江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学 解题技巧

１
江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高一数学解题技巧传播：数列、解斜三角形
（二）
1．已知数列{}n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*
1(,)()n n P a a n N +∈在一次函数1y x =+ 的图象上，则
1231111
n
S S S S ++++L = 【答案】
21
n
n + 【解析】
试题分析：因为，数列{}n a 中，11,a =前n 项和为n S ，且点*
1(,)()n n P a a n N +∈在一次函数1y x =+ 的
图象上，所以，11n n a a +=+，11n n a a +-=， n a =n ，
n s =
(1)
2
n n +，
12112()(1)1n S n n n n ==-++， 所以
1231111n S S S S ++++L =111112[(1)()......()]2231n n -+-++-+=21
n
n +，故选A 。

考点：本题主要考查直线，等差数列的通项公式、求和公式，“裂项相消法”。

点评：典型题，本题综合考查直线，等差数列的通项公式、求和公式，“裂项相消法”。

应该注意到“分组求和法”“错位相减法”均是常常考查的数列求和方法。

2．在等差数列{}n a 中，135246105,99,a a a a a a ++=++=以n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则使n S 达到最大值的n 是 【解析】20
试题分析：因为，在等差数列{}n a 中，135246105,99,a a a a a a ++=++=所以，由等差数列的性质，得，
34343105,399,35,33,a a a a ====公差d=－2，3(3),412n n a a n d a n =+-=-，因此，{}n a 是递减数
列，前20项为正数，从第21项起，所有项均为负数，故使n S 达到最大值的n 是20，选C 。

考点：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，等差数列的性质。

点评：中档题，在等差数列中，m+n=p+q ，m n p q a a a a +=+。

２
3．在数列{}n a 中，1(n n a ca c +=为非零常数），且前n 项和为2()3
n
n
S t =
+，则实数t 的值为 【答案】1- 【解析】
试题分析：因为数列{}n a 中，1(n n a ca c +=为非零常数），所以，{}n a 是公比为c 的等比数列；又
2()3n n S t =+，所以，111(1)2()1113n n n a c a a c t c c c -=-=+---，从而，23c =，11a t c =-=31a ，－11a c
-=1，
1a =1
3
-，t=－1，故选C 。

考点：本题主要考查等比数列的通项公式，前n 项求和公式。

点评：中档题，涉及等比数列的通项公式、求和公式问题，往往需要建立方程组求解。

4．已知x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-≥+2
211
y x y x y x , 若目标函数 (0,0)z ax by a b =+>>的最大值为7, 则b a 43+的
最小值为 【答案】7 【解析】
试题分析：目标函数()0,0z ax by a b =+>>过直线22,1x y x y -=-=-交点()3,4时取得最大值，
347a b ∴+=，()()34134112121
342525247777
b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当a b =时
等号成立，最小值为7
考点：线性规划及均值不等式
点评：线性规划问题取得最值的点一般位于可行域的边界或顶点处 5． 对任意非零实数a ，b ，若a b ⋅的运算原理如图示，则12
12
(log 2)4
-⋅的值为
【答案】
58
【解析】
３
试题分析：∵12
12
1log 21,4
2
a b -
==-==
，∴1
12a b =>=，由框图可知，输出的数为
2
2
1
154228
a b +
+==，故选C 考点：本题考查了程序框图的运用
点评：正确理解框图的含义是解决此类问题的关键，属基础题 6．若正实数y x ,满足1=+y x ,且y
x t 41
2-
+=. 则当t 取最大值时x 的值为 . 【答案】
12
【解析】
试题分析：因为正实数y x ,满足1=+y x ,所以1x y =-，y x t 412-
+==1214y y +--=3-1()4y y
+，而11121,()1444y y y y y y +≥=-+≤-，故y x t 412-+=≤2，其中“=”成立的条件为1
14x y y y
+=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，解
得，x 的值为
12。

考点：本题主要考查均值定理的应用。

点评：中档题，应用均值定理，“一正，二定，三相等”缺一不可。

解答本题的关键，是通过转化，创造应用均值定理的条件。

7．已知0,0x y >>，且21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】（-4，2） 【解析】 试题分析：∵
211x y +=，∴x+2y=（x+2y ）（211x y
+=）=4+44248y x x y +≥+=，又x+2y ＞m 2+2m 恒成立，∴m 2
+2m ＜8，求得-4＜m ＜2
考点：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．
点评：此类问题常常利用恒成立问题转化为最值问题，主要考查了学生分析问题和解决问题的能力． 8．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果M 为 ． 【答案】23
S ←1
While S <10 S ←S +3 M ←2S +3 End while Print M
４
【解析】
试题分析：程序运行过程中数据的变化情况如下：1,4,11,7,16,10,23,s s m s m s m ======= 考点：程序
点评：求解本题关键是分析清楚程序执行过程中循环结构执行的次数
9．执行如右图所示的程序框图．若输入3x =，则输出k 的值是 .
【答案】5 【解析】 试题分析：第一次循环后x=8,k=1；第二循环后x=13,k=2；第三次循环后x=18,k=3；第四次循环后x=23,k=4；第五次循环后x=28>23,k=5；此时输出的k=5 考点：本题考查了程序框图的运用
点评：读懂程序结构，然后利用相关的知识去处理是解决程序框图问题的关键 10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b ．c ，且
2cos cos a c C
b B
-=，则B 的大小为 ． 【答案】
4
π
【解析】 试题分析：因为
2cos cos a c C
b B
-=，即（2a-c ）cosB=bcosC ，由正弦定理得：（2sinA-sinC ）cosB=sinBcosC ．∴2sinA •cosB-sinC •cosB=sinBcosC 化为：
2sinA •cosB=sinC •cosB+sinBcosC
所以2sinA •cosB=sin （B+C ）
输入x
输出k
５
∵在△ABC 中，sin （B+C ）=sinA ∴2sinA •cosB=sinA ，得：cosB=
22，∴B=4π，故答案为4
π。

考点：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的三角函数，三角函数诱导公式。

点评：中档题，研究三角形问题，一般有两种思路，即从边着手，主要利用余弦定理；二是从角入手，主要运用正弦定理。

11．设数列{}n a 的前n 项和为n S , 111,42()n n a S a n N ++==+∈ （ 1 ）若12n n n b a a +=-,求n b ; （ 2 ） 若1
2n
n n a d -=
,证明{}n d 是等差数列. 【答案】(1) 1
32n n b -=⋅；(2)通过 11323
.22
n n n n d d -+⋅-== 证得{}n d 是等差数列 。

【解析】
试题分析：(1)111,42()n n a S a n N ++==+∈Q 2142n n S a ++=+Q
22114()n n n n n a S S a a ++++=-=- 21122(2)n n n n a a a a +++∴-=-
即12n n b b += {}n b ∴是公比为2的等比数列,且1212b a a =-3分
12121,a a a S =+=Q 25a ∴= 1523b ∴=-=132n n b -∴=⋅ 5分
(2)1
1,322n n n n n a d b --=
=⋅Q ∴ 111122222
n n n n n n n
n n n n a a a a b d d +++---=-==. 即11323
.22
n n n n d d -+⋅-== ∴{}n d 是等差数列 10分 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的的基础知识，数列特征的确定方法。

点评：中档题，本题综合考查等差数列、等比数列的基础知识，本题首先利用,n n a s 的关系，确定通项公式，明确了所研究数列的特征。

证明数列是等差数列或等比数列，一般方法是利用定义，研究相邻两项的关系。

12．若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<221x x ，
(1) 求a 的值；
(2) 求不等式01522>-+-a x ax 的解集. 【答案】（1）a =－2 （2）1
{3}2
x x -<< 【解析】
试题分析：（1）依题意，可知方程2520ax x +-=的两个实数根为
1
2
和2， 2分 由韦达定理得：
12+2=5
a
- 4分 解得：a =－2 5分
６
（2）不等式22530x x --+>化为(21)(3)0x x -+<，∴
分
考点：本题考查了一元二次不等式的解法
点评：一元二次不等式的解法的考查主要有：一是利用一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系解一元二次不等式的出题；二是求含参数的一元二次不等式的解集或者利用不等式求参数范围，一般要对参数进行分类讨论
13．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin sin sin sin a c A B
b A C
+-=
-． （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）求
a b
c
+的取值范围． 【答案】（1）3
C π
=(2) (1,2]
【解析】
试题分析：解：（Ⅰ）
sin sin sin sin a c A B b A C +-=-a b
a c
-=
-，化简得222a b ab c +-=， …4分 所以2221cos 22a b c C ab +-=
=，3
C π=．
…7分
（Ⅱ）
sin sin sin a b A B c C ++
=
2sin()]3A A π=+-2sin()6A π
=+． …11分
因为2(0,)3A π∈，5(,)666A πππ+∈，所以1
sin()(,1]62
A π+∈． 故，
a b
c
+的取值范围是(1,2]．
…14分
考点：正弦定理以及余弦定理
点评：解决的关键是对于已知中边角关系的互化，进而得到角的求解，属于基础题。