宜黄县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

宜黄县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 四棱锥的底面为正方形，底面，，若该四棱锥的所有顶点都在
P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2AB =体积为
同一球面上，则（ ）24316
π
PA =A ．3 B ． C ．
D ．
729
2
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
2． 已知直线l 1 经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（ ）
A ．垂直
B ．平行
C ．重合
D ．相交但不垂直3． 已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则f （2）的值为（
）
A ．
B ．﹣
C ．2
D ．﹣2
4． 已知圆的半径为1,为该圆的两条切线,为两切点,那么O ,PA PB ,A B PA PB ∙u u u r u u u r
的最小值为
A 、
B 、
C 、
D 、4
-3-4-+3-+
5． 在平面直角坐标系中，直线y=x 与圆x 2+y 2﹣8x+4=0交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（
）
A ．4
B ．4
C ．2
D ．2
6． 若直线y=kx ﹣k 交抛物线y 2=4x 于A ，B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则|AB|=（
）
A ．12
B ．10
C
．8
D ．6
　7． 椭圆=1的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ）
A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n
B ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
C ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥n
D ．若
m ∥α，m ∥β，则 α∥β　9． 不等式的解集是（
）
A ．{x|≤
x ≤2}
B ．{x|≤x ＜2}
C ．{x|x ＞2或x ≤}
D ．{x|x ≥}
10．集合,是的一个子集,当时,若有,则称为的一个“孤立{}5,4,3,2,1,0=S A S A x ∈A x A x ∉+∉-11且x A 元素”.集合是的一个子集, 中含4个元素且中无“孤立元素”,这样的集合共有个B S B B B A.4 B. 5 C.6 D.711．已知奇函数是上的增函数，且，则的取值范围是（
）
()f x [1,1]-1
(3)()(0)3
f t f t f +->t 班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A 、
B 、
C 、
D 、1163t t ⎧⎫-
<≤⎨⎬⎩
⎭2
433t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭16t t ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭2
13
3t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬
⎩⎭12．已知椭圆（0＜b ＜3），左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|+|BF 2|
的最大值为8，则b 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数，其中为自然对数()1
e e x x
f x =-e 的底数，则不等式的解集为________．
()()
2240f x f x -+-<14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=
，则= ．
15．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数，其中，若存在唯一的整数
()()21x
f x e x ax a =--+1a <，使得，则的取值范围是
0x ()00f x <a 16．设全集U=R ，集合M={x|2a ﹣1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是 ．
17．已知点M （x ，y ）满足，当a ＞0，b ＞0时，若ax+by 的最大值为12，则+的最小值是
．
18．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x ）满足f （x+1）=﹣f （x ），且f （x ）在[﹣1，0]上是增函数，下面五个关于f （x ）的命题中：①f （x ）是周期函数；
②f （x ） 的图象关于x=1对称；③f （x ）在[0，1]上是增函数；④f （x ）在[1，2]上为减函数；⑤f （2）=f （0）．正确命题的个数是 ．　
三、解答题
19．（本小题满分12分）
已知圆与圆：关于直线对称，且点在圆上.
M N 2
2
2
)35()35(r y x =++-x y =)3
5,31(-D M （1）判断圆与圆的位置关系；
M N （2）设为圆上任意一点，，，三点不共线，为的平分线，且交
P M )35,1(-A )3
5,1(B B A P 、、PG APB ∠于. 求证：与的面积之比为定值.
AB G PBG ∆APG ∆
20．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+，数列{b n}满足b n=
（Ⅰ）证明：b n∈（0，1）
（Ⅱ）证明：=
（Ⅲ）证明：对任意正整数n有a n．
21．设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．　
22．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．
23．已知函数．
()()2
1+2||02
()1()102
x x x x f x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）画出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间和值域；
()f x ()f x （2）根据图像求不等式的解集（写答案即可）
3
(x)2
f ≥
24．已知等差数列满足：=2，且，成等比数列。

（1） 求数列的通项公式。

（2）记为数列
的前n 项和，是否存在正整数n ，使得
若存在，求n 的最小
值；若不存在，说明理由.
宜黄县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】连结交于点，取的中点，连结，则，所以底面，则,AC BD E PC O OE OE PA P OE ⊥ABCD O
到四棱锥的所有顶点的距离相等，即球心，均为，所以由球的体积O 12PC ==
可得
，解得，故选B ．34243316ππ=7
2
PA =
2． 【答案】A
【解析】解：由题意可得直线l 1的斜率k 1=
=1，
又∵直线l 2的倾斜角为135°，∴其斜率k 2=tan135°=﹣1，显然满足k 1•k 2=﹣1，∴l 1与l 2垂直故选A
3． 【答案】A
【解析】解：设幂函数y=f （x ）=x α，把点（，）代入可得
=
α
，
∴α=，即f （x ）=，
故f （2）==
，
故选：A ．　
4． 【答案】D.
【解析】设，向量与的夹角为，，
，PO t =PA u u u r PB u u u r θPA PB ==1
sin 2t θ=
，，
2
22cos 12sin 12t θ
θ=-=-∴222cos (1)(1)(1)PA PB PA PB t t t
θ==-->u u u r u u u r g
，依不等式的最小值为.
2223(1)PA PB t t t
∴=+->u u u r u u u r g PA PB ∴u u u r u u u r
g 3-5． 【答案】A
【解析】解：圆x 2+y 2﹣8x+4=0，即圆（x ﹣4）2+y 2 =12，圆心（4，0）、半径等于2．
由于弦心距d==2，∴弦长为2
=4
，故选：A ．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．　
6． 【答案】C
【解析】解：直线y=kx ﹣k 恒过（1，0），恰好是抛物线y 2=4x 的焦点坐标，设A （x 1，y 1） B （x 2，y 2）
抛物y 2=4x 的线准线x=﹣1，线段AB 中点到y 轴的距离为3，x 1+x 2=6，∴|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8，故选：C ．
【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．　
7． 【答案】D
【解析】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2
，
则c=
=2
；
则椭圆的离心率为e==，
故选D ．
【点评】本题考查椭圆的基本性质：a 2=b 2+c 2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．　
8． 【答案】C
【解析】解：对于A ，若 m ∥α，n ∥α，则 m 与n 相交、平行或者异面；故A 错误；对于B ，若α⊥γ，β⊥γ，则 α与β可能相交，如墙角；故B 错误；对于C ，若m ⊥α，n ⊥α，根据线面垂直的性质定理得到 m ∥n ；故C 正确；对于D ，若 m ∥α，m ∥β，则 α与β可能相交；故D 错误；故选C ．
【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．
9． 【答案】B 【解析】解：不等式，移项得：
，即
≤0，
可化为：或
解得：≤x ＜2，
则原不等式的解集为：≤x ＜2故选B ．
【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型．学生进行不等式变形，在不等式两边同时除以﹣1时，注意不等号方向要改变．　
10．【答案】C 【解析】
试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B 中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B 的可能情况为：，，，，，共6个。

故{}0,1,3,4{}0,1,3,5{}0,1,4,5{}0,2,3,5{}0,2,4,5{}1,2,4,5选C 。

考点：1.集合间关系；2.新定义问题。

11．【答案】A 【解析】
考
点：函数的性质。

12．【答案】D
【解析】解：∵|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a=6，|AF 2|+|BF 2|的最大值为8，∴|AB|的最小值为4，
当AB ⊥x 轴时，|AB|取得最小值为4，∴
=4，解得b 2=6，b=
．
故选：D ．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
二、填空题
13．【答案】()32-，
【解析】∵，∴，即函数为奇函数，()1e ,e x x f x x R =-
∈()()11x
x x
x f x e e f x e e --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝
⎭()f x 又∵恒成立，故函数在上单调递增，不等式可转化为
()0x x
f x e e
-=+>'()f x R ()()2240f x f x -+-<，即，解得：，即不等式的解集为
()(
)
224f x f x -<-224x x -<-32x -<<()()
2240f x f x -+-<，故答案为.()32-，
()32-，14．【答案】= ．
【解析】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B ．
再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列．C=
，由a ，b ，c 成等差数列可得c=2b ﹣a ，
由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2+ab ．
化简可得 5ab=3b 2，∴ =．故答案为：．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．　
15．【答案】【解析】试题分析:设
,由题设可知存在唯一的整数，使得
在直线0x
的下方.因为
,故当
时,
,函数
单调递减; 当
时,
,函数单调递增;故,而当
时,
,故当
且
,解之得
,应填答案
.3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．
【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点，使得为背景,设置了一道求函数解析式中的参数0x ()00f x <的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化
为存在唯一的整数，使得在直线
的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依
0x
据题设建立不等式组求出解之得.
16．【答案】　[，1]　．
【解析】解：∵全集U=R ，集合M={x|2a ﹣1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，N ⊆M ，∴2a ﹣1≤1 且4a ≥2，解得 2≥a ≥，故实数a 的取值范围是[，1]，故答案为[，1]．　
17．【答案】　4　．
【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由，解得：A （3，4），
显然直线z=ax+by 过A （3，4）时z 取到最大值12，此时：3a+4b=12，即+=1，
∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，
当且仅当3a=4b 时“=”成立，故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．
18．【答案】　3个　．
【解析】解：∵定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x ），∴f （x ）=f （﹣x ）；
∵f （x+1）=﹣f （x ），∴f （x+1）=﹣f （x ），∴f （x+2）=﹣f （x+1）=f （x ），f （﹣x+1）=﹣f （x ）
即f （x+2）=f （x ），f （﹣x+1）=f （x+1），周期为2，对称轴为x=1
所以①②⑤正确，
故答案为：3个
三、解答题
19．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2.
【解析】
试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M 的圆心，,然后根据圆心距与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G 到AP 和BP DM r =MN 的距离相等，所以两个三角形的面积比值,根据点P 在圆M 上，代入两点间距离公式求和PA
PB S S APG PBG =∆∆PB ,最后得到其比值.PA 试题解析：（1） ∵圆的圆心关于直线的对称点为，
N )35,35(-N x y =)35
,35(-M ∴，9
1634
(||222=-==MD r ∴圆的方程为.M 9
16)35()35(22=
-++y x ∵，∴圆与圆相离.3823210)310()310(||22=>=+=r MN M N
考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.1
20．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由b n=，且a n+1=a n+，得，
∴，下面用数学归纳法证明：0＜b n＜1．
①由a1=∈（0，1），知0＜b1＜1，
②假设0＜b k＜1，则，
∵0＜b k＜1，∴，则0＜b k+1＜1．
综上，当n∈N*时，b n∈（0，1）；
（Ⅱ）由，可得，，
∴==．
故；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
，
故．
由知，当n≥2时，
=．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．　
21．【答案】
【解析】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在单调递减，在单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是
即
设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈时，g（t）≤0．
当m∈时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．
当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．
综上，m的取值范围是
22．【答案】
【解析】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=
∴a n=×=，
S n=
又∵==S n
∴S n=
（II）∵a n=
∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）
=﹣（1+2+…+n）
=﹣
∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．
23．【答案】（1）图象见答案，增区间：，减区间：，值域：；（2）。

(],2-∞-[)2,-+∞(],2-∞[]3,1--【解析】
试题分析：（1）画函数的图象，分区间画图，当时，，此时为二次函数，开()f x 0x ≤()2122f x x x =-
-口向下，配方得，可以画出该二次函数在的图象，当时，()()()21142222
f x x x x =-+=-++0x ≤0x >，可以先画出函数的图象，然后再向下平移1个单位就得到时相应的函数图()1(12x f x =-1(2
x y =0x >象；（2）作出函数的图象后，在作直线，求出与函数图象交点的横坐标，就可以求出的()f x 32
y =()f x x 取值范围。

本题主要考查分段函数图象的画图，考查学生数形结合思想的应用。

试题解析：（1）函数的图象如下图所示：
()f x 由图象可知：增区间：，减区间：，值域为：。

(],2-∞-[)2,-+∞(],2-∞（2）观察下图，的解集为：。

()32
f x ≥[]3,1--
考点：1.分段函数；2.函数图象。

24．【答案】见解析。

【解析】（1）设数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2+d ，2+4d 成比数列，故有（2+d ）2=2（2+4d ），化简得d 2﹣4d=0，解得d=0或4，
当d=0时，a n =2，
当d=4时，a n =2+（n ﹣1）•4=4n ﹣2。

（2）当a n =2时，S n =2n ，显然2n ＜60n+800，
此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，
当a n=4n﹣2时，S n==2n2，
令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，
解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），
此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，
当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41。