河南农业大学2015-2016学年第二学期《高等数学》(工科)期末考试试卷(A)

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河南农业大学2015-2016学年第二学期
《高等数学》（工科）期末考试试卷（A ）
一、判断题（每小题2分，共计20分）
( R )1、两个单位向量的数量积一定等于1.
( W )2、设有向量,,a b c ，则()()a b c a b c ⋅=⋅.
(R )4、沿梯度方向时，方向导数取得最大值.
( R )5、若σ为D 的面积，则
D dxdy σ=⎰⎰. ( W )6、设平面闭区}{(,),D
x y a x a x y a =-≤≤≤≤，}{1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤，
则14D
D xydxdy xydxdy =⎰⎰⎰⎰. ( R )7、设L 是任意一条分段光滑的曲线，则
220L xydx x dy +=⎰. ( W )8、若级数1
n n u
∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则级数()1n n n u v ∞
=+∑可能发散，也可能收敛. ( R )9、对级数1n n u
∞=∑，lim 0n n u →∞=是该级数收敛的必要非充分条件.
( R )10、若级数
1n n n a x ∞=∑在2x =-处收敛，该级数的收敛半径一定大于等于2.
二、填空题（每空2分，共计20分）.
1、已知两点
(4,0,5),(7,1,3)A B ,则与向量AB 方向一致的单位向量为______________. 2、曲面222231x
y z +-=在点(1,1,1)处的法线方程为________________________. 3、向量(2,1,1),(2,3,)a k β==-，且a β⊥，则k ＝______________. 4
、交换积分次序1220o I dy x y dx ==⎰____________________________.
5、设2x z y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z x
∂=∂_______________________. 6、级数11(2)n n x n
∞=-∑的收敛区间为______________. 7、设L 为圆周221x y +=，则22()L
x y ds +=⎰__________________. 8、设cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的单位余弦，则两类曲面积分间关系是 Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑
++⎰⎰＝_____________________.
2 9、设∑为球面2222x y z R ++=的外侧，则32222()xdydz ydxdz zdxdy x y z ∑++=++⎰⎰_________.
10、设
()f x 是以4为周期的周期函数，在[]2,2-定义为120()02x f x x
x -≤≤⎧=⎨<<⎩
，则傅立叶级数在2x =收敛于________________. 三、计算题（每题10分，共计60分）
1、计算二重积分
D ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域．
2、设函数
()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足22220z z x y ∂∂+=∂∂.证明：()()0f u f u u '''+=．
3、将函数
2()2x f x x x =+-展成x 的幂级数．
4、计算曲面积分：
xyzdS ∑⎰⎰，其中∑是球面2221x y z ++=外侧在0,0x y ≥≥的部分．
5、利用格林公式计算：
3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy -+-+⎰，其中L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到(,1)2π的一段弧．
6、设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，求此平面方程．。