安徽省阜阳市2021届新高考数学第二次押题试卷含解析

安徽省阜阳市2021届新高考数学第二次押题试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号
表示的二进制数 表示的十进制数 坤
000
震 001 1
坎 010 2 兑
011
3
依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ） A ．18 B ．17
C ．16
D ．15
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.
【详解】
由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为
1×20+1×24=1． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解. 【详解】
由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合， 所以||2OP OP BA '-==,故排除C,D 选项； 当02
x π
<<时，||2sin()2cos 2
OP OP P P x x π''-==-=，由图象可知选B.
故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.
3．若集合{}2|
0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭
，则A B =（ ） A ．[2,2)- B ．(]1,1-
C ．()11-，
D ．()1
2-， 【答案】C 【解析】 【分析】
求出集合A ，然后与集合B 取交集即可．
由题意，{}2|0|211x A x x x x +⎧⎫
=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭
，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x =-<<，故答案为C. 【点睛】
本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．
4．已知双曲线22
221x y a b
-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支
有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,2),
C ．(2,)+∞
D ．(1,2]
【答案】A 【解析】 【分析】
若过点F 且倾斜角为
3
π
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围． 【详解】
已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，
若过点F 且倾斜角为3
π
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a
， ∴3b a
，离心率22
2
2
4a b e a +=，
2e ∴，
故选：A ． 【点睛】
本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
5．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为
A ．
12- B ．
12
i + C ．
12+ D 12
i - 【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出．
z 1z 2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝12+． 故答案为C ． 【点睛】
熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.
6．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则
此数列的前20项的和为（ ）
A ．1133
902
-+
B ．11331002-+
C ．1233902-+
D ．12331002
-+
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分组求和法，利用等差数列的前n 项和公式求出前20项的奇数项的和，利用等比数列的前n 项和公式求出前20项的偶数项的和，进而可求解. 【详解】
当n 为奇数时，22n n a a +-=，
则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列， 当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+，
则数列中每个偶数项加1是以3为首项，以3为公比的等比数列. 所以201232013192420S a a a a a a a a a a =+++
+=+++++++
()()()2420109
1012111102
a a a ⨯=⨯+
⨯++++++-
()11013131001013
33902
-=+
--+=-.
故选：A 【点睛】
本题考查了数列分组求和、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．24π+
B ．24π-
C ．242π-
D ．243π-
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积. 【详解】
由三视图可知，该几何体为边长为2正方体ABCD A B C D ''''-挖去一个以B 为球心以2为半径球体的1
8
， 如图，故其表面积为2
124342248
πππ-+⨯⨯⨯=-， 故选：B.
【点睛】
(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 8．若0,0a
b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
9．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n n
n a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）
①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误
【答案】A 【解析】 【分析】
利用韦达定理可得1αβ+=,1αβ=-,结合n n
n a αβ=+可推出1n a +1n n a a -=+,再计算出11a =,23a =,
从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误. 【详解】
因为α,β是方程210x x --=的两个不等实数根,
所以1αβ+=,1αβ=-,
因为n n
n a αβ=+,
所以11
1n n n a αβ+++=+
()()n n n n n n αβααβββααβ=+++-- ()()()11n n n n αβαβαβαβ--=++-+ ()()111n n n n n n a a αβαβ---=+++=+,
即当3n ≥时,数列{}n a 中的任一项都等于其前两项之和, 又11a αβ=+=,()2
22223a αβαβαβ=+=+-=, 所以3214a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=, 以此类推,即可知数列{}n a 的任意一项都是正整数,故①正确; 若数列{}n a 存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5, 由11a =,23a =,依次计算可知,
数列{}n a 中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期, 故数列{}n a 中不存在个位数字为0或5的项,故②错误; 故选:A. 【点睛】
本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.
10．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3
x π
=
对称，为了得到函数
()g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ）
A ．先向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移
6π
个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12
，纵坐标保持不变 C ．先向右平移
3
π
个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变
D ．先向左平移3π
个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12
，纵坐标保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】
由函数()f x 的图象关于直线3
x π
=
对称，得1m =，进而得
()
cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，再利用图像变换求解即可
【详解】
由函数()f x 的图象关于直线3x π
=
对称，得3f π⎛⎫=
⎪⎝⎭
322m +=1m =，
所以()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移3
π
个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,
得()2cos2g x x =”即可. 故选：D 【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题
11．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ） A ．2e B ．4e C
D 【答案】D 【解析】 【分析】
通过分析函数()ln 10y ax x =->与()2
40y x ax x =+->的图象，得到两函数必须有相同的零点t ，解方程
组2ln 1040
at a at -=⎧⎨+-=⎩即得解. 【详解】
如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()2
40y x ax x =+->的图象，
因为0x >时，()0f x ≥恒成立， 于是两函数必须有相同的零点t ，
所以2
ln 10
40at a at -=⎧⎨+-=⎩
24at t e =-=，
解得4a e
- 故选：D 【点睛】
本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若
1122
a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；
③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】
【分析】
否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确. 【详解】
①的逆命题为“若a b >，则
1122
a b <++”， 令1a =-，3b =-可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；
②的逆否命题为“若0x ≤且0y ≤，则21x y +≤”，该命题为真命题，故②为真命题； ③的逆命题为“若直线0x my -=与直线2410x y -+=平行，则2m =”，该命题为真命题. 故选：C. 【点睛】
本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．
(2)当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：
①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ，则q ”是真命题；②判定“若p ，则q ”是假命题，只需举一反例即可．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数()sin f x x x ωω= (x ∈R ，0>ω)满足()()02f f αβ==，，且||αβ-的最小
值等于
2
π
，则ω的值为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】
利用辅助角公式化简可得()2sin 3f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
,由题可分析||αβ-的最小值等于
2
π
表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2
π
,进而求解即可. 【详解】
由题,()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫
=+=+ ⎪⎝
⎭
, 因为()0f
α=,()2f β=,且||αβ-的最小值等于
2π,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2
π, 所以1
4
2
T π
=
,即2T π=,
所以2212T ππωπ
=
==, 故答案为:1 【点睛】
本题考查正弦型函数的对称性的应用,考查三角函数的化简. 14．6
1(2)x x
-的展开式中常数项是___________. 【答案】-160 【解析】
试题分析：常数项为3
3
3
461(2)()160T C x x
=-=-. 考点：二项展开式系数问题.
15．某市公租房源位于A 、B 、C 三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率是______ .（用数字作答） 【答案】80243
【解析】 【分析】
基本事件总数53243n ==，恰好有2人申请A 小区房源包含的基本事件个数235280m C ==，由此能求出该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率． 【详解】
解：某市公租房源位于A 、B 、C 三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，
该市的任意5位申请人中，基本事件总数53243n ==，
该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源包含的基本事件个数：
235280m C ==，
∴该市的任意5位申请人中，恰好有2人申请A 小区房源的概率是80243
m p n =
=． 故答案为：80243
． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
16．已知()1,1P 为椭圆22
+=142
x y 内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线
方程为________________． 【答案】230x y +-=
【解析】 【分析】
设弦所在的直线与椭圆相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，利用点差法可求得直线AB 的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】
设弦所在的直线与椭圆相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，
由于点P 为弦的中点，则12
1212
12
x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，
由题意得22
1122
22142
1
4
2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212042x x x x y y y y -+-++=， 所以，直线AB 的斜率为
()()121212122221
4422
x x y y x x y y +-⨯=-=-=--+⨯，
所以，弦所在的直线方程为()1
112
y x -=--，即230x y +-=. 故答案为：230x y +-=. 【点睛】
本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程，一般利用点差法，也可以利用韦达定理设而不求法来解答，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17
．已知函数2()2sin cos 1,.f x x x x x R =+-∈ （1）求f(x)的单调递增区间；
（2）△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()12
A
f =且A 为锐角，a=3，sinC=2sinB ，求△ABC 的面积. 【答案】（1）,
()6
3
[]k k k Z π
π
ππ-++∈（2
）
2
【解析】 【分析】
（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x 解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.
（2）先由12A f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
求得A ，利用正弦定理得到2c b =，结合余弦定理列方程，求得,b c ，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】
（1）函数2()2sin cos 1,f x x x x x R =+-∈，
()2cos 22sin(2)6
f x x x x π
=-=-，
由222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤-≤
+∈，
得,6
3
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈.
所以()f x 的单调递增区间为,
()6
3
[]k k k Z π
π
ππ-++∈ .
（2）因为()2sin()12
6
A f A π
=-
=且A 为锐角，所以3A π
=
.
由sin 2sin C B =及正弦定理可得2c b =，又3,
3
a A π==，
由余弦定理可得2222222cos 3a b c bc A b c bc b =+-=+-=，
解得b c == 11sin 2222
ABC
S bc A ∴=
==
. 【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.
18．某公司打算引进一台设备使用一年，现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元，乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修，对于每台设备，一年间三次及三次以内免费维修，三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数，得到下面的频数分布表，以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.
（1）设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为X 和Y ，求X 和Y 的分布列； （2）若以数学期望为决策依据，希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低，且维修次数尽量少，则需要购买哪种设备？请说明理由.
【答案】（1）X 分布列见解析，Y 分布列见解析；（2）甲设备，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）X 的可能取值为10000，11000，12000，Y 的可能取值为9000，10000，11000，12000，计算概率得到分布列；
（2）计算期望，得到()()10800E X E Y ==，设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为ξ，η，计算分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】
（1）X 的可能取值为10000，11000，12000
5103(10000)5010P X +==
=，303(11000)505P X ===，51
(12000)5010
P X === 因此X 的分布如下
Y 的可能取值为9000，10000，11000，12000
51(9000)5010P Y ==
=，153(10000)5010P Y ===，153(11000)5010P Y ===，153
(12000)5010P Y ===
因此Y 的分布列为如下
（2）()1000011000120001080010510E X =⨯
+⨯+⨯= 1333
()90001000011000120001080010101010
E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=
设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为ξ，η
ξ的可能取值为2，3，4，5
51(2)5010P ξ==
=，101(3)505P ξ===，303(4)505P ξ===，51(5)5010
P ξ=== 则ξ的分布列为
()2345 3.7105510
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= η的可能取值为3，4，5，6
51(3)5010P η==
=，153(4)5010P η===，153(5)5010P η===，153(6)5010
P η=== 则η的分布列为
η
3 4 5 6
P
1
10 310 310 310
()3456 4.810101010
E η=⨯
+⨯+⨯+⨯= 由于()()E X E Y =，()()E E ξη<，因此需购买甲设备 【点睛】
本题考查了数学期望和分布列，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．如图，三棱锥P ABC -中，3,2,PA PB PC CA CB AC BC ===
==⊥
（1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）10
5
【解析】 【分析】
（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，证明PO ⊥平面ABC 得到答案.
（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，(0,1,0)m OC ==为平面PAB 的一个法向量，平面PAC 的一个法向量为(2,2,1)n =，计算夹角得到答案. 【详解】
（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，
,PA PB PO AB ∴⊥＝，22AB AC ==，
3PB AP ==2,1PO CO ∴==，POC ∴∠为直角，PO OC ∴⊥，
PO ∴⊥平面ABC ，PO ⊂平面PAB ，∴面PAB ⊥面ABC .
（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，则(1,0,0),2),(0,1,0)A P C ，
可取(0,1,0)m OC ==为平面PAB 的一个法向量. 设平面PAC 的一个法向量为(,
,)n l m n =.
则0,0PA n AC n ⋅=⋅=，其中(1,0,2),(1,1,0)PA AC =-=-，
120,10.n m ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩2,2.
n l m l ⎧
=⎪∴⎨⎪=⎩
，不妨取2l =，则(2,2,1)n =. cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉=222222021201105010221
⨯+⨯+⨯==++⋅++. C PA B --为锐二面角，∴二面角C PA B --的余弦值为
10
.
【点睛】
本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20．椭圆W ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F 3
A ，
B .过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆W 截得的线段长为1.
（1）求椭圆W 的标准方程；
（2）经过点()1,0P 的直线与椭圆W 相交于不同的两点C 、D （不与点A 、B 重合），直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：A 、D 、M 三点共线.
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据已知可得2
21b a
=，结合离心率和,,a b c 关系，即可求出椭圆W 的标准方程；
（2）CD 斜率不为零，设CD 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，消去x ，得到,C D 纵坐标关系，求出BC 方程，令4x =求出M 坐标，要证A 、D 、M 三点共线，只需证0AD AM k k -=，将AD AM k k -分子用,C D 纵坐标表示，即可证明结论. 【详解】
（1）由于2
2
2
c a b =-，将x c =-代入椭圆方程22221x y
a b
+=，
得2
b y a =±，由题意知221b a
=，即22a b =.
又2
c e a =
=
，所以2a =，1b =. 所以椭圆W 的方程为2
214
x y +=.
（2）解法一：
依题意直线CD 斜率不为0，设CD 的方程为1x my =+，
联立方程22
114
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22
(4)230m y my ++-=， 由题意，得>0∆恒成立，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，
所以12224m y y m +=-
+，122
3
4
y y m =-+ 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =
--.令4x =，得1
12(4,)2
y M x -. 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ， 则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =
+，1
13(2)
AM y k x =-， 所以21211221123(2)(2)
23(2)3(2)(2)
AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=
-=+--+.
上式中的分子211221123(2)(2)3(1)()3y x y x y my y my +=--+--
121226623()04
m m
my y y y m -+=-+=
=+，
0AD AM k k ∴-=.所以A ，D ，M 三点共线.
解法二：
当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =， 代入椭圆W
的方程，得C
，(1,D ， 直线CB
的方程为2)2
y x =-
-.
则(4,M
，(6,AM =
，(3,AD =， 所以2AM AD =，即A ，D ，M 三点共线. 当直线CD 的斜率k 存在时，
设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，
联立方程2
2
(1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 由题意，得>0∆恒成立，故2
122841k x x k +=+，2
122
4441
k x x k -=+. 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =
--.令4x =，得1
12(4,)2
y M x -. 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ， 则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =
+，1
13(2)
AM y k x =-， 所以21211221123(2)(2)
23(2)3(2)(2)
AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=
-=+--+. 上式中的分子211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+
121225()8kx x k x x k =-++22
224482584141
k k k k k k k -=⨯-⨯+++0=
所以0AD AM k k -=. 所以A ，D ，M 三点共线.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握根与系数关系，设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.
21．在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 是边长为2的菱形，四边形
ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且AB CD ∕∕， AB BC ⊥，1CD =
（1）若,E F 分别为1A C ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ； （2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值
5
，求二面角11A AC D --的余弦值．
【答案】 (1)见解析(2) 78
- 【解析】
试题分析：（1）第（1）问，转化成证明1A B ⊥平面11AB C ,再转化成证明11A B AB ⊥和111A B B C ⊥.(2)第（2）问，先利用几何法找到1AC 与平面ABCD 所成角，再根据1AC 与平面ABCD 5
求出11B C a =，再建立空间直角坐标系，求出二面角11A AC D --的余弦值. 试题解析：
（1）连接1A B ,因为四边形11ABB A 为菱形，所以11A B AB ⊥.
因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB BA ⋂平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，AB BC ⊥，所以BC ⊥平面11ABB A .
又1A B ⊂平面11ABB A ，所以1A B BC ⊥. 因为11//BC B C ，所以111A B B C ⊥.
因为1111B C AB B ⋂=，所以1A B ⊥平面11AB C .
因为,E F 分别为11A C ，1BC 的中点，所以1//EF A B ，所以EF ⊥平面11AB C （2）设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A .
由160A AB ∠=︒，2BA =，得123
AB =，2112AC a =+.
过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ，如图所示，
又160A AB ∠=︒，所以1ABA ∆为等边三角形，所以1A H AB ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面
11ABB A ⋂平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，故1A H ⊥平面ABCD .
因为11BCC B 为平行四边形，所以11//CC BB ，所以1//CC 平面11AA BB . 又因为//CD AB ，所以//CD 平面11AA BB .
因为1CC CD C ⋂=，所以平面11//AA BB 平面1DC M .
由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，所以BC ⊥平面1DC M ，所以1BC C M ⊥.
因为BC DC C ⋂=，所以1C M ⊥平面ABCD ，所以1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角.
因为11//A B AB ，11//C B CB ，所以11//A B 平面ABCD ，11//B C 平面ABCD ，因为11111A B C B B ⋂=，所以平面//ABCD 平面111A B C . 所以113
A H C M ==112135
sin 12MC C AM AC a
∠===+，解得3a =在梯形ABCD 中，易证DE AB ⊥，分别以HA ，HD ，1HA 的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.
则()1,0,0A ，()
3,0D ，(13A ，()12,0,3B -，()1,0,0B -，()
3,0C -，
由(13BB =-，及11BB CC =，得(13,3C -，所以(13,3AC =-，()
3,0AD =-，
(13AA =-.
设平面1ADC 的一个法向量为()111,,m x y z =，由10,0,m AC m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩得111113330,
30,x z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩
令11y =，得
m=(3,1,2)
设平面11AA C 的一个法向量为()222,,n x y z =，由110,0,n AC n AA ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩得222223330,30,x z x z ⎧
-+=⎪⎨-+=⎪⎩
令21z =，得)
3,2,1n =
.
所以7
cos ,8
31434188m n m n m n ⋅=
===++⨯++⨯ 又因为二面角11A AC D --是钝角，所以二面角11A AC D --的余弦值是7
8
-
. 22．如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点．
（Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ； （Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值．
（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为21
21
，若存在求出EN 的长，若不存在说明理由． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；27；（Ⅲ）线段EF 上是存在一点N ，2
||1EN =，使直线CN 与
平面BCF 所成的角正弦值为21
21
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）取AC 中点P ，连结MP 、FP ，推导出四边形EFPM 是平行四边形，从而//FP EM ，由此能证明//EM 平面ACF ;（Ⅱ）取AB 中点O ，连结CO ，FO ，推导出FO ⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，
OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E BC F --的余弦值；（Ⅲ）假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为21
21
，设EN t =．利用向量法能求出结果．
【详解】
（Ⅰ）证明：取AC 中点P ，连结MP 、FP ，
ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点，
//EF MP =
∴，∴四边形EFPM 是平行四边形，//FP EM ∴，
EM ⊂/平面ACF ，FP ⊂平面ACF ，
//EM ∴平面ACF ．
（Ⅱ）解：取AB 中点O ，连结CO ，FO ，
在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形， //AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点，
FO ∴⊥平面ABC ，OC AB ⊥，
以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，
(0B ，1，0)，C 0，0)，(0E ，1，1)，(0F ，0，1)，
(3BC =1-，0)，(0BE =，0，1)，(0BF =，1-，1)， 设平面BCE 的法向量(n x =，y ，)z ，
则·30·
0n BC x y n BE z ⎧=-=⎪
⎨
==⎪⎩，取1x =，得(1n =，0)，
设平面BCF 的法向量(m a =，b ，)c ，
则·30·0m BC a b m BF b c ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩
，取1a =，得(1,3,m =，
设二面角E BC F --的平面角为θ， 则||27
cos ||||47
m n m n θ=
==．
∴二面角E BC F --的余弦值为7
．
（Ⅲ）解：假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为21
，设||EN t =．
则(0N ，1t -，1)，(3CN =-1t -，1)，平面BCF 的法向量(1,3,m =，
2
||
|3|cos ,|||||
4(17CN m CN m CN m ∴<>=
=
=+，
解得12
t =-
，
∴线段EF 上是存在一点N ，||1EN =CN 与平面BCF ．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23．设函数1f x x
=（
），ln g x x =（）， （Ⅰ）求曲线21y f x =-（）在点（1,0）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数y f x g x =⋅（）（）在区间1[,]e e 上的取值范围．
【答案】（1）1y x =-（2）1]e 【解析】
分析：(1)先断定(1,0)在曲线(21)y f x =-上，从而需要求'(21)f x -，令1x =，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；
(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值. 详解：（Ⅰ）当1x =，()()2110y f f =-==. ()()
3/2
1
''2121y f x x =-=-，
当1x =，()''11y f ==， 所以切线方程为1y x =-. （Ⅱ）1ln ln y x x x x
⎛== ⎝,
ln
1
1
'
x
y
x
+
==,因为
1
,
x e
e
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，所以0
>.
令(
)ln
1
2
x
h x=+，(
)
'0
h x=>，则()
h x在
1
,e
e
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
单调递减，
因为()1=0
h，所以()()
y f x g x
=⋅在
1
,1
e
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上增，在[]
1,e单调递增.
()()
min
110
y f g
=⋅=,()(
)
max
11
max,max1,1
y f g f e g e
e e
⎧⎫
⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅=
⎨⎬
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎩⎭
,
11
>-，所以()()
y f x g x
=⋅在区间
1
,e
e
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上的值域为1
⎡⎤
⎣⎦.
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.。