2015-2016学年四川省雅安市高一(下)期末数学试卷(解析版)

四川省雅安市2015-2016学年高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．在等差数列{a n}中，a1+a5=16，则a3等于（）
A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若a=1，b=，B=120°，则A等于（）
A．30°B．45°C．60°D．120°
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为（）A．B．C．D．
4．已知向量=（m+1，1），=（m+2，2），若（+）⊥（﹣），则实数m=（）
A．﹣3 B．1 C．2 D．4
5．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣12，S5=S8，则当S n取得最小值时，n的值为（）A．6 B．7 C．6或7 D．8
6．正实数x、y满足x+y=1，则+的最小值为（）
A．3 B．4 C．2D．3+2
7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有（）
A．1条B．2条C．4条D．无数条
8．设m，n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，有下列命题：
①若α⊥β，m⊥α，则m不可能与β相交
②若m⊥n，m⊥α，则n不可能与α相交
③若m∥α，n∥α，则m与n一定平行
④若m⊥β，n⊥α，则α与β一定垂直
其中真命题的序号为（）
A．①②B．②③C．①④D．②④
9．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=AD=2，∠A=60°，则=（）
A．6 B．﹣6 C．﹣3 D．2
10．在△ABC中，AB=2，AC=3，G为△ABC的重心，若AG= 则△ABC的面积为（）A．B．C．D．
11．已知f（x）=x+ln，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）的值为（）
A．5000 B．4950 C．99 D．
12．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为
则当+ 取得最大值时，内角A=（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.
13．若变量x、y满足约束条件：，则y﹣2x的最大值为．
14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若﹣S1=2015，则数列{a n}的公差为．
15．把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起并连接AC形成三棱锥C﹣ABD，其正视图、俯视图均为等腰直角三角形（如图所示），则三棱锥C﹣ABD的表面积为．
16．在锐角△ABC中，内角A、B、C的所对的边分别为a、b、c，若2acosC+c=2b，
则sin cos +cos2 的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，S3=9，求数列{a n}的公比与S10．
18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=．
（Ⅰ）求bcosC+ccosB的值；
（Ⅱ）若cosA= ，求b+c的最大值．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2BC=2AB=2．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）若E是PD的中点，求平面BCE将四棱锥P﹣ABCD分成的上下两部分体积V1、V2之比．20．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足= +
．
（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；
（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤），的
最小值为﹣，求实数m的值．
21．在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=，P、Q分别是AB、AC上的点，且PQ∥BC．
（Ⅰ）若平面A1PQ与平面A1B1C1相交于直线l，求证：l∥B1C1；
（Ⅱ）当平面A1PQ⊥平面PQC1B1时，确定点P的位置并说明理由．S．
22．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立，记b n=（n∈N）．（Ⅰ）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为R n，求证：对任意的n∈N，都有R n＜4n；
（Ⅲ）记c n=b2n﹣b2n﹣1（n∈N），设数列{c n}的前n项和为T n，求证：对任意n∈N，都有T n＜．2015-2016学年四川省雅安市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．在等差数列{a n}中，a1+a5=16，则a3等于（）
A．8 B．4 C．﹣4 D．﹣8
【分析】利用等差数列的性质2a3=a1+a5，根据已知中等差数列{a n}中，a1+a5=16，代入即可得到a3的值．
【解答】解：∵数列{a n}为等差数列
∴2a3=a1+a5=16，
∴a3=8
故选A
【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q，是解答本题的关键．
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若a=1，b=，B=120°，则A等于（）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【分析】利用正弦定理列出关系式，将a，b，sinB的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：在△ABC中，a=1，b=，B=120°，
∴由正弦定理=得：sinA===，
∵a＜b，∴A＜B，
则A=30°．
故选：A．
【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为（）
A．B．C．D．
【分析】由BC⊥CD，CB1⊥CD，得到平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角的平面角为∠BCB1，由此能求出平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角的大小．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵CD⊥平面BCC1B1，
∴BC⊥CD，CB1⊥CD，
∴平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角的平面角为∠BCB1，
∵BC=BB1，BC⊥BB1，
∴∠BCB1=．
∴平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为．
故选：C．
【点评】本题考查二面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
4．已知向量=（m+1，1），=（m+2，2），若（+）⊥（﹣），则实数m=（）
A．﹣3 B．1 C．2 D．4
【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，列出方程求出m的值．
【解答】解：向量=（m+1，1），=（m+2，2），
∴（+）=（2m+3，3），
（﹣）=（﹣1，﹣1）；
又（+）⊥（﹣），
∴（+）⊥（﹣）=﹣（2m+3）+3×（﹣1）=0，
解得m=﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目．
5．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣12，S5=S8，则当S n取得最小值时，n的值为（）
A．6 B．7 C．6或7 D．8
【分析】由等差数列前n项和公式，列出方程求出公差d=2，由此能求出S n，再利用配方法能求出当S n 取得最小值时，n的值．
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣12，S5=S8，
∴，
解得d=2，
∴S n=﹣12n+=n2﹣13n=（n﹣）2﹣，
∴当S n取得最小值时，n=6或n=7．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的前n项和取最小值时，n的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
6．正实数x、y满足x+y=1，则+的最小值为（）
A．3 B．4 C．2D．3+2
【分析】运用乘1法，可得+=（x+y）（+）=3++，再由基本不等式计算即可得到所求最小值及相应x，y的值．
【解答】解：正实数x、y满足x+y=1，可得：
+=（x+y）（+）=3++≥3+2=3+2．
当且仅当x=y=2﹣，取得最小值3+2．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．
7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有（）
A．1条B．2条C．4条D．无数条
【分析】先确定直线和AB，BC所成角相等的直线在对角面内，然后确定在对角面内的体对角线满足条件．分别进行类比寻找即可．
【解答】解：若直线和AB，BC所成角相等，得直线在对角面BDD1B1，内或者和对角面平行，同时和CC1所成角相等，此时在对角面内只有体对角线BD1满足条件．此时过A的直线和BD1，平行即可，
同理体对角线A1C，AC1，DB1，也满足条件．，
则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可，
共有4条．
故选：C．
【点评】本题主要考查异面直线所成角的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
8．设m，n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，有下列命题：
①若α⊥β，m⊥α，则m不可能与β相交
②若m⊥n，m⊥α，则n不可能与α相交
③若m∥α，n∥α，则m与n一定平行
④若m⊥β，n⊥α，则α与β一定垂直
其中真命题的序号为（）
A．①②B．②③C．①④D．②④
【分析】利用直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断，分析4个选项，即可得出结论．
【解答】解：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故①正确；
②若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故②正确；
③若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，故③不正确；
④若m⊥β，n⊥α，则α与β可以平行，故④不正确．
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
9．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=AD=2，∠A=60°，则=（）
A．6 B．﹣6 C．﹣3 D．2
【分析】可画出图形，根据条件即可得到，根据向量减法几何意义即可得到
，从而由向量的数量积的运算即可得出的值．
【解答】解：如图，根据条件，AB=4，，∠D=120°；
，=；
∴
=
=﹣8﹣2+4
=﹣6．
故选B．
【点评】考查等腰梯形的定义，向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，向量的数量积的运算及计算公式．
10．在△ABC中，AB=2，AC=3，G为△ABC的重心，若AG=，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．
【分析】由G为重心，设BE=x，可得BC=2x，可求AE，由余弦定理可得
=，代入可求x的值，进而可求BC，利用余弦定理可求cosB，根据同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：由：G为△ABC的重心，设BE=x，
可得BC=2x（E为BC中点），
由：AG=，可得AE=2，
由余弦定理可得：
cosB==，
由于：AB=2，AC=3，
可得：=，整理解得：x=．
可得：BC=2×=，
∴cosB===，
∴sinB==，
∴S△ABC=ABBCsinB==．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形重心的性质，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．
11．已知f（x）=x+ln，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）的值为（）
A．5000 B．4950 C．99 D．
【分析】推导出f（x）+f（100﹣x）=100，由此能求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）的值．
【解答】解：∵f（x）=x+ln，
∴f（x）+f（100﹣x）=x+ln+100﹣x+ln=100，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）
=50[f（1）+f（99）]﹣f（50）
=50×100﹣50
=4950．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出f（x）+f（100﹣x）=100．
12．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为，则当+取得最大值时，内角A=（）
A．B．C．D．
【分析】运用三角形的面积公式和余弦定理，可得+=2（sinA+cosA），再由两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，可得最大值及A的值．
【解答】解：由三角形的面积公式可得，
bcsinA=a，
即a2=2bcsinA，
由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，
可得b2+c2﹣2bccosA=2bcsinA，
即有+=2（sinA+cosA）
=2（sinA+cosA）
=2sin（A+），
当A+=，即A=时， +取得最大值2．
故选：D．
【点评】本题考查余弦定理和三角形的面积公式的运用，以及两角和的正弦公式及正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.
13．若变量x、y满足约束条件：，则y﹣2x的最大值为1．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：设z=y﹣2x，得y=2x+z，
作出不等式对应的可行域，
平移直线y=2x+z，
由平移可知当直线y=2x+z经过点B（0，1）时，
直线y=2x+z的截距最大，此时z取得最大值，
代入z=y﹣2x，得z=1﹣0=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若﹣S1=2015，则数列{a n}的公差为2．
【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵﹣S1=2015，
∴a1+d﹣a1=2015，解得d=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起并连接AC形成三棱锥C﹣ABD，其正视图、俯视图均为等腰直角三角形（如图所示），则三棱锥C﹣ABD的表面积为4+2．
【分析】结合直观图，根据正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，可得平面BCD⊥平面ABD，分别求得△BDC和△ABD的高，即为侧视图直角三角形的两直角边长，代入面积公式计算．
【解答】解：如图：∵正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，
∴平面BCD⊥平面ABD，
又O为BD的中点，∴CO⊥平面ABD，OA⊥平面BCD，
三角形ACD与△ABC等式等边三角形，边长为2，所以面积相等为，
又△ABD和△BCD面积和为正方形的面积4，
∴三棱锥C﹣ABD的表面积为2+4；
故答案为：4+2．
【点评】本题考查了由正视图、俯视图求几何体的表面积，判断几何体的特征及相关几何量的数据是关键．
16．在锐角△ABC中，内角A、B、C的所对的边分别为a、b、c，若2acosC+c=2b，则sin cos+cos2
的取值范围是（，]．
【分析】锐角△ABC中，利用余弦定理求出cosA以及A的值，再求出B的取值范围，化简
sin cos+cos2，即可求它的取值范围．
【解答】解：锐角△ABC中，2acosC+c=2b，
∴2a+c=2b，
即a2+b2﹣c2+bc=2b2，
∴bc=b2+c2﹣a2，
∴cosA==，
得A=；
∴B+C=，
∴＜B＜，
∴＜B+＜，
得＜sin（B+）≤1；
∴sin cos+cos2=sinB+=sin（B+）+，
它的取值范围是（，]．
故答案为：（，]．
【点评】本题考查了三角恒等变换以及余弦定理的应用问题，是综合性题目．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，S3=9，求数列{a n}的公比与S10．
【分析】设等比数列{a n}的公比为q，y由a1=3，S3=9，可得a1+a2+a3=3（1+q+q2）=9，解得q，利用求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=3，S3=9，
∴a1+a2+a3=3（1+q+q2）=9，化为：q2+q﹣2=0，解得q=1或﹣2．
q=1时，S10=30．
q=﹣2时，S10==﹣1023．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=．
（Ⅰ）求bcosC+ccosB的值；
（Ⅱ）若cosA=，求b+c的最大值．
【分析】（Ⅰ）利用余弦定理求得bcosC+ccosB的值．
（Ⅱ）若cosA=，利用余弦定理以及基本不等式求得b+c的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，bcosC+ccosB=b+c=a=，
（Ⅱ）若cosA=，则A=，由余弦定理可得a2=3=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，
∴（b+c）2=3+3bc≤3+3，∴b+c≤2，当且仅当b=c时，取等号，故b+c的最大值为2．【点评】本题主要考查余弦定理，基本不等式的应用，属于基础题．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2BC=2AB=2．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）若E是PD的中点，求平面BCE将四棱锥P﹣ABCD分成的上下两部分体积V1、V2之比．
【分析】（Ⅰ）取AD中点H，连接CH，则CH⊥AD，CH=AB=HD，证明CD⊥平面PAC，即可证明求证：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）证明B，C，E，F四点共面，故平面BCE将四棱锥P﹣ABCD分成的上部分为四棱锥P﹣BCEF，下部分为多面体EFABCD．易知ABF﹣HCE为直三棱柱，CH⊥平面PAD，利用体积公式，即可求平面BCE将四棱锥P﹣ABCD分成的上下两部分体积V1、V2之比．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD．
取AD中点H，连接CH，则CH⊥AD，CH=AB=HD．
∴∠ACH=∠DCH=45°，
∴AC⊥CD，
∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，
∵CD⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）解：取PD中点E，PA中点F，连接EF，BE，则EF∥AD，
∵BC∥AD，
∴EF∥BC，
∴B，C，E，F四点共面．
故平面BCE将四棱锥P﹣ABCD分成的上部分为四棱锥P﹣BCEF，下部分为多面体EFABCD．
易知ABF﹣HCE为直三棱柱，CH⊥平面PAD．
∴V2=V ABF﹣HCE+V C﹣DEH=S△ABF BC+=+
==，
∵V P﹣ABCD===1，
∴V1=1﹣=，
∴=．
【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生付现金及微软的能力，正确运用公式是关键．
20．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．
（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；
（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤），f（x）=﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．
【分析】（Ⅰ）根据向量减法的几何意义，在两边同减去，进行向量的数乘运算便可得出，这样便可得出三点A，B，C共线；
（Ⅱ）根据上面容易求出点C的坐标，并求出向量的坐标，从而得出f（x）=（cosx﹣m）2+1﹣m2，这样根据配方的式子，讨论m的取值：m＜0，0≤m≤1，m＞1，这样即可求出m的值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得；
即；
∴，又∵有公共点A；
∴A，B，C三点共线；
（Ⅱ）；
∴；
∵；
∴
=
=（cosx﹣m）2+1﹣m2；
∵，∴cosx∈[0，1]；
①当m＜0，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值为1（舍去）
②当0≤m≤1时，当且仅当cosx=m时，f（x）取得最小值为1﹣m2，（舍去）
③当m＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，2﹣2m=；
∴
综上m=．
【点评】考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及共线向量基本定理，根据点的坐标求向量的坐标，以及配方求二次函数最值的方法．
21．在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=，P、Q分别是AB、AC上的点，且PQ∥BC．
（Ⅰ）若平面A1PQ与平面A1B1C1相交于直线l，求证：l∥B1C1；
（Ⅱ）当平面A1PQ⊥平面PQC1B1时，确定点P的位置并说明理由．S．
【分析】（Ⅰ）利用线面平行的性质证明l∥B1C1；
（Ⅱ）作PQ的中点M，B1C1的中点N，连接A1M，MN，A1N，
利用线面垂直的判定证明A1M⊥PQ，A1M⊥MN，即可平面A1PQ⊥面PQB1C1，
再利用余弦定理即可确定P点的位置．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PQ∥BC∥B1C1，B1C1⊂面A1B1C1，PQ⊄面A1B1C1，
∴PQ∥面A1B1C1；…（2分）
∵面A1PQ∩面A1B1C1=l，∴PQ∥l，…（3分）
∴l∥B1C1；…（6分）
（Ⅱ）P为AB的中点时，平面A1PQ⊥面PQC1B1；
证明如下：作PQ的中点M，B1C1的中点N，连接A1M，MN，A1N，
∵PQ∥BC，AP=AQ，进而A1Q=A1P，∴A1M⊥PQ，
∵平面A1PQ⊥面PQC1B1，平面A1PQ∩面PQC1B1=PQ，
∴A1M⊥面PQC1B1，而MN⊂面PQC1B1，
∴A1M⊥MN，即△A1MN为直角三角形；
连接AM并延长交BC于G，显然G是BC的中点，
设AP=x，则PB=2﹣x，则由=，可得=，解得AM=x，
在Rt△AA1M中，=+AM2=+x2．
同理MG=AG﹣AM=﹣x，
在Rt△MGN中，MN2=MG2+GN2=+=﹣3x+x2．
∴在Rt△A1MN中，=+MN2，
即3=+x2+﹣3x+x2，
解得x=1，即AP=1，此时P为AB的中点．…（12分）．
【点评】本题考查的是线面平行的性质，平面与平面垂直的判定，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
22．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立，记b n=（n∈N）．
（Ⅰ）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为R n，求证：对任意的n∈N，都有R n＜4n；
（Ⅲ）记c n=b2n﹣b2n﹣1（n∈N），设数列{c n}的前n项和为T n，求证：对任意n∈N，都有T n＜．
【分析】（I）利用公式a n=求出{a n}为等比数列，得出其通项公式，代入b n=
得出{b n}的通项公式；
（II）化简b n，得出{b n}的相邻两项之和小于8，从而得出结论；
（III）化简c n，得出c n＜，从第二项开始使用不等式c n＜，得出结论．
【解答】解：（I）∵a n=5S n+1，
当n=1时，a1=5a1+1，∴a1=﹣．
当n≥2时，a n﹣1=5S n﹣1+1，
∴a n﹣a n﹣1=5a n，
∴=﹣，
∴{a n}是以﹣为首项，以﹣为公比的等比数列．
∴a n=（﹣）n．
∴b n=．
（II）由（I）知b n==4+．
∴b2k+b2k﹣1=8++=8+=8﹣＜8．
∴当n为偶数时，设n=2m，则R n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m﹣1+b2m）＜8m=4n．
当n为奇数时，设n=2m﹣1，R n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m﹣3+b2m﹣2）+b2m﹣1＜8（m﹣1）+4=4n．∴对任意的n∈N，都有R n＜4n．
（III）c n=b2n﹣b2n﹣1=+==＜=．
∵b1=3，b2=，∴c1=，
∴当n=1时，T1．
当n≥2时，T n＜+25（+…+）=+25×
＜+25×=．
∴对任意n∈N，都有T n＜．
【点评】本题考查了数列的通项公式，求和公式，不等式的证明，属于难题．。