第二章 光线光学
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7
费马原理与反射等光程面
nr ds 常数
P Q
• 实际的理想成像系统只有平面镜，但其放大率恒等于1， 应用范围有限。 • 具有共轭点的特殊曲面反射或折射可使从Q点发出的宽光 束成为以同心光束； • 反射等光程面有三种：旋转椭球面、旋转抛物面、旋转 双曲面
QM MQ const
• 所以：
切线方向单位光程 沿路径变化率—— 光线方向变化趋势
d ds
dr n(r) ds n(r)
光线方程
（2.4)
折射率梯度
（路径与折射率关系）
17
例1：光线在均匀媒质中的传播
光线方程： d n(r) dr n(r) ds ds 因 n = 常数 d 2r n 0 改写成： 2 a b r s
–一个无限小的孔定义了一个无限细的光锥
–光场的一般性质与平面波相同，按平面波建立的反 射/折射定律，表述反射率、折射率、偏振态变化 的公式仍然有效。
光线理论：几何学方法考虑光学现象
– 确定光线路径
– 计算相关联的强度、相位、偏振
2
2.1 光程与程函方程
光程：波面走过的几何路径与折射率乘积
即光学长度。
P
费马原理与反射定律：
nr ds 极小值
P Q
光线从A点经平面反射镜M到达B点。其反射点为P，可证明 光程APB为最短。 • 作ACM，延长AC至D，使AC＝ＣＤ • 连接Ｂ、Ｄ两点交于Ｐ点 • 光线经镜面Ｍ上的其他任一点反射的 • 光程均要大于APB
5
费马原理与折射定律： Q nr ds 极小值
ds ds ds
式 2.3
2 r r n(r)2 r n(r) n(r) n(r) n(r)
dr n(r) (r) ds
z dr/ds
dr
r
路径S
r+dr
y
x
• 等式右边相位梯度表示光线传播方向上相位变化率。 • 等式左边表示路径切线单位矢量与折射率乘积——单位光程。 • 将上式对路径求导可求解光线路径随折射率变化规律。
16
d dr d • 上式对路径 S 求导: ds n(r) ds ds (r) • 等式右边： d d(r) dr (r) r
– 每条光线遵循马原理，从物点到像点各光线光程相等
L QM 1 N1Q' L QM 2 N 2Q' L QM i N i Q'
严格等光程严格成像
近似等光程近似成像 非等光程不成像
•
•
理想成像系统：
物空间所有物点发出的同心光束均严格成像（严格等光程）
P
• 光线经第一介质Ｎ１指定点Ａ到 达第二介质Ｂ点 • Ａ、Ｂ两点光程为：
2 APB n1 d12 x 2 n2 d 2 L x 2
• 按费马原理，光程为极值：
d APB x Lx n1 n2 n1 sin θ1 n2 sin θ2 0 2 2 2 2 dx d1 x d 2 L x
ωμ0 r E0 r H 0 r k0
因此有： r E0 H0
ωμ0 H 0 r ηH 0 r ω ε0 μ0 （：波阻抗）
由麦克斯韦方程其他三个方程同样处理，得到：
r E0 H 0
r H 0 n2
λ 0 k0
jk 0 e jk0 r r E 0 r
（在几何光学范围内）
• 与等式右边相等有：
jk 0e jk0 r r E0 r jω μ0 H 0 r e jk0 r
12
经整理： k0 r E0 r ωμ0 H 0 r
dr n(r) ds n(r) 光线向折射率大的方向弯曲。
相位梯度方向与波矢量k方向一致，其模等于该点邻近单 位距离内的相移。(弧度/米）
21
2.3 均匀介质波导中光线的传播
1) 薄膜波导： – 结构：芯层n1，衬底n2，敷层n3，芯层可以做成各 种形式。 – 工艺：薄膜成型法（离子扩散、晶体生长） – 衬底材料：玻璃、电光晶体、半导体材料 – 应用：集成光路、光波导器件。
r r n 2
即：
2
2
n 2，
2
( r ) nr
2
r r r 2 x , y , z （2.2） n x z y
n3 n1 n2
22
2) 圆柱波导——光纤 – 结构：芯层n1，包层n2，缓冲层（缓冲层：有弹性、 耐腐蚀的塑料护套）。 n2 n1 – 材料和工艺：玻璃、拉丝 n2 – 应用：光通信、传感、信息处理。 – 分类：据纤芯折射率分为阶跃折射率和梯度折射率光 纤；据传输信号分为单模和多模光纤、保偏光纤。
P Q
2 1 l1 2 li l 2 2 2 i
N M P
转换成用真空中波长表示： 2 P Q ni l i 2 P Q LQP 光程与相位差的关系
E E0 r exp jk0 r
r 常数 –波面（等相位面）：
–相位梯度 r 表示光线传播方向上相位变化率。
程函方程 ：用光程函数 表示光线几何轨迹的方程：
10
平面波波函数
• 平面波在各向同性非导体介质中任意方向传输的波函数：
E r,t E0 exp j ωt k r
上式即为程函方程：用光程函数 表示光线在空间几何轨 迹的方程 - 几何轨迹相位梯度的模等于介质折射率，折射率一旦确 定，光线空间轨迹就确定。
15
2.2 光线传播路径方程
r ：光线传播路径S上某点的矢径
dr/ds 表示光线传播路径切线方向
上单位矢量,其方向与相位梯度方向 一致， 根据光程以及相位梯度的定义，有： dr n(r) (r) （2.3) ds 单位光程
'
QM MQ const
'
8
大口径天文望远镜
• 由遥远星体发来的平行光束经抛物面镜聚焦成同心光束， 再经小镜面反射通过中心光孔； • 反射无色散
9
光程函数
光程函数 定义： r n,r
–以光线路径与折射率为参量表示相位 的实标量函数；
–平面波波函数略去时间因子
第二章 光线理论
• 程函方程和光线路径方程
• 光纤光学
– 均匀介质波导中光线的传播 – 阶跃光纤中光线的传播 – 梯度光纤中光线的传播
– 导波模与特征模
– 多模波导的传输特性
• 关键词：光程、相位差、阶跃光纤、梯度光纤、
导波模、特征模
1
光线理论适用条件：0 0
忽略波长的有限大小
–能量可以看成沿一定的曲线（光线）传输
–相位因子
k r nk0 r
ε ε0
k0 ω ε0 μ0 , n
• 略去时间因子，用光程函数 表示
E E0 r exp jk0 r
对非均匀介质，相位既 与位置有关，又与传播 路径上的折射率有关。
11
由麦克斯韦方程推导平面波程函方程
19
例2 光线弯曲现象——沙洲神泉
• 烈日照射下的公路或沙漠上空，地面温度最高，空气折射率 最小，并随高度而增大。
• 光线弯曲与海面相反，向天空方向弯曲。
• 观察者A看见的是位于地面下方的P’。由于光线弯曲，似有真 实物的倒像出现于地面下方。
20
小结
程函方程：表示光线传播时的相位变化与介质折射率分布 的关系 2 ( r ) n2 r 光线在均匀介质传播路径上无方向变化；在非均匀介质传 播路径上有方向变化。 光线方程： d ds
• 将光程函数 r 表示的平面波波函数代入电场旋度公式：
jk r E {E0 r e } e jk r E0 r e jk r E0 r
0
E j0 H
0
0
e jk0 r E0 r jk 0 e jk0 r r E0 r
• 决定光学折射率的介电常数，取决于介质分子偶极矩的 定向排列有序度。温度高则分子无规则热运动强烈，致 使折射率降低。 • 海面上空随高度增大温度升高，同时大气密度减低，均 导致折射率下降。光线向地面弯曲。 • 处于A除的观察者，由于光线弯曲，其视觉效果看到的是 相当于P’点发出的光束，实际是真实物点P的光束。 • 如果在物点P下方有另一个 物点，则在P’下方同样有对 应“正像”。
• 所以有
n1 sin θ1 n2 sin θ2
• 与实验中发现的折射定律一致
6
费马原理与物象等光程性
nr ds 常数
P Q
成像过程是对同心光束实现共轭变换的过程
– 按球面波概念，在0等相位面上有
' ' L M 10 M 1 N1 N1 L M 20 M 2 N 2 N 2 L M 10 M i N i N i'
ds
其解为矢量直线方程：
r sa b
a和b是常矢量，在均匀介质中光线路经沿矢量a前进，并 通过r=b点。 物理意义： d dr 表示光线路径的切线变化率——曲率。
ds ds
d dr 0 表示光线路径为直线。 ds ds
18
例2 光线弯曲现象——海市蜃楼
1. 在均匀介质中
LQP nl
n Q
l
P
2. 在分区的均匀介质中
LQP n1l1 n2 l 2 n3l3 ni l i
Q
n2
n1 l1
n3 l3
P
l2
3. 在变折射率介质中
LQP nr ds
P Q
d s Q
P
3
光程与相位差
非均匀介质中，光波从Q点通过M，N，--- 到达P点。各 扰动点相位逐点落后，P、Q两点扰动的相位差为：
0 0
Q
P Q k0 LQP k0 nili
光程与时间差的关系
LQP ct p tq
相位差取决 于光程中的 折射率变化
4
费马原理——最短光程原理
光线在任何两点P和Q之间的光学长度 nr ds 比连接这两 Q 点的任何其他曲线的光学长度都要短。和其他曲线的区别 是光学长度积分为平稳值——常数、极小值、极大值
（2.1a）
E
r E0 0
r H 0 0
E0
（2.1b） （2.1c） （2.1d）
相位梯度
H
13
平面波光线的特点： • 电矢量和磁矢量在每一点都和光线垂直； • 光线是与波面为常数的曲面正交的轨迹； • 光线方向与波面法线方向、相位梯度、波印廷矢量方向
一致。
进一步推导程函方程，将（2.1a）代入（2.1b）
r { r E0 } n 2 E0 0
利用矢量恒等式
A B C A C B A B C
有
{ r r }E0 n 2 E0 0
14
电场矢量振幅E0 不能处处为零，因而必然有：
n(r) n(r)
n1 n2
a 0 a 阶跃折射率分布
n1
r
n2
r
23
a 0 a 梯度折射率分布
2.3.1 阶跃光纤中光线的传播
• 相对折射率差：
n n n1 n2 Δ 2 2n1 n1
费马原理与反射等光程面
nr ds 常数
P Q
• 实际的理想成像系统只有平面镜，但其放大率恒等于1， 应用范围有限。 • 具有共轭点的特殊曲面反射或折射可使从Q点发出的宽光 束成为以同心光束； • 反射等光程面有三种：旋转椭球面、旋转抛物面、旋转 双曲面
QM MQ const
• 所以：
切线方向单位光程 沿路径变化率—— 光线方向变化趋势
d ds
dr n(r) ds n(r)
光线方程
（2.4)
折射率梯度
（路径与折射率关系）
17
例1：光线在均匀媒质中的传播
光线方程： d n(r) dr n(r) ds ds 因 n = 常数 d 2r n 0 改写成： 2 a b r s
–一个无限小的孔定义了一个无限细的光锥
–光场的一般性质与平面波相同，按平面波建立的反 射/折射定律，表述反射率、折射率、偏振态变化 的公式仍然有效。
光线理论：几何学方法考虑光学现象
– 确定光线路径
– 计算相关联的强度、相位、偏振
2
2.1 光程与程函方程
光程：波面走过的几何路径与折射率乘积
即光学长度。
P
费马原理与反射定律：
nr ds 极小值
P Q
光线从A点经平面反射镜M到达B点。其反射点为P，可证明 光程APB为最短。 • 作ACM，延长AC至D，使AC＝ＣＤ • 连接Ｂ、Ｄ两点交于Ｐ点 • 光线经镜面Ｍ上的其他任一点反射的 • 光程均要大于APB
5
费马原理与折射定律： Q nr ds 极小值
ds ds ds
式 2.3
2 r r n(r)2 r n(r) n(r) n(r) n(r)
dr n(r) (r) ds
z dr/ds
dr
r
路径S
r+dr
y
x
• 等式右边相位梯度表示光线传播方向上相位变化率。 • 等式左边表示路径切线单位矢量与折射率乘积——单位光程。 • 将上式对路径求导可求解光线路径随折射率变化规律。
16
d dr d • 上式对路径 S 求导: ds n(r) ds ds (r) • 等式右边： d d(r) dr (r) r
– 每条光线遵循马原理，从物点到像点各光线光程相等
L QM 1 N1Q' L QM 2 N 2Q' L QM i N i Q'
严格等光程严格成像
近似等光程近似成像 非等光程不成像
•
•
理想成像系统：
物空间所有物点发出的同心光束均严格成像（严格等光程）
P
• 光线经第一介质Ｎ１指定点Ａ到 达第二介质Ｂ点 • Ａ、Ｂ两点光程为：
2 APB n1 d12 x 2 n2 d 2 L x 2
• 按费马原理，光程为极值：
d APB x Lx n1 n2 n1 sin θ1 n2 sin θ2 0 2 2 2 2 dx d1 x d 2 L x
ωμ0 r E0 r H 0 r k0
因此有： r E0 H0
ωμ0 H 0 r ηH 0 r ω ε0 μ0 （：波阻抗）
由麦克斯韦方程其他三个方程同样处理，得到：
r E0 H 0
r H 0 n2
λ 0 k0
jk 0 e jk0 r r E 0 r
（在几何光学范围内）
• 与等式右边相等有：
jk 0e jk0 r r E0 r jω μ0 H 0 r e jk0 r
12
经整理： k0 r E0 r ωμ0 H 0 r
dr n(r) ds n(r) 光线向折射率大的方向弯曲。
相位梯度方向与波矢量k方向一致，其模等于该点邻近单 位距离内的相移。(弧度/米）
21
2.3 均匀介质波导中光线的传播
1) 薄膜波导： – 结构：芯层n1，衬底n2，敷层n3，芯层可以做成各 种形式。 – 工艺：薄膜成型法（离子扩散、晶体生长） – 衬底材料：玻璃、电光晶体、半导体材料 – 应用：集成光路、光波导器件。
r r n 2
即：
2
2
n 2，
2
( r ) nr
2
r r r 2 x , y , z （2.2） n x z y
n3 n1 n2
22
2) 圆柱波导——光纤 – 结构：芯层n1，包层n2，缓冲层（缓冲层：有弹性、 耐腐蚀的塑料护套）。 n2 n1 – 材料和工艺：玻璃、拉丝 n2 – 应用：光通信、传感、信息处理。 – 分类：据纤芯折射率分为阶跃折射率和梯度折射率光 纤；据传输信号分为单模和多模光纤、保偏光纤。
P Q
2 1 l1 2 li l 2 2 2 i
N M P
转换成用真空中波长表示： 2 P Q ni l i 2 P Q LQP 光程与相位差的关系
E E0 r exp jk0 r
r 常数 –波面（等相位面）：
–相位梯度 r 表示光线传播方向上相位变化率。
程函方程 ：用光程函数 表示光线几何轨迹的方程：
10
平面波波函数
• 平面波在各向同性非导体介质中任意方向传输的波函数：
E r,t E0 exp j ωt k r
上式即为程函方程：用光程函数 表示光线在空间几何轨 迹的方程 - 几何轨迹相位梯度的模等于介质折射率，折射率一旦确 定，光线空间轨迹就确定。
15
2.2 光线传播路径方程
r ：光线传播路径S上某点的矢径
dr/ds 表示光线传播路径切线方向
上单位矢量,其方向与相位梯度方向 一致， 根据光程以及相位梯度的定义，有： dr n(r) (r) （2.3) ds 单位光程
'
QM MQ const
'
8
大口径天文望远镜
• 由遥远星体发来的平行光束经抛物面镜聚焦成同心光束， 再经小镜面反射通过中心光孔； • 反射无色散
9
光程函数
光程函数 定义： r n,r
–以光线路径与折射率为参量表示相位 的实标量函数；
–平面波波函数略去时间因子
第二章 光线理论
• 程函方程和光线路径方程
• 光纤光学
– 均匀介质波导中光线的传播 – 阶跃光纤中光线的传播 – 梯度光纤中光线的传播
– 导波模与特征模
– 多模波导的传输特性
• 关键词：光程、相位差、阶跃光纤、梯度光纤、
导波模、特征模
1
光线理论适用条件：0 0
忽略波长的有限大小
–能量可以看成沿一定的曲线（光线）传输
–相位因子
k r nk0 r
ε ε0
k0 ω ε0 μ0 , n
• 略去时间因子，用光程函数 表示
E E0 r exp jk0 r
对非均匀介质，相位既 与位置有关，又与传播 路径上的折射率有关。
11
由麦克斯韦方程推导平面波程函方程
19
例2 光线弯曲现象——沙洲神泉
• 烈日照射下的公路或沙漠上空，地面温度最高，空气折射率 最小，并随高度而增大。
• 光线弯曲与海面相反，向天空方向弯曲。
• 观察者A看见的是位于地面下方的P’。由于光线弯曲，似有真 实物的倒像出现于地面下方。
20
小结
程函方程：表示光线传播时的相位变化与介质折射率分布 的关系 2 ( r ) n2 r 光线在均匀介质传播路径上无方向变化；在非均匀介质传 播路径上有方向变化。 光线方程： d ds
• 将光程函数 r 表示的平面波波函数代入电场旋度公式：
jk r E {E0 r e } e jk r E0 r e jk r E0 r
0
E j0 H
0
0
e jk0 r E0 r jk 0 e jk0 r r E0 r
• 决定光学折射率的介电常数，取决于介质分子偶极矩的 定向排列有序度。温度高则分子无规则热运动强烈，致 使折射率降低。 • 海面上空随高度增大温度升高，同时大气密度减低，均 导致折射率下降。光线向地面弯曲。 • 处于A除的观察者，由于光线弯曲，其视觉效果看到的是 相当于P’点发出的光束，实际是真实物点P的光束。 • 如果在物点P下方有另一个 物点，则在P’下方同样有对 应“正像”。
• 所以有
n1 sin θ1 n2 sin θ2
• 与实验中发现的折射定律一致
6
费马原理与物象等光程性
nr ds 常数
P Q
成像过程是对同心光束实现共轭变换的过程
– 按球面波概念，在0等相位面上有
' ' L M 10 M 1 N1 N1 L M 20 M 2 N 2 N 2 L M 10 M i N i N i'
ds
其解为矢量直线方程：
r sa b
a和b是常矢量，在均匀介质中光线路经沿矢量a前进，并 通过r=b点。 物理意义： d dr 表示光线路径的切线变化率——曲率。
ds ds
d dr 0 表示光线路径为直线。 ds ds
18
例2 光线弯曲现象——海市蜃楼
1. 在均匀介质中
LQP nl
n Q
l
P
2. 在分区的均匀介质中
LQP n1l1 n2 l 2 n3l3 ni l i
Q
n2
n1 l1
n3 l3
P
l2
3. 在变折射率介质中
LQP nr ds
P Q
d s Q
P
3
光程与相位差
非均匀介质中，光波从Q点通过M，N，--- 到达P点。各 扰动点相位逐点落后，P、Q两点扰动的相位差为：
0 0
Q
P Q k0 LQP k0 nili
光程与时间差的关系
LQP ct p tq
相位差取决 于光程中的 折射率变化
4
费马原理——最短光程原理
光线在任何两点P和Q之间的光学长度 nr ds 比连接这两 Q 点的任何其他曲线的光学长度都要短。和其他曲线的区别 是光学长度积分为平稳值——常数、极小值、极大值
（2.1a）
E
r E0 0
r H 0 0
E0
（2.1b） （2.1c） （2.1d）
相位梯度
H
13
平面波光线的特点： • 电矢量和磁矢量在每一点都和光线垂直； • 光线是与波面为常数的曲面正交的轨迹； • 光线方向与波面法线方向、相位梯度、波印廷矢量方向
一致。
进一步推导程函方程，将（2.1a）代入（2.1b）
r { r E0 } n 2 E0 0
利用矢量恒等式
A B C A C B A B C
有
{ r r }E0 n 2 E0 0
14
电场矢量振幅E0 不能处处为零，因而必然有：
n(r) n(r)
n1 n2
a 0 a 阶跃折射率分布
n1
r
n2
r
23
a 0 a 梯度折射率分布
2.3.1 阶跃光纤中光线的传播
• 相对折射率差：
n n n1 n2 Δ 2 2n1 n1