第20章-成本最小化

y (x*1)1/3(x*2 )2/3
w1 w2
y / x1 y / x2
(1 (2
/ /
3)(x*1 )2/3(x*2 )2/ 3)(x*1 )1/3(x*2 )1/
3 3
x*2 2x*1
.
成本最小化的道格拉斯例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
等成本线
给定 w1 和 w2, c 的等成本线方程是
w1x1 w2x2 c
x2
w1 w2
x1
c w2
.
斜率是 - w1/w2.
等成本线
x2
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
c’ < c” x1
成本最小化问题
给定产量y’，哪个投入组合使成本最小？ x2
f(x1,x2) y’ x1
如果一个公司的技术显示出常数规模回 报，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ， 要求双倍的所有投入水平. 整个生产成本双倍. 平均生产成本不改变.
规模报酬递减和平均总成本
如果一个公司的技术显示出规模报酬递 减，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ， 要求超过双倍的所有投入水平.
规模报酬递减和平均总成本
y 短期产量
x2
扩展线
y
长期成本是
c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2
y
x2
x2 x2
x1 x1 x1
x1
短期和长期总成本
y 短期产量
x2
扩展线
y
长期成本是
c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2
Slope = c(2y’)/2y’ = AC(2y’).
Slope = c(y’)/y’ = AC(y’).
y’
2y’ y
规模报酬和平均总成本
平均成本随着y递减 ，
$ 如果公司的技术显示出递增递r.t.s.
c(2y’) c(y’)
斜率 = c(2y’)/2y’ = AC(2y’).
斜率 = c(y’)/y’ = AC(y’).
因为
x*2
2w1 w2
x*1
和
x*1
w2 2w1
2/3
y
x*2
2w1 w2
w2 2w1
2/ 3
y
2w1 w2
1/ 3
y
厂商对投入2的条件需求.
x*1(w1, w2, y), x*2(w1, w2, y)
2ww21
2/ 3
y,
2ww21
1/
3 y
.
条件要素需求曲线
x2
y
x1
短期和长期总成本
x2
y 在长期，当公司同时自由选择 x1 和 y x2, 这个最小成本投入集是...
y
x1
短期和长期总成本
y
x2
y
长期产量扩展线
y
x2 x2 x2
x1 x1 x1
x1
短期和长期总成本
y
x2
y
长期产量 扩展路径
长期成本是:
c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2
y
x2
Short-run costs are:
cs(y) c(y)
x2 x2
x1 x1 x1
x1
短期和长期总成本
y 短期产量
x2
扩展线
y
长期成本:
c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2
w1
w2 2w1
2/ 3
y
w
2
2ww21
1/
3
y
12
2/ 3
w11/
3w
2/ 2
3y
21/ 3
w11/ 3 w
2/ 2
3y
3
w1w 4
2 2
1/ 3
y.
成本最小化－完全互补
公司的生产函数是 y min{4x1, x2}.
投入价格w1 和w2 被给定. 什么是厂商的条件需求，对于投入1和投 入2? 什么是厂商的总成本函数?
x2
4x1 = x2
min{4x1,x2} y’ x1
x2
4x1 = x2
x2* = y
x1* = y/4
min{4x1,x2} y’ x1
生产函数是 y min{4x1, x2}
条件要素需求函数
x*1 ( w1 ,
w2,
y)
y 4
和
厂商的总成本函数是
x*2(w1, w2, y) y.
规模报酬和平均总成本
平均成本增加随着y ，
$ 如果公司的技术显示出DRS.
c(2y’) c(y’)
斜率 = c(2y’)/2y’ = AC(2y’).
斜率 = c(y’)/y’ = AC(y’).
y’
2y’ y
规模报酬和平均总成本
平均成本增加随着y ，
$
如果公司的技术显示出DRS. c(y)
c(2y’) c(y’)
如果一个公司的技术显示出规模报酬递 增，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ， 要求超过双倍的所有投入水平. 所有的生产成本超过两倍.
规模报酬递减和平均总成本
如果一个公司的技术显示出规模报酬递 减，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ， 要求超过双倍的所有投入水平. 整个生产成本超过两倍. 平均生产成本增加.
X1*(w1,w2,y) 和 X2*(w1,w2,y) 最小成本投 入集是厂商对投入1和2的条件需求. 这个 (最小可能) 总成本用来生产y单位的 产量，
c(w1, w2, y) w1x*1(w1, w2, y) w2x*2(w1, w2, y).
成本最小化的问题
给定 w1, w2 和 y,这个最小成本投入集 怎样配置? 这些总成本函数怎样计算?
假设这个产出水平是y 0 是给定的.
假设这个投入价格w1 和w2,一个投入集
(x1,x2)的成本 是
w1x1 + w2x2.
成本最小化的问题
对于给定的w1, w2 和y, 厂商的成本最小 化问题是
min w1x1 w2x2
x1 ,x 2 0
约束条件 f (x1, x2 ) y.
成本最小化的问题
递增规模报酬和平均总成本
如果一个公司的技术显示出规模报酬递 增，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ， 要求少于双倍的所有投入水平.
递增规模报酬和平均总成本
如果一个公司的技术显示出规模报酬递 增，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ， 要求少于双倍的所有投入水平. 总生产成本少于两倍.
递增规模报酬和平均总成本
y’
2y’ y
规模报酬和总成本
$ c(2y’)
c(y’)
平均成本随着y递减 ， 如果公司的技术显示出递增r.t.s
c(y)
斜率 = c(2y’)/2y’ = AC(2y’).
斜率= c(y’)/y’
= AC(y’).
y’
2y’ y
规模报酬和总成本
平均成本是常数 ，
$ c(2y’)
如果公司的技术显示出常数r.t.s. c(y)
=2c(y’)
斜率 = c(2y’)/2y’
= 2c(y’)/2y’
c(y’)
= c(y’)/y’ 所以
AC(y’) = AC(2y’).
y’
2y’ y
短期和长期总成本
在长期，一个公司能够在所有的投入水 平变动. 考虑一个公司，它不能改变它的投入2水 平从x2’ 单位. 一个短期总成本生产y单位产出与一个长 期总成本生产y单位产出相比较怎样?
短期和长期总成本
短期成本最小化问题是长期问题受限于特 殊限制x2 = x2’. 但是，如果长期选择对于x2 x2”，则这个 额外限制 x2 = x2”阻止了公司在这些短期 形式 来获得它的长期生产成本，导致短期 总成本来超过长期总成本（生产y个产量单 位）.
短期和长期总成本
y
x2
y
考虑三个产量水平.
成本最小化
如果一个公司在最小可能的总成本条件 下，生产任意给定的产量水平y 0 ， 那么，该公司是成本最小化的。 c(y) 表示公司的最小可能的总成本，对 于生产y单位的产量. c(y) 是公司的总成本函数.
成本最小化的问题
考虑一个公司使用两个生产要素投入来 生产.
这个生产函数是
y = f(x1,x2).
c(w1, w2, y) w1x*1(w1, w2, y)
w2x*2(w1, w2, y)
w1
y 4
w2y
w1 4
w 2
y.
平均总生产成本
对于正的产量水平y, 一个公司的平均产 出y单位的平均总成本是
AC( w1 ,
w2,
y)
c(w1, w2, y
y)
.
规模报酬和平均总成本
一个公司技术的规模回报的性质决定于平 均产出成本怎样随着产量水平的改变而改 变. 公司目前正生产y单位的产出. 公司的平均产量成本怎样改变，如果代之 以2y’ 单位的产出？
.
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
由 (b),
x*2
2w1 w2
x*1.
得到
y
(x*1
)1/
3
2w1 w2
x*1
2/ 3
y
( x*1 )1/ 3
2w1 w2
x*1
2/3
2ww21
2/3
x*1.
x*1
w2 2w1
2/3
y
厂商对投入1的条件需求
成本最小化问题
x2
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
x2
w1 TRS MP1
w2
MP2
at
(x*1, x*2 ).
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
道格拉斯函数
y f (x1, x2 ) x11/3x22/3.
投入价格是w1 和w2. 什么是这个公司的条件投入1/ 3x22 / 3
x*1(w1, w2, y), x*2(w1, w2, y)
w2 2w1
2/ 3
y,
2w1 w2
1/3 y
.
总成本函数是
c( w1, w 2, y) w1x*1( w1, w 2, y) w 2x*2( w1, w 2, y)
固定 w1 和 w2.
y y
y
x1
固定 w1 和 w2
y
x2
y
y x*2(y)
x*2
x*2 ( y ) x*1 ( y )
y
y y
y
x1
x*1 ( y )
x*1
固定 w1 和 w2.
y
x2
y y
x*2 ( y ) x*2 ( y )
x*1 ( y ) x*1 ( y )
y x*2(y)
x*2 ( y )
y
x2 固定w1 和 w2.
y
扩展路径
y
y
x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y )
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
y
y
x*2(y) x*2(y) x*2 ( y )
x*2
y y
y y
y
x1
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
x*1
对要素1的条件需求
柯布—道格拉斯成本最小化
短期和长期总成本
长期成本最小化问题是
min w1x1 w2x2 x1,x20受限于 f (x1, x2 ) y.
短期成本最小化问题是
min w1x1 w2x2
x10
受限于 f (x1, x2 ) y.
短期和长期总成本
短期成本最小化问题是长期问题受限于特 殊限制x2 = x2’. 如果长期选择对于x2 是 x2’ 则额外限制x2 = x2’ 根本就不是真的限制，所以长期和短 期生产y单位产量的总成本是一样的.
x*2
y y
y y
y
x1
x*1 ( y ) x*1 ( y )
x*1
固定 w1 和w2.
y
x2
y
y
y
x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y )
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
y
y
x*2(y) x*2(y) x*2 ( y )
x*2
y y
y y
y
x1
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
如果一个公司的技术显示出规模报酬递 增，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ， 要求少于双倍的所有投入水平. 总生产成本不到两倍. 平均生产成本增加.
规模报酬和平均总成本
$/产量单位
AC(y)
递减 r.t.s. 常数 r.t.s. 递增 r.t.s.
y
规模报酬和平均总成本
总成本函数递形状意味着什么？
规模报酬不变和平均总成本
如果一个公司的技术显示出常数规模回 报，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ， 要求双倍的投入水平.
规模报酬不变和平均总成本
如果一个公司的技术显示出常数规模回 报，则双倍它的产量水平从y’ 到2y’ ， 要求双倍的所有投入水平. 所有的生产成本双倍.
规模报酬不变和平均总成本
y
x2
x2 x2
x1 x1 x1
x1
短期和长期总成本
现在假设这个公司成为 限制在短期约束之下x2 = x2”.
短期和长期总成本
y 短期产量
x2
扩展线
y
长期成本是
c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2 c(y) w1x1 w2x2
y
x2
x2 x2
x1 x1 x1
x1
短期和长期总成本
什么是厂商的条件需求对于投入1和投生产函数是条件要素需求函数平均总生产成本对于正的产量水平y一个公司的平均产出y单位的平均总成本是ac规模报酬和平均总成本一个公司技术的规模回报的性质决定于平均产出成本怎样随着产量水平的改变而改公司目前正生产y单位的产出
第二十章
成本最小化 Cost Minimization
x*1
y
x2 固定 w1 和w2.
y
常量扩展路径 y y
x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y )
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
y
y
x*2(y) x*2(y) x*2 ( y )
x*2
y y
y y
y
x1
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
x*1
对要素2的条件需求