2012-2021年北京重点区初一(下)期末数学试卷汇编：新定义

2012-2021北京重点区初一（下）期末数学汇编
新定义
1．（2021·北京东城·七年级期末）在平面直角坐标系中．点，，不在同一条直线上．对于点和线段
xOy A B P P 给出如下定义：过点向线段所在直线作垂线，若垂足落在线段上，则称点为线段的内垂AB P AB Q AB P AB 点．若垂足满足最小，则称点为线段的最佳内垂点． Q ||AQ BQ -P AB 已知点，，．
(2,1)A -(1,1)B (4,3)C -（1）在点、、，，中，线段的内垂点为 ； 1(2,3)P 2(5,0)P -3(1,2)P --4
1(2
P -4)AB （2）点是线段的最佳内垂点且到线段的距离是2，则点的坐标为 ； M AB AB M （3）点在轴上且为线段的内垂点，则点的纵坐标的取值范围是 ；
N y AC N n （4）已知点，，．若线段上存在线段的最佳内垂点，求的取值范围．
(,0)D m (4,0)E m +(2,3)F m CF DE m
2．（2020·北京东城·七年级期末）对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义： xOy G G (,)P x y 将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形(,)P x y (,)P x t y t '+-P t P 'P t G 上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如，将点平移到称为将点进行t G t (,)P x y (1,1)P x y '+-P “1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”． (,)P x y (1,1)P x y '-+P 1-已知点和点．
(2,1)A (4,1)B （1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 ．
(2,1)A A '（2）①将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中， AB 1-A B ''1(1.5,2)P 2(2,3)P 3(3,0)P 在线段上的点是 ．
A B ''
②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是 ．
AB t t （3）已知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，当(6,1)C (8,1)D -M CD B t B 't 的取值范围是 时，的最小值保持不变．
B M '
3．（2019·北京东城·七年级期末）对于任意一点和线段．若过点向线段所在直线作垂线，若垂足落在线段P a P a 上，则称点为线段的内垂点．在平面直角坐标系中，已知点，，．
a P a xOy (1,0)A -(2,0)B (0,2)C （1）在点，，中，是线段的内垂点的是 ；
(1,0)M (3,2)N (1,3)P --AB （2）已知点，．在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为三边的内垂点； (3,2)D -(3,4)E -Rt CDE ∆（3）已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线沿轴平移3个单位长度得到直线．若存在点，m x B y C m y n Q 使线段的内垂点形成的区域恰好是直线和之间的区域（包括边界），直接写出点的坐标．
BQ m n Q
4．（2018·北京东城·七年级期末）在中，定义的平分线所在直线与的外角平分线所在直线所夹的锐角
ABC ∆A ∠B ∠为的伴随角．
APB ∠C ∠
（1）如图1，在中，，，则的伴随角的度数为 ；
ABC ∆90C ∠=︒60BAC ∠=︒C ∠APB ∠︒（2）小明试图探究任意中的伴随角与之间的数量关系，于是他动手画了分别为直角、锐ABC ∆C ∠APB ∠C ∠C ∠角、钝角的三个图如下，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再证明． 请你根据以上三个图，测量相关角度，补全表格：
图2 图3 图4 的度数
C ∠
90︒ 的伴随角的度数
C ∠APB ∠
根据表格，小明得到了的伴随角与之间的数量关系的猜想： ； C ∠APB ∠C ∠（3）请你选择是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明证明他的猜想．
C ∠5．（2017·北京东城·七年级期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中xOy (,)P a b P '(,)a kb ka b ++k 为常数，且，则称点为点的“属派生点”．
0)k ≠P 'P k 例如：的“2属派生点”为，即． (1,4)P (124,214)P '+⨯⨯+(9,6)P '（1）点的“2属派生点” 的坐标为 ；
(1,6)P -P '（2）若点的“3属派生点” 的坐标为，则点的坐标 ；
P P '(6,2)P （3）若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的2倍，求的值． P x P k P 'PP 'OP k 6．（2021·北京西城·七年级期末）在平面直角坐标系中，对于点，，，，记，
xOy 1(A x 1)y 2(B x 2)y 12||x d x x =-，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，12||y d y y =-||x y d d -A B (,)A B μ(,)||x y A B d d μ=-B PQ 将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为． (,)A B μPQ A (,)A PQ μ（1），， (0,2)A -(1,4)B ①的值是 ；
(,)A B μ②点在轴上，若，则点的坐标是 ．
K x (,)0B K μ=K （2）点，在轴上，点在点的上方，，点的坐标为． P Q y P Q 6PQ =M (5,0)-①当点的坐标为时，求的值；
Q (0,1)(,)M PQ μ②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值及此时点的坐标．
PQ y (,)M PQ μP
7．（2020·北京西城·七年级期末）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：xOy 对于任意两个整点，，，，与的“直角距离”记为，． 1(M x 1)y 2(N x 2)y M N MN d 1212||||MN d x x y y =-+-例如，点与的“直角距离” ． (1,5)M (7,2)N |17||52|9MN d =-+-=（1）已知点．
(4,1)A -①点与点的“直角距离” ；
A (1,3)
B AB d =②若点与整点的“直角距离” ，则的值为 ；
A (2,)C m -8AC d =m （2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”P 之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是和．
(2,1)D --(2,2)E ①若对于火警高危点和，消防站不仅要满足上述条件，还需要消防站到，两个点的“直角距离”之差D E P P D E 的绝对值最小，则满足条件的消防站的坐标可以是 （写出一个即可），所有满足条件的消防站的位置共有 P P 个；
②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点，那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的(4,2)F -消防站的坐标为 ．
P
8．（2021·北京朝阳·七年级期末）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意xOy M N P M 一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“邻近Q N P Q M N 距离”，记为（图形，图形．
d M )N 已知点，，，． (2,2)A --(3,2)B -(3,3)C (2,3)D -（1）（点，线段 ；
d O )AB =（2）若点在轴上，且（点，线段，求点的横坐标的取值范围；
G x d G )2AB >G a （3）依次连接，，，四点，得到正方形（不含图形内部），记为图形，点，点A B C D ABCD M (,0)E t 3(0,)
2
F t -均不与点重合，线段，组成的图形记为图形，若（图形，图形，直接写出的取值范围． O EO OF N 1d <M )2N <t 9．（2019·北京朝阳·七年级期末）对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形沿上、下、xOy
G P G 左、右四个方向中的任意一个方向平移一次，平移距离小于或者等于1个单位长度，平移后的图形记为，若点
G '在图形上，则称点为图形的稳定点．例如，当图形为点时，点，都是图形P G 'P G G (2,3)-(1,3)M -(2,3.5)N -G 的稳定点．
（1）已知点，．
(1,0)A -(2,0)B ①在点，，，，中，线段的稳定点是 ． 1(2,0)P -2(4,0)P 31(1,)2P 4
3(2P 3
)2
-AB ②若将线段向上平移个单位长度，使得点或者点为线段的稳定点，写出的取值范围 ． AB t (0,1)E (0,5)F AB t （2）边长为的正方形，一个顶点是原点，相邻两边分别在轴、轴的正半轴上，这个正方形及其内部记为图a O x y 形．若以，为端点的线段上的所有点都是这个图形的稳定点，直接写出的最小值 ．
G (0,2)(4,0)G a 10．（2018·北京朝阳·七年级期末）对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：若存在点（不与点重xOy A B A 合，且直线不与坐标轴平行或重合），过点作直线轴，过点作直线轴，直线，相交于点AB A //m x B //n y m n ．当线段，的长度相等时，称点为点的等距点，称三角形的面积为点的等距面积．例如：如
C AC BC B A ABC A 图，点，点，因为，所以为点的等距点，此时点的等距面积为． (2,1)A (5,4)B 3AC BC ==B A A 92
（1）点的坐标是，在点，，中，点的等距点为 ． A (0,1)1(1,0)B -2(2,3)B 3(1,1)B --A （2）点的坐标是，点的等距点在第三象限， A (3,1)-A B ①若点的坐标是，求此时点的等距面积；
B 91
(,22
--A ②若点的等距面积不小于，求此时点的横坐标的取值范围．
A 9
8
B t
参考答案
1．【答案】见解析 【分析】
（1）由点、坐标知轴，可得线段的内垂点，；
A B //AB x AB 3P 4P （2）由题意知：点在的垂直平分线上，再根据到线段的距离是2，可得坐标；
Q AB M AB M （3）作交轴于，作交轴于，则在线段上，求出、的纵坐标即可； AE AC ⊥y E CF AC ⊥y F N EF E F （4）分点在左侧还是右侧，根据的中点为，列出相应的不等式解决问题． F C DE (2,0)m +【解析】解：（1），， (2,1)A - (1,1)B 轴，
//AB x ∴在点、、，，中，线段的内垂点，， ∴1(2,3)P 2(5,0)P -3(1,2)P --41
(2
P -4)AB 3P 4P 故答案为：，；
3P 4P （2）垂足满足最小，则称点为线段的最佳内垂点． Q ||AQ BQ -P AB 当在的垂直平分线上时，为最佳内垂点， ∴P AB P 点在的垂直平分线上，
∴Q AB 又到线段的距离是2， M AB 或；
(0.5,3)M ∴-(0.5,1)--故答案为：或；
(0.5,3)-(0.5,1)--（3）如图，作交轴于，作交轴于，
AE AC ⊥y E CF AC ⊥y F
为线段的内垂点， N AC 在线段上，
N ∴EF ，
37n ∴
故答案为：； 37n （4）当点在点左侧时， F C ，，
(,0)D m (4,0)E m +的中点为，
DE ∴(2,0)m +线段上存在线段的最佳内垂点，
CF DE ， 224m m ∴+- ，
6m ∴- 当点在点右侧时， F C 同理可得：，
422m m -+ ，
2m ∴ 综上可知：或．
6m - 2m 【点评】本题是阅读理解题，主要考查了坐标与图形的性质，明确最佳内垂点的定义是解题的关键． 2．【答案】见解析 【分析】
（1）根据“1型平移”的定义解决问题即可． （2）①画出线段即可判断．
11A B ②根据定义求出 最大值，最小值即可判断．
t
（3）如图2中，观察图象可知，当在线段上时，． B 'B B '''B M '【解析】
解：（1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为， (2,1)A A '(3,0)故答案为．
(3,0)（2）①如图1中，观察图象可知，将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中， AB 1-A B ''1(1.5,2)P 2(2,3)P 3(3,0)P 在线段上的点是．
A B ''1P
故答案为． 1P
②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是或． AB t t 42t -- 1t =故答案为或．
42t -- 1t =
（3）如图2中，观察图象可知，当在线段上时，，此时．
B 'B B '''B M '13t
故答案为
13t 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，“型平移”的定义等知识，解题的关键理解题意，灵活运用t 所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型． 3．【答案】见解析 【分析】
（1）画图后根据定义可以判定； （2）如图2所示；
（3）分两种情况：①在的下方，②在的上方，先根据平移3个单位确定与轴的交点坐标，作的平行n m n m y m 线，与轴的交点为，确定，过作轴的垂线，可得结论． n n x E Q Q x 【解析】
解：（1）如图1所示：，垂足为，过作的垂线，垂足为，都在线段上，
PA AB ⊥A M AB M AB
所以线段的内垂点的是：，； AB M P 故答案为：，； M P （2）如图2所示，
（3）存在点， Q 分两种情况：
①当在的下方时，如图3，
n m
，，
(2,0)B (0,2)C 过点作直线的平行线，平行线交轴于，则，
∴(0,1)-BC x E (1,0)E -过作直线，交平行线于，点即为所求， B BQ ⊥BC n Q Q 过作轴于，则为、中点，， Q QP x ⊥P P E B 90CBQ ∠=︒， 1.5EP PQ PB ∴===， (0.5,0)P ∴；
(0.5, 1.5)Q ∴-②当直线在直线的上方时，如图4，
n m
同理得；
(3.5,1.5)Q 综上，点的坐标为或．
Q (0.5, 1.5)-(3.5,1.5)【点评】本题考查三角形综合题、一次函数平行的性质、垂线的性质、点的坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，搞清楚内垂点的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考创新题目． 4．【答案】见解析 【分析】
（1）由三角形外角的性质可知，然后求得即可；
111
1()15075222
APB BAC BAC C ∠+∠=∠=∠+∠=⨯︒=︒（2）根据测量结果直接得出即可； （3）根据三角形外角的性质可得结论． 【解析】
解：（1）如图1，在中，，， ABC ∆90C ∠=︒60BAC ∠=︒， 11
1()1507522
BAC C ∴∠=
∠+∠=⨯︒=︒，
1
12APB BAC ∠=∠+∠ ， 7530APB ∴︒=∠+︒，
45APB ∴∠=︒故答案为45； （2）
图2 图3 图4 的度数
C ∠ 90︒ 80︒ 120︒的伴随角的度数
C ∠APB ∠
45︒
40︒
60︒根据表格，小明得到了的伴随角与之间的数量关系的猜想：
C ∠APB ∠C ∠
； 12
APB C ∠=∠（3）证明：如图3，平分，
AP BAC ∠． 12
BAP BAC ∴∠=∠又平分，
BE ABD ∠， 112
ABD ∴∠=∠，
1APB BAP ∠=∠-∠ ， 1122
APB ABD BAC ∴∠=∠-∠． 1()2APB ABD BAC ∴∠=
∠-∠． 12
APB C ∴∠=∠
【点评】本题考查了三角形内角和与外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．
5．【答案】见解析
【分析】
（1）根据“属派生点”计算可得；
k （2）设点的坐标为、，根据“属派生点”定义及的坐标列出关于、的方程组，解之可得；
P (x )y k P 'x y （3）先得出点的坐标为，由线段的长度为线段长度的2倍列出方程，解之可得．
P '(,)a ka PP 'OP 【解析】
解：（1）点的“2属派生点” 的坐标为，即，
(1,6)P -P '(162,126)-+⨯-⨯+(11,4)故答案为：；
(11,4)
（2）设点的坐标为、，
P (x )y
由题意知， 3632x y x y +=⎧⎨+=⎩
解得：， 02x y =⎧⎨=⎩
即点的坐标为，
P (0,2)故答案为：；
(0,2)
（3）点在轴的正半轴上，
P x ，．
0b ∴=0a >点的坐标为，点的坐标为
∴P (,0)a P '(,)a ka 线段的长为到轴距离为．
∴PP 'P 'x ||ka 在轴正半轴，线段的长为，
P x OP a ，即，
||2ka a ∴=||2k =．
2k ∴=±【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键．
6．【答案】见解析
【分析】
本题关键是理解“横纵偏差”的概念，套用公式，，并结合具体的点的坐标，即可解决问题．
12||x d x x =-12||y d y y =-【解析】
解：（1），，
(0,2)A - (1,4)B ，，
12|||01|1x d x x ∴=-=-=12|||24|6y d y y =-=--=则，
(,)|||16|5x y A B d d μ=-=-=故答案是5．
（2），点在轴上，设，
(1,4)B K x (,0)K x ，，
12|||1|x d x x x ∴=-=-12|||40|4y d y y =-=-=，
(,)0B K μ= ，
(,))||||1|4|0x y B K d d x μ∴=-=--=或，解得，或，
14x ∴-=14x -=-3x =-5x =的坐标是或．
K ∴(3,0)-(5,0)故答案是或．
(3,0)-(5,0)（2）①点、在轴上，点在点的上方，，点的坐标为，
P Q y P Q 6PQ =Q (0,1)点的坐标为，
∴P (0,7)设点为线段上任意一点，则；
(0,)T t PQ 17t 点的坐标为，
M (5,0)-
，，
5x d ∴=y d t =；
(,)||5x y M T d d t μ∴=-=-由，可得；
|17t 254t -- ，
0(,)4M T μ∴ 的最大值是4，
(,)M PQ μ∴．
(,)4M PQ μ∴=
②，，或，
(M μ )(PQ M μ=)P (,)M Q μ设点，则，
(0,)Q t (0,6)P t +，，
(,)|5|||M Q t μ∴=-(,)|5|6||M P t μ=-+当，，时，有最小值，
(M μ)(P M μ=)Q (,)M PQ μ即时，有最小值，
|5||||5|6||t t -=-+(,)M PQ μ或或舍去）
，则有最小值为3， 2t ∴=8-3(3--(,)M PQ μ点的坐标为或，
∴P (0,8)(0,2)-的最小值是3，此时点的坐标是或．
(,)M PQ μ∴P (0,8)(0,2)-【点评】此题主要以平面直角坐标系为知识基础，考查学生的阅读素养，创新应用能力，知识内容较简单．
7．【答案】见解析
【分析】
（1）①根据直角距离的定义直接解答即可；
②根据直角距离的定义直接解答即可；
（2）①先根据直角距离的定义求出直角距离，和的长，根据它们之差的绝对值最小求出点的坐标，DE PD PE P 确定点的个数；
P ②首先求出满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为10，再求出消防站点的坐标即可．
P 【解析】
解：（1）①，，
(4,1)A - (1,3)B 直角距离；
∴|41||13|7AB d =-+--=②根据题意可得，即，
|42||1|8AC d m =++--=|1|2m +=或，
12m ∴+=2-解得：或；
1m =3-故答案为：7；1或；
3-（2）①，，
(2,1)D -- (2,2)E 直角距离，
∴|22||12|437DE d =--+--=+=点到，两个点的“直角距离”之和最小值为7，
∴P D E 点到，两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，
P D E ，或， ∴34PD PE d d =⎧⎨=⎩43PD PE
d d =⎧⎨=⎩点的坐标可以是或或，
∴P (0,0)(0,1)(1,1)-满足条件的消防站点的位置如图所示，
∴
P
满足条件的消防站点的位置共有8个；
∴P 故答案为；8；
(1,1)-②如图，
，，，
(2,1)D -- (2,2)E (4,2)F -，，
|4(2)|6∴--=|2(2)|4--=满足到这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为，
∴6410+=消防站的坐标为，
∴P (2,1)-故答案为：．
(2,1)-【点评】此题主要考查了坐标与图形，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键．
8．【答案】见解析
【分析】
（1）根据“邻近距离”定义即可得出答案；
（2）根据“邻近距离”定义，当时，（点，线段，当或时，（点，线段23a - d G )2AB =2a <-3a >d G ，即可得出答案；
)2AB >（3）画出图形，结合“邻近距离”定义，分类讨论即可得出答案．
【解析】
解：（1），，
(2,2)A -- (3,2)B -点到线段距离为2，
∴(0,0)O AB 根据“邻近距离”定义得：（点，线段，
∴d O )2AB =故答案为：2；
（2），，
(2,2)A -- (3,2)B -根据“邻近距离”定义得：当时，（点，线段，当或时，（点，线段， ∴23a - d G )2AB =2a <-3a >d G )2AB >或；
2a ∴<-3a >（3）如图1，当时，
0t <（图形，图形，
1d < M )2N <根据“邻近距离”定义得：， ∴3122
t <-<
解得：， 102
t -<<当时，如图2， 302
t （图形，图形，
1d < M )2N <根据“邻近距离”定义得：， ∴3122
t <-<解得：或， 102t <<
312t <<当时，，如图3， 322t <<3102
t -<-<解得：
， 322t <<综上所述，或或或． 102t -<<102t <<312t <<322
t <<
【点评】本题考查了平面直角坐标系中，点与点、点与直线的距离问题，不等式运用等，理解新定义，运用数形结
合思想和分类讨论思想是解题关键．
9．【答案】见解析
【分析】
（1）画出图形，根据稳定点的定义即可判断．
（2）画出图形，利用图象法解决问题即可．
（3）画出图形利用图象法解决问题即可．
【解析】
解：（1）①如图1中，
观察图象，根据图形的稳定点的定义可知：， 是线段的稳定点．
G 1P 3P AB 故答案为：，．
1P 3P
②如图2中，
观察图象可知当或时，点或者点为线段的稳定点．
02t 46t (0,1)E (0,5)F AB 故答案为：或．
02t 46t
（2）如图3中，正方形的边长为，，，
OABC a (0,2)P (4,0)Q
观察图象可知当时，线段上的点都是图形的稳定点．
3a PQ G 的最小值为3，
a
故答案为3．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，图形稳定点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
10．【答案】见解析
【分析】
（1）根据等距点的定义可作判断；
（2）①计算等腰直角的面积即可；
ACB ∆②根据题意画出全等的等腰直角三角形和，发现点可以在射线上或线段上，可得的取值．
ABC 11AB C B BF 1B M t 【解析】
解：（1）如图1，过作轴的平行线，过作轴的平行线，交于，
A x m 1
B y n 1
C 点的坐标是，在点，
A (0,1)1(1,0)
B -，即是点的等距点，
1111AC B C ∴==1B A 同理：，是点的等距点，
222AC BC ==2B A ，不是点的等距点，
131AC B C ≠3B A 故答案为：，；
1B 2B （2）①如图2，根据题意，可知．
AC BC ⊥，，， (3,1)A - 9(2B -
1)2-． 32
AC BC ∴==三角形的面积为：． ∴ABC 1133922228AC BC =⨯⨯= 点的等距面积为． ∴A 98
②三角形的面积为：， ABC 1928
AC BC ， 32AC BC ∴= 如图3，根据①作全等的等腰直角三角形和，发现点可以在射线上或线段上，
ABC 11AB C B BF 1B M ，，，， 9(2B - 12-13(2B -12
-
点的横坐标的取值范围是或． ∴B t 92t - 302
t -<
【点评】本题是三角形的等腰直角三角形的综合题，也是新定义问题，理解并运用等距点和等距面积是关键，注意利用数形结合的思想解决问题．。