四级奥数练习

四级奥数练习
8.13试题
1. 某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分.问：此次测验至多有多少种不同的分数？
【分析】最高的得分为50分，最低的得分为0分.但并不是从0分到50分都能得到.从正面考虑计算量较大，故我们从反面考虑，先计算有多少
种分数达不到，然后排除达不到的分数就可以了.最高的得分为50
分，最低的得分为0分.
列表分析：
问题就变得很简单了。

如果原来三个数为1，3，5，为三奇数，无论怎
样，操作一次后一定为二奇一偶，再往后操作，可能有以下两种情况：
一是擦去一奇数，剩下一奇一偶，其和为奇，因此换上去的仍为奇数；
二是擦去一偶数，剩下两奇，其和为偶，因此，换上去的仍为偶数。

总
之，无论怎样操作，总是两奇一偶，而66，88，237是两偶一奇，这就
发生矛盾。

所以，原来写的不可能为1，3，5。

6. 甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上。

他们将卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张。

剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了。

甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数。

”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数?答案是否唯一。

【分析】甲手中的3张卡片上分别写了6，8和10。

甲知道其余4张卡片上分别写了哪些数，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中。

因此，只有在
它们之中任何两张卡片上的数的和都是偶数时，甲才能说出自己的断言。

而这就意味着，这4张卡片上所写的数的奇偶性相同，亦即或者都是偶
数，或者都是奇数。

但是由于一共只有3张卡片上写的是偶数，所以它
们不可能都是偶数，从而只能都是奇数。

于是3张写着偶数的卡片全都
落入甲的手中。

8.16试题
7. （第二届希望杯第二试）
两列在各自轨道上相向而行的火车恰好在某道口相遇，如果甲列车长225米，每秒钟行驶25米，乙列车每秒行驶20米，甲、乙两列车错车时间是9秒，求：（1）乙列车长多少米？
（2）甲列车通过这个道口用多少秒？
（3）坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？
【分析】（1）这是一个典型的相遇问题，根据前面的分析，已知两车的速度和
+⨯=（米），那么相遇的时间，可以求出两车的长度和，为：(2520)9405
乙列车的长度为：405225180
-=（米）
（2）把道口看作是没有速度没有长度的火车，那么甲车通过道口的路程也就是甲列车的长，所以甲列车通过道口的时间为：225259
÷=（秒）
（3）小明坐在甲车上，实际上是以甲车的速度和乙车相遇，路程和是乙车的车
÷+=（秒）
长，所以小明看到乙列车通过用了：180(2520)4
8. 一列快车和一列慢车相向而行，快车的车身长是280米，慢车的车身长是385米。

坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？
【分析】这个过程是火车错车，对于坐在快车上的人来讲，相当于他以快车的速度和慢车的车尾相遇，相遇路程和是慢车长;对于坐在慢车上的人来讲，
相当于他以慢车的速度和快车的车尾相遇，相遇的路程变成了快车的长,
相当于是同时进行的两个相遇过程，不同点在于路程和一个是慢车长，
一个是快车长，相同点在于速度和都是快车速度加上慢车的速度。

所以
可先求出两车的速度和为：3851135
÷=（米/秒），然后再求另一过程的
相遇时间，也就是坐在慢车上的人看见快车驶过的时间为：280358
÷=（秒）。

8.17试题
9. 一串数按下面规律排列：
1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6……
问从左面第一个数起，数100个数，这100个数的和是多少？
【分析】（法1）观察题中这一串数，容易想到把它们三个三个地分组如下：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），……可以发现这串数的排列有这样的规律：第1，2，3，……组中第一个数依次为1，2，3，……，每一组数都是由3个连续自然数组成，它们的和等于中间一个数的3倍。

÷=，也就是说，第100个数在第34组中，并且是34。

求前100个1003331
数的和，就是求前33组数的和与34的和是多少。

⨯+⨯+⨯++⨯+=
233343343341816
（法2）解法中利用分组的思想，（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），……，选择每组第一个数相加得：12333561
++++=, 那么总和即为56133366341816
⨯+++=。

建议教师先讲此法，再提出中位数（中间数字）或者平均数的方式讲解原解。

20. （全国奥林匹克竞赛）
有一个横2000格、竖1000格的矩形方格纸，现从它的左上角开始向右沿着边框逐格涂色到右边框，再从上到下逐格涂色到底边框，再沿底边框从右到左逐格涂色到左边框，再从下到上逐格涂色到前面涂色过的方格，如此一直螺旋式地涂下。