广东省揭阳市高二数学下学期期末试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年某某省揭阳市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设i是虚数单位，若复数z=5（1+i）i，则z的共轭复数为（）
A．﹣5+5i B．﹣5﹣5i C．5﹣5i D．5+5i
2．已知集合A={x|y=}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤3}，则A∩B=（）
A． B． C． D．
3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）
A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0
4．cos40°sin80°+sin40°sin10°=（）
A．B．C．cos50°D．
5．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为，则输出的y的值为（）
A．B．C．2 D．﹣2
6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
7．函数f（x）=log2x+x﹣2的零点所在的区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
8．已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是（）
A．16π B．8πC．4πD．2π
9．已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，且点A在直线mx+ny﹣1=0（m＞0，n＞0）上，则mn 的最大值为（）
A．B．C．2 D．4
10．利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则使不等式9a2﹣9a+2＜0成立的概率是（）A．B．C．D．
11．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．定义在区间（0，）上的函数y=2cosx的图象与y=3tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴，垂足为P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为（）A．B．C．D．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请把正确的答案填在答题卡相应的横线上
13．若点（2，1）在y=a x（a＞0，且a≠l）关于y=x对称的图象上，则a=．
14．在△ABC中， =， =，若点D满足=，则用、表示的结果为=．15．若实数x，y满足约束条件，则z=﹣x+2y的最小值为．
16．在△ABC中，已知角A、B、C所对的边为a、b、c，若ccosB=12，bsinC=5，则c=．
三、解答题：本大题必做题5小题，选做题3小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（n2+3n）．（n∈N*）
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和T n．
18．某班一次数学测试成绩的茎叶图（茎上数代表十位，叶上数带表个位）如图1示
（1）以10为组距，图2给定的坐标系中画出该班成绩的频率分布直方图；
（2）用分层抽样的方法抽取一个容量为8的样本，在样本中从分数在
22．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD 于E．若AB=6，ED=2．
（1）求证：CE⊥AD；
（2）求AC的长．
23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C1：ρcos（θ﹣）=，曲线C2：（t为参数）．
（1）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若对任意的实数x，都有f（x）﹣2a2≥|x|﹣3a﹣2，某某数a的取值X围．
2015-2016学年某某省揭阳市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设i是虚数单位，若复数z=5（1+i）i，则z的共轭复数为（）
A．﹣5+5i B．﹣5﹣5i C．5﹣5i D．5+5i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z，则z的共轭复数可求．
【解答】解：由复数z=5（1+i）i=﹣5+5i，
则z的共轭复数为：﹣5﹣5i．
故选：B．
2．已知集合A={x|y=}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤3}，则A∩B=（）
A． B． C． D．
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A中x的X围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中y=，得到x≥0，即A=，
则A∩B=，
故选：C．
3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）
A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0．
故选：A．
4．cos40°sin80°+sin40°sin10°=（）
A．B．C．cos50°D．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】利用诱导公式、两角和差的余弦公式，求得所给式子的值．
【解答】解：cos40°sin80°+sin40°sin10°=cos40°cos10°+sin40°sin10°=cos（40°﹣10°）=，
故选：D．
5．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为，则输出的y的值为（）
A．B．C．2 D．﹣2
【考点】程序框图．
【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的结果．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下：
x=，
满足条件x＜2，y=log2=﹣2．
输出y=﹣2．
故选：D．
6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）
A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．
【解答】解：由双曲线的离心率为，
则e==，即c=a，
b===a，
由双曲线的渐近线方程为y=x，
即有y=x．
故选D．
7．函数f（x）=log2x+x﹣2的零点所在的区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】由题意知函数f（x）=log2x+x﹣2在（0，+∞）上连续，再由函数的零点的判定定理求解．
【解答】解：函数f（x）=log2x+x﹣2在（0，+∞）上连续，
f（1）=0+1﹣2＜0；
f（2）=1+2﹣2＞0；
故函数f（x）=log2x+x﹣2的零点所在的区间是（1，2）；
故选B．
8．已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是（）
A．16π B．8πC．4πD．2π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据三视图均为边长为2的正方形，可得几何体是边长为2的正方体，将该几何体削成球，则球的最大半径为1，即可求出球的最大表面积．
【解答】解：∵三视图均为边长为2的正方形，∴几何体是边长为2的正方体，
将该几何体削成球，则球的最大半径为1，表面积是4π×12=4π．
故选：C．
9．已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，且点A在直线mx+ny﹣1=0（m＞0，n＞0）上，则mn 的最大值为（）
A．B．C．2 D．4
【考点】恒过定点的直线．
【分析】把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny﹣1=0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得mn的最大值．
【解答】解：整理直线方程得y=k（x﹣1）+1，
∴点A的坐标为（1，1），
∵点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，
∴m+n﹣1=0，即m+n=1，
∵m＞0，n＞0，
∴m+n≥2，m=n时取等号，
∴mn≤，
即mn的最大值为，
故选：B．
10．利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则使不等式9a2﹣9a+2＜0成立的概率是（）A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】根据不等式的解法，利用几何概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：由9a2﹣9a+2＜0，得＜a＜，区间长度为﹣=，
在区间（0，1）上产生随机数a，区间长度为1
则计算机在区间（0，1）上产生随机数a，使不等式9a2﹣9a+2＜0成立的概率是，
故选：A．
11．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】抛物线的应用；抛物线的定义．
【分析】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．
【解答】解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4，
设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，
由抛物线的定义知：
|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．
故选D．
12．定义在区间（0，）上的函数y=2cosx的图象与y=3tanx的图象的交点为P，过点P 作PP1⊥x轴，垂足为P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为（）A．B．C．D．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的图象．
【分析】由条件求得sinx=，可得线段P1P2=sinx 的值．
【解答】解：由2cosx=3tanx，x∈（0，），可得2cos2x=3sinx，即 2﹣2sin2x=3sinx，即 2sin2x+3sinx﹣2=0，求得sinx=，
故线段P1P2=sinx=，
故选：D．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请把正确的答案填在答题卡相应的横线上
13．若点（2，1）在y=a x（a＞0，且a≠l）关于y=x对称的图象上，则a= 2 ．
【考点】反函数．
【分析】点（2，1）在y=a x（a＞0，且a≠l）关于y=x对称的图象上，可得点（1，2）在y=a x （a＞0，且a≠l）的图象上，即可得出．
【解答】解：∵点（2，1）在y=a x（a＞0，且a≠l）关于y=x对称的图象上，
∴点（1，2）在y=a x（a＞0，且a≠l）的图象上，
∴2=a1，解得a=2．
故答案为：2．
14．在△ABC中， =， =，若点D满足=，则用、
表示的结果为=+．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】由=， ==， =，代入化简即可得出．
【解答】解：∵=， ==，
=，
∴=+
=+
=+．
故答案为： +．
15．若实数x，y满足约束条件，则z=﹣x+2y的最小值为0 ．【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，1），
化目标函数z=﹣x+2y为y=，
由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为0．
故答案为：0．
16．在△ABC中，已知角A、B、C所对的边为a、b、c，若ccosB=12，bsinC=5，则c= 13 ．【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理、同角三角函数基本关系式即可得出．
【解答】解：∵bsinC=5，又=，
∴csinB=5，∴sinB=，
由ccosB=12，∴cosB=，
∴+=sin2B+cos2B=1，
解得c=13．
故答案为：13．
三、解答题：本大题必做题5小题，选做题3小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（n2+3n）．（n∈N*）
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）直接由数列的前n项和分类求解数列的通项公式．
（2）==﹣，利用裂项可求和．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+3n）﹣=n+1．
当n=1时，a1=s1=2，显然上式成立，
∴a n=n+1，
（2）∵==﹣，
∴T n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣
18．某班一次数学测试成绩的茎叶图（茎上数代表十位，叶上数带表个位）如图1示
（1）以10为组距，图2给定的坐标系中画出该班成绩的频率分布直方图；
（2）用分层抽样的方法抽取一个容量为8的样本，在样本中从分数在
22．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD 于E．若AB=6，ED=2．
（1）求证：CE⊥AD；
（2）求AC的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD 是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，即可得出结论；
（2）由（1）可知△AEC∽△ACB，即可求AC的长．
【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．
又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．
∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．
∴CE⊥AD；
（2）解：由（1）可知△AEC∽△ACB，
∴=，
∴AC2=AE•AB=（6﹣2）×6=24，
∴AC=2．
23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C1：ρcos（θ﹣）=，曲线C2：（t为参数）．
（1）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）根据两角差的余弦公式将ρcos（θ﹣）展开，求得ρcosθ+ρsinθ=2，由，代入即可求得曲线C1的直角坐标方程，将曲线C2消去t可得到到曲线C2的普通方程；
（2）将直线方程与圆的方程联立解得交点坐标，并将其转化成极坐标的形式．
【解答】解：（1）∵ρcos（θ﹣）=⇒ρcosθ+ρsinθ=2，①
将代入①即可得到曲线C1的直角坐标方程：x+y﹣2=0，
将消去参数t，得到曲线C2的普通方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=25；
（2）由，联立解得：或，
将转化成极坐标（，），
将转化成极坐标（2，），
∴C1与C2交点的极坐标（，），（2，）．
24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若对任意的实数x，都有f（x）﹣2a2≥|x|﹣3a﹣2，某某数a的取值X围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得，|2x+1|﹣2|x|≥2a2﹣3a 恒成立，利用绝对值三角不等式可得 2a2﹣3a≤1，由此解得a的X围．
【解答】解：（1）由不等式f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2≥0，可得
①，或
②，或
③．
解①求得x≤﹣3；解②求得x∈∅，解③求得 x≥1．
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤﹣3，或 x≥1}．
（2）若对任意的实数x，都有f（x）﹣2a2≥|x|﹣3a﹣2，则|2x+1|﹣2|x|≥2a2﹣3a 恒成立．又∵|2x+1|﹣2|x|≤|2x+1﹣2x|=1，∴2a2﹣3a≤1，解得≤a≤1，
即实数a的取值X围为[，1]．。