“鸡兔同笼”问题的价值追寻

“鸡兔同笼”问题的价值追寻
——一次教研活动引发的思考
案例背景：
解决数学问题是数学新课程中重要的教学内容，培养学生解决问题的能力，渗透数学思考方法是数学课程标准提出的重要目标。

为了加强解决数学问题的教学研究，探讨并解决教师在解决数学问题教学中遇到的问题及困惑，一年来省市各级都进行了解决问题的专题研讨，许多第一线教师都参与并进行了有益的探索。

在这过程中笔者听了不下十次不同老师所执教的《鸡兔同笼》一课，课各有特色，得到很多启发，也陆续产生了一些思考。

在一次大型教研活动中聆听了名师执教的《鸡兔同笼》一课。

这节课后，正逢午餐时间，餐桌上大家对这一节课的讨论在继续着，我们热烈的讨论吸引了刚才也参与听课的一位语文老师，他说：“你们数学老师上‘鸡兔同笼’，这个问题有什么意义啊？在现实生活中根本就不现实的，谁会把鸡和兔关在一个笼子里呢？即使关在同一笼子里也不必要通过头和脚的数量来算啊，直接数不更快吗？”
当时我们对他的后一个困惑很快作出解说：数学也同文学，来自生活，但高于生活。

不能完全由生活中是否存在来认定其合理性，有时它只是提供给人们研究的一种数学模型（这后面会有论述）；况且当数量很大时“数”就不是很好的解决办法……；而对于第一个问题，当时也不乏教学能手、高手，大家却在一时间沉默了……看得出大家都陷入了对这个问题的思考：“鸡兔同笼”问题的价值是什么？教学“鸡兔同笼”问题究竟能给孩子带来什么？
这同样也引起了我的思考：“鸡兔同笼”问题既然是不现实的，但1500多年来却作为一道经典名题流传至今，它一定有存在的价值，但价值是什么？这也引发了我想进一步探究的兴趣。

很快第二次试教开始了，我带着对这个问题的思索再次前去聆听：
案例描述
师：……面对问题，同学们想方设法，找到了许多解决问题的办法，比较这些方法，谈谈你的想法好吗？
生1：喜欢画图的方法，既有趣又方便，还特别好懂。

生2：原来我列不出算式，我就画图，我现在也会列式了；
生3：对于鸡兔只数很多时，画图就很麻烦了；
生4：不会列式时，用列表“凑”的方法也蛮好的；
生5：用假设法很方便；
生6：还可以用列方程的方法解决。

我喜欢用方程解，顺向思考，很容易。

生7：数字小，选作图法、列举法，数字大就选算术或方程。

师：各种不同的解法各有各的特点，它们既联系又有区别，我们应根据实际需要灵活选用。

学生在回顾着，在反思着，在体验着。

老师肯定了同学们的不同想法后，抛出一个问题。

师：同学们，鸡兔同笼，把鸡和兔关在一个笼子里现实生活中不太可能出现，但在我国，1600年来去为什么能作为一个数学名题流传至今呢？
问题一抛出，学生顿时从解题多样的喜悦中沉静下来，随之带着疑惑的神情陷入了深思。

10秒钟后，陆续有生举手。

生1：它能教我们很多解决的方法，让我们的思维得到训练。

生2：这个问题很有趣，会吸引我们很想去解决它。

师：是啊，这题最大的价值就是能训练我们的思维。

因为这样它还漂洋过海，到了日本演变成了龟鹤问题；流传到现在成了这样的问题。

随之出示：
1．龟鹤共有100只，共有脚280只，龟鹤各有多少只？
2．停车场上，有车辆24辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有86个轮子。

摩托车有几辆？
3．民谣：一队猎人一队狗，两队并成一队走。

数头一共是十二，数脚一共四十二。

师：日本人说的龟鹤和我们说的“鸡兔”有联系吗？
生：有联系，都是动物，而且龟和兔一样是四条腿，鹤与鸡都是两条腿。

解题思路也一样。

师：假如我们不叫他鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，是不是还可以给它取个其他名字？
生：人狗问题
师：抓住了本质的东西！看来这里的鸡不仅仅代表鸡、兔也不仅仅是指兔！（给课题鸡兔同笼加引号：“鸡兔同笼”）
4．游戏，“猜一猜”
师：（出示一个信封）信封里装了钱，放了5分和2分的硬币，共7枚，你能猜出一共有多少钱吗？（板书：5分和2分共7枚）
生：……
师：你能猜出大致的范围吗？
……
师：这个游戏和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗？
……
师：看来鸡兔同笼不仅仅可以解决“鸡兔同笼”的问题，换成乌龟和仙鹤，换成人和狗，甚至不同币值的硬币，仍然可以看作是鸡兔同笼问题，“鸡兔同笼”其实只是这类问题的一个模型。

[欧老师不愧是名师，在几个看似不经意的提问间就已让孩子感受到有趣的数学和有用的数学，在一定程度上也已回答了语文老师的困惑。

]
案例反思：
“鸡兔同笼”问题是选自义务教育课程标准实验教科书《数学》六年级上册数学广角，是我国古代著名的数学趣题之一。

大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？即：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？在思维训练题中，关于“鸡兔同笼”以及由“鸡兔同笼”演变而来的问题比较常见，“鸡兔同笼”问题其经久不衰的魅力究竟在哪儿呢？
一“鸡兔同笼”问题的数学现实价值
“鸡兔同笼”问题能从1500多年前流传至今，是由它的价值决定的。

1．“鸡兔同笼”问题能引起学生的兴趣和好奇心。

就如本案例中的一位学生所说“这个问题很有趣，会吸引我们很想去解决它。

”数学学习是需要兴趣的，数学教师的教学应当能引起学生的兴趣。

由于鸡、兔是学生喜爱的小动物，当孩子看到“鸡兔同笼”就容易产生疑惑：“鸡和兔关在一个笼子里，而且还是一个要我们解决的数学问题？有趣！”即由疑惑而产生希望去研究、去解决的兴趣。

由此可见，进行“鸡兔同笼”问题的学习，容易激发学生对数学问题的兴趣。

2．“鸡兔同笼”问题，有利于训练学生的思维能力
在老师抛出“鸡兔同笼”问题，1500多年来为什么能作为一个数学名题流传至今呢？其中一位学生说到“它能教我们很多解决的方法，让我们的思维得到训练。

”的确，由于“鸡兔同笼”问题解题方法的特殊性（比如假设法），许多问题解决都可以化归成“鸡兔同笼”问题，掌握“鸡兔同笼”问题的基本解法，经过适当的转化和迁移，可以解决更加广泛的数学问题。

数学思维不言而喻容易得以提高。

记得曾经和一位同事聊起自己平时解数学题的经验时，她说：“当我遇到数学难题时，我都会想到用假设法来解，发现用假设法很多难题都能轻松解决。

”
例如以下几个问题：
（1）一次数学竞赛共有20道题。

做对一题得5分，做错一题倒扣3分，小明得了52分。

问小明做对了几道题？
（2）三（3）班56名学生去公园划船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。

求大船和小船各几只？
（3）一个笼子中装有鸡和九头鸟（九头鸟是古代神话中的鸟,有九只头，两只教）。

若头的总数是60，脚的总数是40。

问笼里有几只鸡、几只九头鸟？
（4）蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现在有这三种小虫共18只，他们共有118条腿，2对翅膀。

问，每种小虫各有几只？
学生都可以利用解决鸡兔同笼的思考方法来解决。

假设法是解答“鸡兔同笼”问题最常用的、也是最基本的方法。

许多应用问题都可以化归为“鸡兔同笼”问题。

由此可见，鸡兔同笼问题如果你仅仅把它当作鸡和兔同笼来理解，也许真会觉得毫无价值。

但如果你把它当作一个典型问题。

当作一个类似于模型的东西来审视。

你就会发现生活中还真有不少问题都类似这个“模型”，这时它就具有了现实意义，它就是“有用的数学”!由此可见，“鸡兔同笼”问题，是具有母题特征的问题。

二．“鸡兔同笼”问题的数学永恒价值。

数学学习应有技能性、实用性的一面也应该有文化性、永恒性的一面。

经常让孩子接触数学名题，注重渗透数学思想方法，能在孩子幼小的心灵中不断地反刍、发酵，成为他们一生高见远识、开启智慧的源头活水。

1、“鸡兔同笼”问题有利于向学生渗透数学思想。

（1）化归思想。

化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题，这正是数学家最擅长的思维方法。

正如上面所举的几个问题，通过转化，我们可以将其归结为已经解决的“鸡兔同笼”问题类型，从而进一步求解，这就是“化归”。

（2）建模思想。

数学建模思想就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想和方法。

建模思想有利于培养和发展学生整体处理和创造性处理问题的能力。

其主要步骤是：构建模型；使用模型。

例如，对于“鸡兔同笼”问题，通过“鸡兔”、“龟鹤”、“人狗”、
“硬币”等不同变式的呈现，使学生初步感知鸡兔同笼问题只是一个“模型”，虽然问题情景在变化，但问题的本质——数量之间的关系是不变的，学生在解决这些问题的过程中逐渐形成“鸡兔同笼”问题的数学模型，学生的思维在不断的内省、自悟中得到提升，自主构建鸡兔同笼问题的模型也就水到渠成了。

如通过观察、联想、分析，得出“鸡兔同笼”问题的数量关系式是：
兔数=（实际脚数—2×鸡兔总数）÷（4—2）
鸡数=（4×鸡兔总数—实际脚数）÷（4—2）
这样就建立起“鸡兔同笼”问题的数学模型，在实际应用时，我们可以针对不同问题，适当变换模型。

2、“鸡兔同笼”问题有利于培养学生一题多解的思维习惯。

“鸡兔同笼”的解法很多，但各种解法并非都针对每一个问题都适用。

例如，金鸡独立法、安脚法和砍脚法，当问题从“鸡兔”迁移到其他实际情境（如：停车场上，有车辆24辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有86个轮子。

摩托车有几辆？）中去时，
所谓的“脚数”就不一定是4和2这种成倍数关系，这时就会显现出这几种方法的局限性。

但是，在特定情境中，通过独特的思维方法，能够迅速的解决问题，也正是这几种方法不容忽视的优点。

但是否对于同类问题，假设法就是最简捷的呢？
3．跳出模型看问题。

“对于建模问题，我们要立，也要破，应学会跳出模型看问题。

”这也是在这次教研活动中雷教研员对数学建模的态度，非常辩证。

我们再来看出自明代数学著作《算法统宗》中的一道名题：一百馒头一百僧，大僧三个更无增，小僧三人分一个，大小和尚各几人？即由100个和尚吃了100个馒头，大和尚每人吃3个，小和尚每3人吃1个。

问大小和尚各有多少人。

如果按照假设法，假设100人都是大和尚，100人共吃3×100=300（个）馒
1
头，多吃了300-100=200（个）馒头，这是因为大和尚比小和尚每人多吃3- —
2 2 3
=2 —（个）馒头。

多吃的200个馒头里包含多少2 —个馒头就是小和尚的人数，
3 2 3
因此小和尚有200÷2 — =75（人），大和尚有100-75=25（人）。

3
解决“百僧”问题，我们看到了所谓的“鸡兔同笼”问题的模型。

可以转化成“鸡兔同笼”的问题模型，利用假设法能够解决，但显而易见这样解很麻烦。

仔细想一想，如果不用模型，甚至也不用通常的解法，我们还能怎么解呢？
笔者曾在数学思维训练课上把这道题让三年级孩子来解，出乎我意料的是：不出3分钟，已有三位孩子举手，我请了其中一位说解法：
生：题目里告诉我们，1个大和尚于3个小和尚共4个和尚恰好吃4个馒头，而题目是100个和尚吃100个馒头，如果将每4个和尚（1个大和尚、3个小和尚）分为一组，100个和尚共可分成25组（100÷4），每一组里都有一个大和尚，有25组，所以就有25个大和尚了。

小和尚的个数就是100—25=75（人）。

好一个分组！好一个“分成的组数就是所求大和尚个数”！我忍不住为之精彩、巧妙的想法鼓掌，同时从另几位刚才举手的孩子眼里分明也看出了肯定和成功的喜悦。

正所谓，教学有法，但无定法。

灵活地处理和解决数学问题，也正是数学教学的魅力所在。

三．追寻假设思想的本质
假设的思想是数学思维的重要模式。

基于“鸡兔同笼”问题模型的建立和以上的思考，假设法可以看作是解决“鸡兔同笼”问题的基本方法。

假设法的本质就是消元(即指如果题目涉及到两个未知数，就要想办法去掉一个未知数，也就是将二元问题变成一元问题，这是数学简化思想的集中体现。

)正因为两个事物能够转化成一个，所以才“全假设成鸡”或“全假设成兔”。

那么如果不“全假设成鸡”或“全假设成兔”，而是“任意假设鸡兔”，也是可行的，如例1中，我们假设有10只鸡，26只兔，则此时脚数为10×2+26×4=124（只），比实际100只脚多124-100=24（只），这说明鸡假设少了，而兔假设多了。

鸡少了多少只？（124-100）÷（4-2）=12（只）
所以，鸡有10+12=22（只），而兔有36-22=14（只）
教研活动是学习、是锻炼，更是促人思考与成长的阵地。

正如此次的教研经历，因为名师的课堂与专家的引领引发了笔者对“鸡兔同笼”问题，乃至对数学教学进行了一次深入、有益的思考：数学是一种技术手段、一种思想方法，它也是一门艺术、一种文化。

因此，作为数学老师，我们在今后的教学中更应善于抓住问题的本质，使学生在实践中领悟数学建模的价值，又不完全拘泥于“模型”。

我想，这次教研主题：“鸡兔同笼”问题，它留给了我们足够的思考空间。

主要参考文献：
1．《数学课程标准》北京师范大学出版社2001 年第一版
2．[苏]斯托利亚尔著，J尔升等译，《数学教育学》，人民教育出版社，1984.
3．马云鹏主编《小学数学教学论》人民教育出版社，2003年2月第1版。

4．顾泠沅、王洁“促进教师专业发展的校本教学研修”上海教育科研2004年第2期。

5．孟繁学主编《最经典的数学名题》浙江少年儿童出版社，2008年1月第1版。