高中数学 3-2 第1课时 一元二次不等式同步导学案 北师大版必修5

§2 一元二次不等式
第1课时一元二次不等式的解法
知能目标解读
1.理解一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系，能借助二次函数的图像解一元二次不等式.
2.熟练掌握将一元二次不等式转化为一元一次不等式组.
3.对于含参数的一元二次不等式，能进行分类讨论求解.
重点难点点拨
重点：一元二次不等式的解法.
难点：一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系及对含参数的一元二次不等式的分类讨论.
学习方法指导
1.一元二次不等式与相应的二次函数，二次方程的联系
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)有着密切联系，这种关系是用函数观点作指导，以函数图像来沟通的.它们之间的关系具体如下：
2.解一元二次不等式的一般步骤
（1）对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0.
（2）计算相应的判别式.
（3）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根.
（4）根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集.
注意：
（1）利用数形结合法解一元二次不等式.在熟悉图像的前提下，关键是迅速求解对应的一元二次方程.
求解时优先考虑因式分解法，其次才是公式法.
（2）特别地，若a<0时，应先运用不等式的性质将其化成正数，再解不等式.
（3）当判别式Δ=0时，不等式ax2+bx+c>0(a>0)与ax2+bx+c≥0(a>0)的解集不同.
3.解含参数的一元二次不等式
含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，解这类不等式可
以从分析两个根的大小及二次项系数的正负入手去解答，必要的时候应根据二次项系数的正负或两根的大小关系上分类讨论，对于每一种情况都要注意结合二次函数的图像写出不等式的解集.
4.解不等式应注意的问题
（1）解不等式的核心问题是不等式的同解变形，是将复杂的、生疏的不等式问题转化为简单的、熟悉的最简不等式问题.不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化.（2）一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）的解法是不等式的基础，因为很多不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）进行的.
（3）解不等式的过程中，经常要去分母、去绝对值符号等，往往易忽略限制条件和变量取值范围的
改变；对分步或分类求出的结果，何时求交集，何时求并集很容易失误.
（4）解含参数的不等式时，注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论.分类的标准是通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件）、根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变参数值）、按照解答的需要（例如进行不等式变形时，必须具备的变形条件）等方面来决定，一般都应做到不重复、不遗漏.
知能自主梳理
1.一元二次不等式
含有 未知数，且未知数的 次数为 不等式，叫做一元二次不等式.
2.一元二次不等式的解及其解集
一般地，使某个一元二次不等式成立的 叫做这个不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的 ，叫做这个不等式的解集. ［答案］ 1.一个 最高 2的整式 2.x 的值 集合
思路方法技巧
命题方向 一元二次不等式的解法
［例1］ 解下列不等式： （1）2x 2
-3x -2>0； （2）-3x 2+6x >2.
［分析］ 先求相应方程的根，然后根据相应函数的图像，观察得出不等式的解集.
［解析］ (1)方程2x 2
-3x -2=0的两根为x 1=-2
1
,x 2=2. 函数y =2x 2
-3x -2的图像是开口向上的抛物线，图像与x 轴有两个交点为（-2
1
，0）和（2，0），如图所示.
观察图像可得原不等式的解集为{x ｜x <-2
1
或x >2}. （2）原不等式可化为3x 2
-6x +2<0，方程3x 2
-6x +2=0的两根为
x 1=1-33,x 2=1+33,函数y =3x 2
-6x +2的图像是开口向上的抛物线，图像与x 轴的两个交点为（1-3
3，0）和（1+
3
3
，0），如图所示.
观察图像可得原不等式的解集是{x |1-
33<x <1+3
3}. ［说明］ 解一元二次不等式的步骤：整理二次不等式→计算对应方程的判别式→求相应方程的根→根据二次函数图像确定解集 变式应用1
解下列不等式： （1）2x 2
-8x +8≤0; (2)-x 2+6x -9≤0.
［解析］ (1)原不等式可化为x 2
-4x +4≤0, 即（x -2）2
≤0,∴原不等式的解集为{x |x =2}.
(2)原不等式可化为x 2
-6x +9≥0,即（x -3）2
≥0, ∴原不等式的解集为R . 命题方向 三个二次之间的关系
［例2］ 已知ax 2
+2x +c >0的解集为{x |-31<x <2
1},试求a 、c 的值，并解不等式-cx 2
+2x-a >0. ［分
析］ 由题意可知-
31,2
1是方程ax 2
+2x+c =0的两根，故可用韦达定理求得a 、c 的值. ［解析］ 由ax 2
+2x+c >0的解集为{x |-31<x <21}，知a <0，且方程ax 2
+2x+c =0的两根为x 1=-31,x 2=2
1,
由韦达定理知
a <0
-
31+21=a 2- -
31×21＝a
c , 由此得a =-12,c =2.
此时-cx 2
+2x-a >0，即2x 2
-2x -12<0, 解得-2<x <3.
∴所求不等式的解集为｛x |-2<x <3｝.
［说明］ 一元二次不等式解集的端点恰好是其对应的一元二次方程的两根，也是与其对应的二次函数与x 轴交点的横坐标. 变式应用2
已知关于x 的不等式x 2
+ax+b <0的解集为（1，2），求关于x 的不等式bx 2
+ax +1>0的解集. ［解析］ 由韦达定理有 -a =1+2
b =1×2
，得
a=-3, b=2
代入不等式，2x 2
-3x +1>0,
2x 2
-3x +1>0⇔ (2x -1)(x -1)>0⇔x <
2
1
或x >1. ∴bx 2
+ax +1>0的解集为（-∞,
2
1
）∪(1,+∞). 探索延拓创新
命题方向 含参数的一元二次不等式的解法
［例3］ 解关于x 的不等式ax 2
-(a +1)x +1<0(a <1).
［分析］ 当a =0时，不等式的解集→a <0时，不等式的解集→0<a <1时不等式的解集
［解析］ （1）若a =0,则原不等式可化为-x +1<0,即x >1.
(2)若a <0,则原不等式化为（x -a 1）(x -1)>0,即x <a
1
或x >1.
(3)若0<a <1时，原不等式的解为1<x <
a
1
. 综上所述：当a <0时，解集为｛x |x <a
1
或x >1｝;
当a =0时，解集为｛x |x >1｝; 当0<a <1时，解集为｛x |1<x <
a
1
｝.
［说明］ 含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；
若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏.若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 变式应用3
解关于x 的不等式（x -2）(ax -2)>0(a >0).
［解析］ 由于a >0,所以原不等式可化为（x -2）（x -
a
2
）>0, 由
a
2
＝2可得a =1, 当0<a <1时，解不等式可得x <2或x >
a
2
; 当a =1时，解不等式得x ∈R 且x ≠2; 当a >1时，解不等式得x <
a
2
或x >2. 综上所述，当0<a <1时，原不等式的解集为｛x |x >a
2
或x <2｝,
当a =1时，原不等式的解集为｛x |x ≠2｝, 当a >1时，原不等式的解集为｛x |x >2或x <
a
2
｝. 名师辨误做答
［例4］ 已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2
-(a -2)x +(a 2
+3a +5)=0的两个实根，求x 2
1+x 2
2的最大值. ［误解］ 由根与系数的关系，得x 1+x 2=a -2,x 1x 2=a 2
+3a +5, ∴x 2
1+x 2
2=(x 1+x 2) 2
-2x 1x 2=(a -2) 2
-2(a 2
+3a +5) =-a 2-10a -6
=-(a +5) 2
+19≤19， ∴x 2
1+x 22的最大值为19.
［辨析］ 由于一元二次方程只是在判别式Δ≥0时才有两个实根，故a 的取值范围有限制，本题没有考虑这一限制，会使x 2
1+x 2
2的范围不准确.
［正解］ 由Δ=（a -2）2
-4(a 2
+3a +5)≥0，得
-4≤a ≤-3
4
. ∴x 2
1+x 2
2=(x 1+x 2) 2
-2x 1x 2=-(a +5) 2
+19， ∴当a ＝-4时，x 2
1+x 2
2取最大值18.
课堂巩固训练
一、选择题
1.不等式16x 2
+8x +1≤0的解集为（ ）
A.｛x |x ≠-41｝
B.{x |-41≤x ≤4
1
}
C. D.{x |x =-4
1
}
［答案］ D
［解析］ ∵16x 2
+8x +1=(4x +1) 2
≥0， ∴不等式16x 2
+8x +1≤0的解集为{x |x =-4
1
}，故选D. 2.不等式-3x 2+7x -2<0的解集为（ ）
A.｛x |
31<x <2｝ B.{x |x >2或x <3
1
｝
C.{x |-2<x <-3
1
} D.｛x |x >2｝
［答案］ B
［解析］ 原不等式可化为3x 2
-7x +2>0, 即(3x -1)(x -2)>0,∴x >2或x <
3
1
,故选B. 3.(2011·福建文，6)若关于x 的方程x 2
+mx +1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A.(-1,1) B.(-2,2)
C.(-∞，-2)∪（2，+∞）
D.（-∞，-1）∪（1，+∞） ［答案］ C
［解析］ 本次考查一元二次方程根的个数问题.
"方程x 2
+mx +1=0有两个不相等实数根"m 2
-4>0,解得m >2或m <－2. 二、填空题
4.设集合A ={x |(x -1) 2
<3x -7},则集合A ∩Ｚ中有 个元素.
［答案］ 0
［解析］ ∵不等式(x -1) 2
<3x -7可化为x 2
-5x +8<0,
即(x -25)2+4
7
<0， ∴A =
,故A ∩Z 中没有元素.
5.二次函数y =ax 2
+bx+c （a ≠0）的部分对应值如下表：
则不等式ax 2
+bx +c >0的解集是 . ［答案］ ｛x |x <-2或x >3｝
［解析］ 由表知x =-2时，y =0，x =3时，y =0.
∴二次函数y=ax 2
+bx+c 可化为y =a (x +2)(x -3),又当x =1时，y =-6,∴a =1. ∴不等式ax 2
+bx+c ＞0的解集为｛x |x ＜-2或x ＞3}. 三、解答题
6.若不等式ax 2
+bx +c >0的解集为｛x |-3<x <4｝,求不等式bx 2
+2ax -c -3b <0的解集.
［解析］∵ax 2
+bx+c >0的解集为｛x |-3<x <4｝, ∴a <0且-3和4是方程ax 2
+bx+c =0的两根，
-3+4＝－
a
b -3×4＝a
c 解得
b=-a
c =-12a
∴不等式bx 2
+2ax-c -3b <0可化为-ax 2
+2ax +15a <0, 即x 2
-2x -15<0, ∴-3<x <5,
∴所求不等式的解集为{x |-3<x <5}.
课后强化作业
一、选择题
1.(2011·山东理，1)设集合M ={x |x 2
+x -6<0}，N ={x |1≤x ≤3},则M ∩N =（ ） A.［1,2) B.［1,2］ C.( 2,3］ D.［2,3］ ［答案］ A
［解析］ 本题主要考查集合的运算（交集）、集合的表示法及二次不等式的解法. 依题意：M =(-3,2),又N =［1,3］,M ∩N =［1,2),故选A.
.不等式-x 2
≥x -2的解集为（ ）
A.｛x |x ≤-2或x ≥1｝
B.｛x |-2<x <1｝
C.{x |-2≤x ≤1}
D.
［答案］ C
［解析］ 原不等式可化为x 2
+x -2≤0，即(x +2)(x -1)≤0，∴-2≤x ≤1.故选C. 3.不等式ax 2
+bx +2>0的解集是｛x |-21<x <3
1
｝,则a-b 等于（ ）
A.-4
B.14
C.-10
D.10
［答案］ C
［解析］ ∵不等式ax 2
+bx +2>0的解集为｛x |-
21<x <3
1
｝, ∴-
21、3
1是方程ax 2
+bx +2=0的两根,
－
21＋31＝－a
b
－21 31＝－a
2 解得
a =-12
b =-2.
∴a-b =-10.
4.若0<t <1,则不等式(x-t )(x -t
1
)<0的解集为（ ）
A.｛x |t 1<x<t ｝
B.{x |x >t
1或x<t }
C.{x |x <t 1或x >t }
D.{x |t <x <t
1}
［答案］ D
［解析］ ∵0<t <1, ∴t
1>1,
∵(x-t )(x -t 1)<0,∴t<x <t
1,故选D.
5.x =2是方程x 2
+kx +2=0的一根，则不等式x 2
+kx +2<0的解集为（ ） A.{x |x ≠2} B.{x |1<x <2}
C.{x |x <1或x >2}
D.
［答案］ B
［解析］ 方程x 2
+kx +2=0的一根为x =2,则由根与系数关系知另一根为1，所以x 2
+kx +2<0的解集为｛x |1<x <2｝. 6.下列四个不等式： ①-x 2
+x +1≥0；
②x 2-25x +5>0;
③x 2+6x +10>0; ④2x 2
-3x +4<1.
其中解集为R 的是（ ）
A.①
B.②
C.③
D.④ ［答案］ C
［解析］ ①显然不可能.
②中Δ=(-25)2
-4×5>0,解集不为R .
③中Δ=62
-4×10<0.故选C.
7.不等式x 2
-ax -12a 2
<0（其中a <0）的解集为（ ） A.（-3a ,4a ） B.(4a ,-3a ) C.(-3,4) D.(2a ,6a )
［答案］ B
［解析］ ∵x 2
-ax -12a 2
<0, ∴(x -4a )(x +3a )<0,又a <0, ∴4a<x <-3a .
8.如果ax 2
+bx +c >0的解集为｛x |x <-2或x >4｝,那么对于函数f (x )=ax 2
+bx +c 有（ ） A.f (5)<f (2)<f (-1) B.f (2)<f (5)<f (-1) C.f (2)<f (-1)<f (5) D.f (-1)<f (2)<f (5) ［答案］ C
［解析］ ∵ax 2
+bx +c >0的解为x <-2或x >4. 则a >0且-2和4是方程ax 2
+bx+c =0的两根，
∴函数f (x )=ax 2
+bx+c 的图像开口向上，对称轴为x =-a
b
2 =1. ∴f (5)>f (-1)>f (2),故选C. 二、填空题
9.不等式ax 2
+bx +3>0的解集为｛x |x >3或x <1｝,则a-b 等于 .
［答案］ 5
［解析］ 由题意，得
∴a-b =5.
10.若集合A ={x |x 2
-2x -3>0},B ={x |x 2
+ax+b ≤0}.且A ∪B =R ,A ∩B ={x |3<x ≤4}.则a = ,b = .
［答案］ -3,-4
［解析］ A ={x |x >3或x <-1},∵A ∪B =R ,
A ∩
B ={x |3<x ≤4},
∴B ={x |-1≤x ≤4},
∴-1,4是方程x 2
+ax+b =0的两根. ∴a =-(-1+4)=-3,b =-1×4＝－4.
11.若关于x 的不等式x 2
-ax-a ≤-3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . ［答案］ a ≤-6或a ≥2
［解析］ ∵x 2
-ax-a ≤-3的解集不是空集, ∴y =x 2
-ax-a +3的图像与x 轴有交点,
则Δ=(-a ) 2
-4×1×(-a +3)≥0，解得a ≤-6或a ≥2.
12.对于实数x ,当且仅当n ≤x<n +1(n ∈N +)时，规定［x ］=n ,则不等式4［x ］2
-36［x ］+45<0的解集为 . ［答案］ ｛x |2≤x <8｝
［解析］ 由4［x ］2
-36［x ］+45<0， 得
2
3
<［x ］<7.5,即1.5<［x ］<7.5, 故2≤［x ］≤7，∴2≤x <8. 三、解答题
13.解下列关于x 的不等式： （1）（5-x ）(x +1)≥0； （2）-4x 2
+18x -4
81
≥0； （3）-
2
1x 2
+3x -5>0; （4）-2x 2
+3x -2<0.
［解析］ （1）原不等式化为(x -5)(x +1)≤0，
∴-1≤x ≤5.
∴故所求不等式的解集为｛x |-1≤x ≤5｝. (2)原不等式化为4x 2
-18x +
4
81
≤0， 即（2x -
2
9）2
≤0，
∴x =
4
9
.
故所求不等式的解集为｛x |x =
4
9
｝.
(3)原不等式化为x 2
-6x +10<0,
即(x -3) 2
+1<0,∴x ∈. 故所求不等式的解集为
.
(4)原不等式化为2x 2
-3x +2>0, 即2(x -
43)2+8
7
>0. ∴x ∈R .
故所求不等式的解集为R .
14.解关于x 的不等式4≤x 2
-3x -6≤2x +8. ［解析］原不等式可化为
解得5≤x ≤7或x =-2.
∴原不等式的解集为｛x |5≤x ≤7或x =-2｝.
15.已知不等式ax 2+5x +c >0的解集为{x ｜
31<x <21}，求a,c 的值.
［解析］ 因为不等式ax 2+5x +c >0的解集为{x ｜
31<x <21}，
所以x 1=3
1与x 2=21是方程ax 2+5x+c =0的两个实数根，且a <0. 解法一：将x 1=
31与x 2=21分别代入方程ax 2+5x +c =0，得
∴a =-6,c =-1.
解法二：由根与系数的关系，得
16.解关于x 的不等式：56x 2-ax-a 2>0.
［解析］56x 2-ax-a 2＞0可化为（7x-a ）(8x+a )＞0,
①当a ＞0时，-8a ＜7a ，∴x ＞7a 或x ＜-8
a ;
②当a ＜0时，-8a ＞7a ,∴x ＞-8a 或x ＜7
a ； ③当a =0时，x ≠0.
综上所述，当a >0时，原不等式的解集为｛x |x >
7a 或x <-8a ｝, 当a =0时，原不等式的解集为｛x |x ∈R 且x ≠0｝, 当a <0时，原不等式的解集为｛x |x >-
8a 或x <7a ｝.。