
(123),(132)的格式是(3)1
32因为bk=vr,r(k-1)=λ(v-1),已知b=14,k=3,λ=2
所以14×
3=vr 即时
vr=42
求得v=7 r(3-1)=2(v-1)2r=2(v-1)r=6 33.39=4!+2?3!+2!+1!=24+12+2+1 34. N=7!=5040
35. 因为C(n,1)+2C(n,2)+…+nC(n,n)=n ?2n-1
所以C(10,1)+2C(10,2)+…+10C(10,10)=10?2
10-1
=5120
36.
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6543217543217643217653217654217654317654327654321和⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛54321763217654
17654326543217
4321765
21765437654321
37.N=C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+…+C(2n+1,2)+…+C(2n+1,n)
=2(C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+…+C(2n+1,n))/2
=(C(2n+1,0)+C(2n+1,2n+1)+C(2n+1,1)+C(2n+1,2n)+…+C(2n+1,n)+C(2n+1,n+1))/2 =2
2n+1
/2=22n =4n
38. N=(23+2??????21
+3???22
)/6=4 39. 解：N=2?7！=10080
40. 解：∵M=gcd(1040
,2030
)=240
?530
,∴N=(40+1)(30+1)=1271
41. 解：N=int(1000/3)-int(1000/15)-int(1000/21)+int(1000/105)=333-66-47+9=229
42.解：∵△S n =S n+1-S n =(n+1)4
∴可设S n =A?C(n,0)+B?C(n,1)+C?C(n,2)+D?C(n,3)+E?C(n,4)+F???C(n,5),于是可知： A=0解得：A=0
A+B=1B=1
A+2B+C=17c=15
A+3B+3C+D=98D=50
A+4B+6C+4D+E=354E=60
A+5B+10C+10D+5E+F=979F=24
所以S n=C(n,1)+15C(n,2)+50C(n,3)+60C(n,4)+24C(n,5)
=(n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1))/30
43．解：特征函数为x2-6x+8=0,x1=2,x2=4,所以可设
a n=A?2n+B?4n,于是a0=0=A+B解得A=-1/2
a1=1=2A+4BB=1/2
即a n=(4n-2n)/2
44．解：设a n为n位符号串中不出现aa图像的符号串的个数，
则a n=2a n-1+2a n-2,即a n－2a n-1－2a n-2＝０，a1=3,a2=8，由此知a0=1。

特征方程为x2-2x-2=0,x1=1+√3,x2=1-√3，可设
a n=A(1+√3)n+B(1-√3)n,于是有a0=1=Ａ＋Ｂ
a1=3=(1+√3)A+(1-√3)B
解此方程组得Ａ=(３＋2√3)/6
B=(３-2√3)/6
a n=[(３＋2√3)(1+√3)n+(３-2√3)(1-√3)n]/6
45．解：M=2?20!?5!?C(24,5)=40?24!
46.解：如图_0_0_0_0_0_,3个空盒可插在两个球之间,共有C(6,3)=20种方案,5个有标志的球共有5!种排
序,所以总计有M=20?5!=2400种排列方案。

47.解：母函数为G(x)=(1+x+x2)4(1+x+x2+x3)3,其中x6的系数为
M=1?10+4?12+10?12+16?10+19?6+16?3+10?1=510,因为
G(x)=(1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8)×
48.解：运动群G={(1)(2)(3)(4)(5),(12345),(13524),(14253),(15432),(1)(25)(34),(2)(13)(45),(3)(24)(15),(4)(35 )(12),(5)(14)(23)}={p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10}
c(p1)=5,c(p2)=c(p3)=c(p4)=c(p5)=1,c(p6)=c(p7)=c(p8)=c(p9)=c(p10)=3,m=3,
|G|=10,据P?lya定理,M=(1/|G|)?(m c(p1)+m c(p2)+m c(p3)+。

+m c(p10))=(1/10)（35+4?31+5?33）
=(1/10)（243+12+45）=30。

49．Ｃ（ｎ－１，ｒ－１）
将ｎ个球排成一行，两球之间有一间隔，共有ｎ－１个间隔。

在此ｎ－１个间隔中任取ｒ－１个，将ｎ个球分成ｒ段，将第ｉ段的球（其中至少有１球）放入第ｉ个盒子，所以共有Ｃ（ｎ－１，ｒ－１）种方案。

50.Ｃ（ｎ，４）
凸ｎ边形有ｎ个顶点，任取其中４个顶点可以组成一个凸４边形，该４边形的两条对角线有一个交点，所以凸ｎ边形的对角线交于Ｃ（ｎ，４）个交点（根据假设，没有３条对角线相交于一点）。

51.Ｓｎ＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）／４
Ｓｎ＝１·２·３＋２·３·４＋．．．＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）
＝３！（１·２·３／３！＋２·３·４／３！＋．．．＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／３！）
＝３！（Ｃ（３，３）＋Ｃ（４，３）＋．．．＋Ｃ（ｎ＋２，３））
＝３！（Ｃ（３，０）＋Ｃ（４，１）＋．．．＋Ｃ（ｎ＋２，ｎ－１））
＝３！Ｃ（ｎ＋３，ｎ－１）
＝３！Ｃ（ｎ＋３，４）
＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）／４
52.ａｎ＝（ｋ／（２（ｋ－１））＋ｋ／（２·ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））·
（（ｋ－１＋ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２）ｎ
＋（ｋ／（２（ｋ－１））－ｋ／（２·ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））·
（（ｋ－１－ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２）ｎ
假设从ｋ（ｋ＞１）个不同文字取出ｎ个（可以重复）作排列，但不允许一个文字连续出现３次的排列所组成的集合为Ａｎ，则所求排列数ａｎ＝｜Ａｎ｜。

将Ａｎ中的字符串按最后一个文字可以分成两类：一类是最后一个文字同其前一个文字不相同的那些字符串，共有（ｋ－１）ａｎ－１个（最后一位有ｋ－１种选择，而前ｎ－１位是没有一个文字连续出现３次的字符串），另一类是最后两个文字相同，但与倒数第３个文字不相同的字符串，共有（ｋ－１）ａｎ－２个，所以有递推关系
ａｎ＝（ｋ－１）ａｎ－１＋（ｋ－１）ａｎ－２（
而ａ１＝ｋ，ａ２＝ｋ２，ａ３＝ｋ３－ｋ＝ｋ（ｋ－１）（ｋ＋１
递推关系的特征方程为
ｘ２－（ｋ－１）ｘ－（ｋ－１）＝０
其根为：
α１＝（ｋ－１＋ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２
α２＝（ｋ－１－ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２
于是知ａｎ＝Ａ１α１ｎ＋Ａ２α２ｎ
由于ａ１＝ｋ，ａ２＝ｋ２，由递推关系知ａ０＝ｋ／（ｋ－１），所以
ａ０＝ｋ／（ｋ－１）＝Ａ１α１０＋Ａ２α２０Ａ＝Ａ１＋Ａ２
ａ１＝ｋ＝Ａ１α１１＋Ａ２α２１＝Ａ１（ｋ－１＋ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２
＋Ａ２（ｋ－１－ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２解得
Ａ１＝（ｋ／（２（ｋ－１））＋ｋ／（２·ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））
Ａ２＝（ｋ／（２（ｋ－１））－ｋ／（２·ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））
所以
ａｎ＝（ｋ／（２（ｋ－１））＋ｋ／（２·ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））·
（（ｋ－１＋ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２）ｎ
＋（ｋ／（２（ｋ－１））－ｋ／（２·ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））·
（（ｋ－１－ｓｑｒｔ（（ｋ－１）（ｋ＋３）））／２）ｎ
53.f（n）＝（（（１＋√５）／２）n＋1－（（１－√５）／２）n＋1）／√５
假设从A（编号为０）到编号为i的顶点有f（i）条路径，则f（１）＝１，f（２）＝２，当i＞2时，f（i）＝f（i-1）＋f（i－2），由此知f（０）＝f（A）＝１。

当i＝n时，f（n）＝f（n-1）＋f（n －2）,即f（n）－f（n-1）－f（n－2）＝０。

其特征方程为：
x2－x－1=0，它的两个根分别为：α１＝（１＋√５）／２，α２＝（１－√５）／２。

于是知f（n）＝Ａ１α１ｎ＋Ａ２α２ｎ，根据
f（０）＝１＝A1＋A2
f（１）＝１＝A1（１＋√５）／２＋A2（１－√５）／２，
解得
A1＝（１＋√５）／（２√５），A2＝（１－√５）／（２√５）
所以，
f（n）＝（（（１＋√５）／２）n＋1－（（１－√５）／２）n＋1）／√５＝F（n＋1）
其中F（n）为第n个Fibonacci数。

54.a n＝（n2＋n＋２）／２
设n条符合条件的直线将平面分成a n个区域，那么n－１条直线可将平面分成a n－１个区域，而第n条直线与前n-1条直线均相交，有n－１个交点，因此第n条直线被分成n段，而每一段对应一个新增的区域，所以有a n＝a n－１＋n，即a n－a n－１＝n。

于是
a n－１－a n－２＝n－１，由此得a n－２a n－１＋a n－２＝１，同样有a n－１－２a n－２＋a n－３＝１，故得a n－３a n－１＋
３a n－２－a n－３＝０，其特征方程为x3－３x2＋３x－1＝０，解此方程得α＝α１＝α２＝α３＝１，所以
a n＝（A0＋A1n＋A2n2）αn＝A0＋A1n＋A2n2，而
a0＝１＝A0
a1＝２＝A0＋A1＋A2
a２＝４＝A0＋２A1＋４A2
解得
A0=1
A1=1/2
A2=1/2
由此知
a n＝（n2＋n＋２）／２
55、56
因为x1＋x2＋x3＋x４＝31,x i≥0（i＝１，２，３，４）的整数解共有C（4+31-1，31）＝C（34，３）＝34·33·32/6＝5984（个）。

再考虑x1＋x2＋x3＋x４＝31,x i≥１0（i＝１，２，３，４）的整数解的个数。

令N为全体非负整数解，则｜N｜＝5984。

令A i(i＝１，２，３，４)为其中x i≥１0的解集合。

则｜A1｜即为（x1＋10）＋x2＋x3＋x４＝31，也就是x1＋x2＋x3＋x４＝21的非负整数解的个数。

所以，
｜A1｜＝C（４＋21－１，21）＝C（24，3）＝24·23·22/6＝2024。

同理可知
｜A２｜＝｜A３｜＝｜A４｜＝｜A1｜＝2024。

类似地，
｜A i∩A j｜＝C（4＋11－１,11）＝C（14，3）＝14·13·12/6＝364（１≤i<j≤4），
｜A i∩A j∩A k｜＝C（4＋1－１，1）＝C（4，1）＝4（１≤i<j<k≤4），而
｜A１∩A２∩A３∩A４｜＝０。

根据容斥原理，a＋b＋c＋d＝31，０≤a，b，c，d≤９的整数解个数等于
｜?１∩?２∩?３∩?４｜＝
｜N｜－４｜A１｜＋C（4，2）｜A１∩A２｜－C（4，3）｜A１∩A２∩A３｜＋
｜A１∩A２∩A３∩A４｜
＝5984－4·2024＋6·364—4·4＋0＝56
56.190800
假设６个学生参加第１位教师的面试的顺序为１、２、３、４、５、６（即对第１个面试的学生编号１，．．．，对第６个面试的学生编号６），那么，这６个学生参加第２位教师的面试的顺序必定是１、２、３、４、５、６的一个错排。

不然，就有至少一个学生要同时参加两为教师的面试。

于是面试方案总数为
6!D6＝6!6!（1－1＋1/2!－1/3!＋1/4!－1/5!＋1/6!）＝6!256＝190800
57.1505
对应于旋转与翻转的运动群的置换为：
p1（不动）（1）（2）（3）（4）（5）（6）格式为（１）６
p2（逆时针旋转60o）（123456）格式为（６）１
p3（逆时针旋转120o）（135）(246）格式为（3）2
p4（逆时针旋转180o）（14）（25）（36）格式为（2）3
p5（逆时针旋转240o）（153）（264）格式为（3）2
p6（逆时针旋转300o）（654321）格式为（６）１
p7（沿14轴翻转）（1）（4）（26）（35）格式为（1）2（２）2
p8（沿25轴翻转）（2）（5）（13）（46）格式为（1）2（２）2
p9（沿36轴翻转）（3）（6）（15）（24）格式为（1）2（２）2
p10（沿12边54边中线翻转）（12）（36）（45）格式为（２）３
p11（沿23边56边中线翻转）（14）（23）（56）格式为（２）３
p12（沿16边34边中线翻转）（16）（25）（34）格式为（２）３
所以，总方案数为
l＝（56＋2·51＋2·52＋4·53＋3·54）/12＝18060/12＝1505
58．
因为
而
59.Ｃ（m＋１，ｎ）
将ｍ个０排成一行，两个０之间有一间隔，共有ｍ＋１（≥ｎ）个间隔（包括头尾处的间隔）。

在此ｍ＋１个间隔中任取ｎ个插入１，则所得符号串满足要求，所以共有
Ｃ（ｍ＋１，ｎ）个这样的符号串。

60.（ｎ－１）！ｎ！，（ｎ－１）！ｎ！／（ｎ－ｍ）！
先让ｎ个男人围坐一圈，共有（ｎ－１）！种坐法。

对应于每一种坐法，有n个间隔，将n个女人排成一行插入这n个间隔中，有n!种方案，所以共有（n—1）!n!种不同的坐法。

若只有m（m<n）个女人，则在n个间隔中任取m个排列，将m个女人插入这n个间隔中，有P（n，m）＝n!/（n-m）!种方案，所以共有（n-1）!n!/（n-m）!种不同的坐法。

61．ａｎ＝4ｎ-√3（2+√3）n+1/6+√3（2-√3）n+1/6
设长度为n的由A、B、C、D组成的允许重复的排列中AB至少出现一次的排列所组成的集合为S n,又设ａｎ＝｜Sｎ｜。

而AB一次也不出现的排列所组成的集合为B n,又设bｎ＝｜Bｎ｜。

可将Sｎ中的所有排列按AB出现的位置分为两类：一类是在前n-1位中均未出现AB，它仅出现在最末两位，则这种排列共有b n-2个。

另一类是在前n-1位中已出现AB,而最后一位可以是A、B、C、D中的任一个，所以这类排列共有4a n-1个，于是知ａｎ＝4a n-1+b n-2，而ａｎ+b n=4n，即aｎ-2+b n-2=4n-2，也就是b n-2=4n-2-aｎ-2，
由此知ａｎ＝4a n-1+4n-2-aｎ-2，即ａｎ-4a n-1+aｎ-2=4n-2，可推知4(ａｎ-1-4a n-2+aｎ-3)=4n-2
于是得ａｎ-8a n-1+17aｎ-2-4a n-3=0，其特征方程为x3-8x2+17x-4=0,解此方程得
α１＝4，α２＝2+√3，α３＝2-√3，所以可设ａｎ＝A1α１n+A2α２n+A3α３n，已知ａ1＝0，a2=1，由此推知a0=0，所以有
a0=0=A1+A2+A3
a1=0=4A1+（2+√3）A2+（2-√3）A3
a2=1=16A1+（7+4√3）A2+（7-4√3）A3
化简得
A1+A2+A3=0
2A1+√3A2-√3A3=0
9A1+4√3A2-4√3A3=0
解得
A1=1
A2=-（3+2√3）/6
A3=-（3-2√3）/6
所以
ａｎ=4ｎ-（3+2√3）（2+√3）n/6-（3-2√3）（2-√3）n/6
=4ｎ-√3（2+√3）n+1/6+√3（2-√3）n+1/6
62．135
令y1+6=x1，y2+5=x2，y3+10=x3，则0≤y1≤9，0≤y2≤15，0≤y3≤15，于是有
y1+6+y2+5+y3+10=40，即y1+y2+y3=19，0≤y1≤9，0≤y2≤15，0≤y3≤15，因为
y1+y2+y3=19的非负整数解的个数为C（3+19-1，19）=C（21，2）=21·20/2=210。

令A1是y1+y2+y3=19当y1≥10时的非负整数解集合，则|A1|=C（3+9-1，9）=C（11，2）
=11·10/2=55，
令A2是y1+y2+y3=19当y2≥16时的非负整数解集合，则|A2|=C（3+3-1，3）=C（5，2）
=5·4/2=10，
令A 3是y 1+y 2+y 3=19当y 3≥16时的非负整数解集合，则|A 3|=C （3+3-1，9）=C （5，2） =5·4/2=10，
而且|A 1∩A 2|=|A 2∩A 3|=|A 1∩A 3|=0，|A 1∩A 2∩A 3|=0，根据容斥原理可知，符合条件的解的个数为 ｜?１∩?２∩?３｜=210-（55+10+10）=210-75=135 63．30
设S={1，2，3，…，120}，若n ∈S 且n 为合数，即n=n 1·n 2，则因为11·11=121>120，所以n 1或n 2中必有一数∈{2，3，5，7}。

设A 1表示S 中能被2整除的数，则|A 1|=int （120/2）=60（int （x ）表示不超过x 的最大整数）， 设A 2表示S 中能被3整除的数，则|A 2|=int （120/3）=40， 设A 3表示S 中能被5整除的数，则|A 3|=int （120/5）=24， 设A 4表示S 中能被7整除的数，则|A 4|=int （120/7）=17， 而且，
|A 1∩A 2|=20，|A 1∩A 3|=12，|A 1∩A 4|=8， |A 2∩A 3|=8，|A 2∩A 4|=5，|A 3∩A 4|=3，
|A 1∩A 2∩A 3|=4，|A 1∩A 2∩A 4|=2，|A 1∩A 3∩A 4|=1，|A 2∩A 3∩A 4|=1， |A 1∩A 2∩A 3∩A 4|=0，
所以，根据容斥原理知，S 中既不是2、3、5的倍数，也不是7的倍数的个数共有 120-（60+40+24+17）+（20+12+8+8+5+3）-（4+2+1+1）+0=176-149=27
但是，这27个数中包含了1，它不是素数，却没有包含2、3、5、7，所以，1至120之间的素数共有27-1+4=30个。

64．因为A 4={（1）（2）（3）（4），（123），（124），（132），（134），（142），（143），（234），
（243），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}，它共有12个置换，其中 格式为（1）4
的有1个：（1）（2）（3）（4），
格式为（1）1
（3）1
的有8个：（123），（124），（132），（134），（142），（143），（234），（243），
格式为（2）2的有3个：（12）（34），（13）（24），（14）（23） 65．(a)w 1=(1111)G=(1111111) (b)w 2=(1000)G=(1000011)
(c)w 3=(0001)G=(0001111) (d)w 4=(1101)G=(1101001) 66．（n-2）2n-1
+1
从n 个不相同的数a 1，a 2，...，a n 中取出r （r=2，3，...，n ）个,将这r 个数从小到大排序：a i1≤a i2≤...≤a ir 。

将这r 个数分成前后两部分，使每一部分非空，共有r-1种分法。

前面部分形成第2组，后面部分形成第1组，则第1组中的最小数大于第2组中的最大数。

所以满足条件的取法共有
r=2
∑n C （n ，r ）（r-1）=r=2∑n rC （n ，r ）-r=2∑n
C （n ，r ）
=（r=1∑n
rC （n ，r ）-C （n ，1））-（r=0∑n
C （n ，r ）-C （n ，1）-C （n ，0）） =（n2n-1
-n ）-（2n
-n-1）=（n-2）2n-1
+1
67.解根据题设，无论选哪一名，有26种可能结果；余下选一名只有25种可能结果；最后选一名就只有24种可能结果。

由于同时选出三名，所以由积的法则知，共有26×25×24=15600种选法。

68.解（1）这100个数的前7个数，任选取两个数的差不可能等于7，只有100－7=93种
选取方式，才能使这100个数两数之差等于7。

（2）同理，选取两数之差等于6的有100－6=94种选取方式；等于5的有100－
5=95；…，等于1的有100－1=99种。

以上两数之差均小于7。

故两数的差小于或等于7的选取方式，根据和的法则，共有（94+95+96+97+98+99）+93=672种选取方式。

69.解这是一个多重集S=｛n ·红球；m ·白球｝的重复排列问题。

S 的一个排列就是它的
m+n 个元素的一个全排列，因为S 中有n 个红球，在排列时要占据n 个位置，这些位置的选法是C n n m +种，接下去，在剩下的（n+m ）－n=m 个位置选择m 个位置的选法是
C m m ,由积运算法则，S 的排列数为N=C n n m +·C m m =
()!
!!
m n n m +·1=
()!
!!n m n m +,以下化为较简单形
式：
()!
!!m n n m ∙+=()()()[]!
!!11m n n m n n m n m ∙--+-++
=()()()!!!11m n m m n m n ∙+-++
=
()()()!
11n m m n m n +-++
这即为所求排列方式数。

70.解设分别具备这三种设备的汽车依次为A 1，A 2，A 3，由题设151=A ，82=A ，63=A ，
33323121321===⇒=A A A A A A A A A ,于是这三种设备都不具备的汽车，由容斥原理2知为
32132132130A A A A A A A A A -==
=()()[]
32132312132130A A A A A A A A A A A A +++-++- =()()[]73333681530=+++-++-
71.解实际上是求奇数1，3，5，7，9这5个数的移位排列数目D （n ），由于n=5,所以：
D （5）=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-+-!51!41!31!21!111!5 =⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+-+-∙1201241612111120
=()44120152060120=-+-∙
72.解设A 1，A 2，A 3分别为能被3，5，7整除的集合，则10033001=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=A ，
6053002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A ，4273003=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A ；205330021=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙=A A ，147330031=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∙=A A ，
87530032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙=A A ；2753300321=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∙∙=A A A 。

（1）由容斥原理2知，不能被3，5，7整除的数的个数为：
=()()[]
321323121321300A A A A A A A A A A A A +++-++- =()()[]1382814204260100300=+++-++-。