高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》知识点总复习有答案解析

【最新】高考数学《三角函数与解三角形》专题解析
一、选择题
1．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2
π
ϕ<图象的一个对称中心为(
3
π
，0)，
其相邻一条对称轴方程为712
x π
=
，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )
A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度 C ．向左平移6
π
个单位长度 D ．向右平移
12
π
个单位长度
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】
根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+
(其中0A >，)2π
ϕ<
的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 可得1A =，
1274123
πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23
π
ϕπ⋅+=，
可得：3
π
ϕ=
，
可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
故把()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos23
6y x x π
π⎛
⎫
=++
= ⎪⎝
⎭
的图象， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规
律，诱导公式的应用，属于中档题．
2．已知ABC
V的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x米后，仍组成一个钝角三角形，则x的取值范围是（）
A．
1 0
2
x
<<B．
1
1
2
x
<<C．12
x
<<D．01
x
<<
【答案】D
【解析】
【分析】
根据余弦定理和三角形三边关系可求得x的取值范围.
【详解】
将ABC
V的三条边的边长均增加x米形成A B C
'''
V，
设A B C
'''
V的最大角为A'
∠，则A'
∠所对的边的长为()4
x+米，且A'
∠为钝角，则
cos0
A'
∠<，
所以
()()()
()()
222
234
234
x x x
x x x
x
⎧+++<+
⎪
+++>+
⎨
⎪>
⎩
，解得01
x
<<.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.
3．小赵开车从A处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40︒的方向直线行驶，30分钟后到达B处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A的南偏东70︒方向的C处，且A 与C的距离为153千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C处接小王，则小赵到达C处所用的时间大约为（）()
7 2.6
≈
A．10分钟B．15分钟C．20分钟D．25分钟
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=︒，20AB =，AC =，两边和夹角，
之后应用余弦定理求得13BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】
根据条件可得30BAC ∠=︒，20AB =，AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=，
则13BC =≈（千米）， 由B 到达C 所需时间约为13
0.2552
=（时）15=分钟． 故选：B ． 【点睛】
该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题目.
4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则
a
b
=( )
A ．
B ．2
C
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
由正弦定理及题设可知，sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，又
A B C π++=，可得sin 2sin A B =，再由正弦定理，可得解
【详解】
由正弦定理：
2sin sin b c
R B C
==，又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=
在ABC ∆中，A B C π++=
故sin()2sin A B π-=，即sin 2sin A B =
故
sin 2sin a A b B == 故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
5．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代
高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'
2357︒'
2413︒'
2428︒'
2444︒'
正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代
公元元年
公元前2000年
公元前4000年
公元前6000年
公元前8000年
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年
【答案】D 【解析】 【分析】
先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】
解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：
则16tan 1.610α=
=，169.4tan 0.6610
β-==，
tan tan 1.60.66
tan()0.4571tan tan 1 1.60.66
αβαβαβ---=
=≈++⨯g ．
0.4550.4570.461<<Q ，
∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．
故选：D ． 【点睛】
本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．
6．已知函数()sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则
()21sin x x -=（ ）
A ．
2
3
B ．
49
C D 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可得2123
x x π
=
-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛
⎫⎛
⎫-=-
=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭求解即可． 【详解】
因为0＜x π＜，∴112666x π
ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
，， 又因为方程()2
3
f x =的解为x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜π）， ∴
1223x x π+=，∴2123
x x π
=-， ∴()12112223
6sin x x sin x cos x ππ⎛
⎫⎛
⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭， 因为122123
x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π
＜，
∴12662x π
ππ⎛⎫
-
∈- ⎪⎝⎭
，，
∴由()112263f x sin x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得126cos x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，
∴()123
sin x x -=-
，故()21sin x x -=3
故选C ． 【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．
7．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（） A ．5-
B ．25
-
C ．
25
D ．
5 【答案】B 【解析】 【分析】
由辅助角公式可确定()max 5f x =，从而得到sin 2cos 5θθ-=；利用同角三角函数平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】
()()sin 2cos 5sin f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()max 5f x ∴=，即sin 2cos 5θθ-=
又22sin cos 1θθ+= 25
cos 5
θ∴=- 【点睛】
本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.
8．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫
=+∈>>< ⎪⎝
⎭
的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（ ）
A ．,3
π
ωπϕ==
B ．2,3
π
ωπϕ==
C ．,6
π
ωπϕ==
D ．2,6
π
ωπϕ==
【答案】C 【解析】 【分析】
由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23
f =确定ϕ. 【详解】 由图可得，2A =，511
4632T =-=，所以22T πω
==，ωπ=，又1()23f =，
所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6
k k Z π
ϕπ=+∈， 又2
π
ϕ<
，故6
π
=
ϕ. 故选：C 【点睛】
本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中
档题.
9．△ABC 中，已知tanA =13
，tanB =1
2，则∠C 等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．135°
【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，
11
tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132
A B
C A B A B A B π+
+=--=-=-=---⋅，
所以135C ?o .
故选：D. 【点睛】
本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.
10．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣
⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】
根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣
⎦⎣⎦ 22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
=⎝⎭⎭
=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】
这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.
11．已知函数()3cos(
2)2
f x x π
=+，若对于任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x 剟
成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．4 B ．1
C ．
1
2
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意得出()f x 的一个最大值为()2f x ，一个最小值为()1f x ，于此得出12x x -的最小值为函数()y f x =的半个周期，于此得出答案． 【详解】
对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟
成立.
所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12min
22
T
x x -=
=，故选D ． 【点睛】
本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．
12．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆
的面积
S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）
A
B
．
C
D
．【答案】A 【解析】 【分析】
根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得
sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据
sin 0C ≠，得1
cos 3
A =-
，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=
，代入公式=S . 【详解】
由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3
A =-
， 由余弦定理2
2
2
2
2cos 23
a b c bc A bc --=-=
=，所以3bc =， 由ABC ∆
的面积公式得
S ===故选：A 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
13．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若
121
cos 4
F MF ∠=
,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( ) A
．y = B
．y x = C ．y x =± D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】
Q 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 1212
22MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:
∴ 1212
122
2
122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅
可得:2
2
2
1
(2)(4)(2)2424
c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =
由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得
:b =
Q 双曲线渐近线方程为:b y x a
=±
则双曲线渐近线方程为
: y = 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
14．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则()f x 的最大值为（ ） A ．2
B
C
．D
或【答案】D
【解析】 【分析】
根据函数2
()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则有()(0)2
f f π
-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】
因为函数2
()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称， 所以()(0)2f f π
-=，
即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，
当2a =-
时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛
⎫=--=- ⎪⎝⎭，此时()f x
的最大值为
；
当1a =
时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛
⎫=+-=- ⎪⎝
⎭，此时()f x
；
综上()f x
或. 故选：D 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
15．函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭
上有零点，则ϕ的取值范围是（ ）
A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．25,36ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．,32ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】C 【解析】
分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式 详解：当[,]66x ππ
∈-，2[,]33
x ππ
ϕϕϕ+∈-++，
又∵(0,)ϕπ∈，则[,][0,]33ππϕϕπ-++⊆，即03
3πϕπϕπ⎧
-≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩
，233ππϕ≤≤，
由cos(2)0x ϕ+=得2,2
x k k Z π
ϕπ+=+
∈，242
k x ππϕ
=
+-，
∴06
4
2
π
π
ϕ
-
<
-
<，解得
52
6
π
πϕ<<
， 综上
22
3
π
πϕ<≤
. 故选C.
点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点：
2
x k π
π=+，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k π
π+，k Z ∈.
16．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
由正弦定理得sin sin 22a b
A B a b R R
>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.
17．在ABC ∆中，060,A BC D ∠==是边AB 上的一点，CD CBD =∆的面积
为1，
则BD 的长为（ ） A ．
32
B ．4
C ．2
D ．1
【答案】C 【解析】
1
sin 1sin
2BCD BCD ∠=∴∠=
2
242
BD BD ∴=-=∴=,选C
18．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23
x π
=
时，()f x 取最大值，是（ ） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，
上是增函数 C ．()f x 在区间[]0π，
上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，
上是增函数 【答案】B
【解析】 【分析】
先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】
由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω=
=，即()1sin 2f x x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1
πsin 2
6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由
π1ππ2π2π2262k x k -
≤+≤+，解得4π2π
4π4π33
k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，故B 选项正确.所以本小题选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.
19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π
,43
BAC AP ∠=
=
，AB AC ==P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．32π
B ．48π
C ．64π
D ．72π
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，
且1
22
GO AP =
=，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可. 【详解】
在ABC V
中，AB AC ==23BAC π∠=
，可得6
ACB π∠=， 则ABC V
的外接圆的半径
π
2sin 2sin 6
AB r ACB =
==ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且1
22
GO AP =
=， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，
则222
OA OG AG =+，即外接球半径()
2
2
223
4R =
+=，
则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=. 故选C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
20．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
关于（ ） A ．直线3
π
θ=对称
B ．直线6
π
θ=
对称
C ．点2,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
对称 D ．极点对称
【答案】A 【解析】 【分析】 由4sin 6πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，得直角坐标方程：22
2230x x y y -+-= ，圆心为(3 ，又因为直线3
π
θ=即：3y x = 过点(3，由此便可得出答案.
【详解】
由曲线4sin 6πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，即：2
4sin 6πρρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，又因为cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
，化简得曲线
的直角坐标方程：222230x x y -+-= ，故圆心为(3 . 又因为直线3
π
θ=,直角坐标方程为：3y x = ，直线3y x =过点(3，故曲线关于
直线3
π
θ=
对称
故选：A. 【点睛】
本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.。