正弦定理

解三角形
正弦定理
一、正弦定理及其证明 1、正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin sin a b c
A B C
== 正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。

2、正弦定理的证明方法
法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bc B ac C ab sin 21
sin 21sin 21==.
两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C
c
sin .
法二：（外接圆法）
如图所示，D A ∠=∠,∴D
a
A a R CD sin sin 2==
=. 同理
R C
c
R B b 2sin ,2sin ==. 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =C
c
sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）
过A 作单位向量j
垂直于AC ， 由 AB =AC +CB
.
两边同乘以单位向量j 得j •(AC +CB
)=j •AB .
则•+•=•.
∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j
|•|AB |cos(90︒-A) .
∴A c C a sin sin =.∴
A a sin =C
c
sin . 同理，若过C 作j 垂直于CB 得：C
c sin =B
b sin ∴A
a sin =B
b sin =C
c
sin .
例1、（1）已知在
（2）
【变式练习】（1）已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,10︒︒===∆.
（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆；
二、正弦定理的变形及应用： 1、（1）sinA:sinB:sinC=c b a ::； （2）
A a sin =
B b sin =
C c sin =C
B A c b a sin sin sin ++++=R 2; （3）A R a sin 2=；B R b sin 2=；
C R c sin 2=；
（4）R a A 2sin =
;R b B 2sin =;R c C 2sin =； （5）B ac A bc C ab S sin 2
1
sin 21sin 21===.
2、三角形解的个数
一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知a, b 和A ），用正弦定理求B 时的各种情况：
⑴若A 为锐角时:
B b a
C A c ABC 和求中，,,30,45,100
===∆C A a c B b ABC ,,1,60,30
和求中，===∆
sin sin ()sin (, )³
()a b A a b A b A a b a b <=<<⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩无解
一解直角二解一锐一钝一解锐角，如下图所示：
⑵若A 为直角或钝角时: a b ()
a b ≤>⎧⎨⎩无解一解锐角
3、正弦定理可以解决的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 例2、已知△ABC 的面积为1，tanB=2
1
,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.
例3、不解三角形，判断下列三角形解的个数． （1）︒===120,4,5A b a ； （2）︒===120,4,9A b a ; （3）︒===135,72,50C b c ;
已知边a,b 和∠A
有两个解
仅有一个解无解
CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA
课时训练：
1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) ． （A ）acos C=ccos A （B ）bsinC=csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．
2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=
150，则这个三角形解的情况是 ( ) ． （A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=
60,a=3，b=1， 则c 等于() ．
（A ） 1 （B ） 2 （C ）
3-1 （D ） 3．
4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( ) ． （A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6． 二、填空题
5．在△ABC 中，A= 45，B=
60，则
b
a b
a +-=__________ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B=
45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为_____________． 7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+
60，则A=_________ ． 三、解答题
8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆
9．在△ABC 中，若a=23,A=
30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？
10. 已知方程2
x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．
拔高训练：
1. △ABC 中，若1,150,3
1
tan ===︒BC C A ，求AB ．
2.在△ABC 中，已知内角3
π=
A ，边32=BC ，设内角,x
B =，周长为.y
（1）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （2）求)(x f y =的最大值.。