精选2019年高中数学单元测试试题《矩阵与变换》专题完整题库(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题 矩阵与变换专题（含
答案）
学校：__________
考号：__________
一、填空题
1． .已知矩阵27b A a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵是273a B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，则=+b a 8 ． 2．已知矩阵27b A a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵是273a B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，则=+b a ． 3．在直角坐标系xOy 中，点P (x P ，y P )和点Q (x Q ，y Q )满足⎩⎨⎧x Q ＝y P ＋x P ，
y Q
＝y P －x
P
，按此规则由点
P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若OQ
OP ＝m ，∠POQ ＝θ，其
中O 为坐标原点，则y ＝m sin(x ＋θ)的图象在y 轴右边第一个最高点的坐标为 ▲ ．
4．表示绕坐标原点顺时针旋转23
π的变换的矩阵是 .12
12
2⎡-⎢⎢
⎥
⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
5．若2
1{,x x ∈}，则x = ____ ． 6．（理）写出系数矩阵为
()
1221，且解为
()()
11x y =的一个线性方程组是 ．
（文）系数矩阵为()
1221的线性方程组{112233a x b y a x b y +=+=的解是{
___,___.
x y ==
7．若行列式
24
01
2
x
=，则x = ．
二、解答题
8．已知矩阵33A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
．求矩阵A 的逆矩阵．
9．变换T 是绕坐标原点逆时针旋转π2的旋转变换，求曲线22221x xy y -+=在变换T 作用
下所得的曲线方程．
10．若点A （２，２）在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应变换的作用下得到的点为B （－２，２），求矩阵M 的逆矩阵
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。

设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡100k ,N=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。

满分10分。

12．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． (1）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；
(2）求逆矩阵1
M -以及椭圆22
149
x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．
13．已知矩阵M=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡x 221的一个特征值为3，求其另一个特征值。

14．(1)求矩阵2312A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
的逆矩阵； (2)利用逆矩阵知识解方程组2310
230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩
15．已知矩阵M 221a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点
(4,0)P '-（1）求实数a 的值；
（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量.
16．已知矩阵1
1A ⎡=⎢
-⎣ a b ⎤⎥⎦
,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向是是121
α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
.
（1）求矩阵A ； （2）若向量74β⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，计算5A β的值.
17．已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求向量α，使得2
A αβ=． 设x
y α⎡⎤=⎣⎦，由2
A αβ=得：3214
32x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦，32111,43222x y x x y y α+==--⎧⎧⎡⎤
∴∴∴=⎨⎨⎢⎥+==⎩⎩⎣⎦
18．自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等.因此，它们和周边环境是一种既相生又相克
的生存关系.但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群X ，Y 随时间段变化的数量分别为{a n }，{b n }，并有关系式⎩⎨⎧a n ＋1＝3a n ＋b n b n ＋1＝2a n ＋2b n
，其中a 1＝1，b 1＝
1，试分析20个时段后这两个种群的数量变化趋势.
19．求矩阵1426M -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
的特征值和特征向量．
20．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；
(2)求属于2λ的一个特征向量α．
21．已知121217⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，M β，计算5M β．
22．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）
已知矩阵A =2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1125-⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
，求矩阵1
-A B ．
23．（选修4—2：矩阵与变换）
已知直线:1l ax y +=在矩阵 2 30 1A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下变为直线:1l x by '+=. （1）求实数a ，b 的值；
（2）若点00()P x y ，在直线l 上，且0000x x A y y ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，求点P 的坐标．
24．选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy 中，直线:210l x y ++=在矩阵23a M b -⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
对应的变换作用下得到直线:m x
20y --=，求实数a 、b 的值．
将上述结果代入直线l 的方程得
()2321066
x ay bx y ab ab ''-+''+++=++，
25．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．
【考点定位】本题考查的是矩阵的特征值特征向量和逆矩阵的运算，正确理解概念是本题的关键。

26．（本题满分10分）
已知矩阵
1
23
a
A
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
的一个特征值是1
-，求矩阵A的另一个特征值λ，及属于λ的一个
特征向量。

27．选修4—2：矩阵与变换
若矩阵
12
a
⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
M把直线:20
l x y
+-=变换为另一条直线:40
l x y
'+-=，试求实数a
值．
28．（本小题满分12分）
二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-变换成点(1,1)--，点(2,1)-变换成点(0,2)-. （1）求矩阵M ；
（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：24x y -=，求l 的方程． (12,13班做)设不等式|2x －1|＜1的解集为M ． (1)求集合M ；
(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．
29． （本小题14分）设矩阵0 0
a b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
M （其中0,0a b ><）.
（1）若2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵-1M ；
（2）若曲线2
2
:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线
2
/
2:14
x C y +=，求,a b 的值.
30．求矩阵2411M ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
的特征值及对应的特征向量。