高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.4 圆与圆的位

2.3.4 圆与圆的位置关系
一、非标准
1.已知0<r<+1,则两圆x2+y2=r2与(x-1)2+(y+1)2=2的位置关系是( )
A.外切
B.相交
C.外离
D.内含
解析:设圆(x-1)2+(y+1)2=2的圆心为O',则O'(1,-1).
两圆的圆心距离d(O,O')=.
显然有|r-|<+r.所以两圆相交.
答案:B
2.内切两圆的半径长是方程x2+px+q=0的两个根,已知两圆的圆心距为1,其中一圆的半径为3,则p+q等于( )
A.1
B.5
C.1或5
D.以上都不对
解析:设方程的两根为x1,x2,
由x2+px+q=0,得
因为其中一个圆半径为3,不妨设x2=3,
因为两圆内切,所以|x1-3|=1.
所以x1=4或x1=2.
当x1=4时,p=-7,q=12,p+q=5.
当x1=2时,p=-5,q=6,p+q=1.
答案:C
3.已知圆C1:x2+y2-4x+6y=0和圆C2:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A.x+y+3=0
B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0
D.4x-3y+7=0
解析:由平面几何知识,知线段AB的垂直平分线即为两圆心所在的直线,把两圆分别化为标准式可得两圆心分别为C1(2,-3),C2(3,0),因为C1C2所在直线的斜率为3,所以直线方程为y-0=3(x-3),即3x-y-9=0.
答案:C
4.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=( )
A.4
B.4
C.8
D.8
解析:因为两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),
所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.
设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),
则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,
即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,
整理得x2-10x+17=0,所以a+b=10,ab=17.
所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,
所以|C1C2|==8.
答案:C
5.若集合A={(x,y)|x2+y2≤16},B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1},且A∩B=B,则a的取值范围是( )
A.a≤1
B.a≥5
C.1≤a≤5
D.a≤5
解析:由A∩B=B知B⊆A,
故0≤a-1≤4,即1≤a≤5.
答案:C
6.若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则a,b应满足的关系式是( )
A.a2-2a-2b-3=0
B.a2+2a+2b+5=0
C.a2+2b2+2a+2b+1=0
D.3a2+2b2+2a+2b+1=0
解析:利用两圆的公共弦始终经过圆(x+1)2+(y+1)2=4的圆心即可求得.把两圆分别化成一般式方程,作差可得公共弦方程为(2a+2)x+(2b+2)y-a2-1=0,它经过圆心(-1,-1),代入后有a2+2a+2b+5=0.
答案:B
7.若a2+b2=1,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系为.
解析:因为圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),半径r1=1;
圆x2+(y-b)2=1的圆心为(0,b),半径r2=1,
所以圆心距d==1.
所以|r1-r2|<d<r1+r2=2,两圆相交.
答案:相交
8.与圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-4)2+(y+4)2=4均外切的圆中,面积最小的圆的方程是. 解析:当三圆圆心在一条直线上时,所求圆面积最小.
设所求圆的圆心坐标为(a,b),已知两圆圆心之间的距离为d==5,
所以所求圆半径为1.
由已知可知,所以a=,
所以b=-,
所以所求圆的方程为=1.
答案:=1
9.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为何值时,(1)圆C1与圆C2外切;(2)圆C1与圆C2内含?
分析:充分利用两圆位置关系的判定公式(几何法).
解:配方得C1:(x-m)2+(y+2)2=9,
C2:(x+1)2+(y-m)2=4.
(1)由圆C1与圆C2外切,得=3+2.
即(m+1)2+(m+2)2=25,解得m1=-5,m2=2.
故当m=-5或2时,圆C1与圆C2外切.
(2)由圆C1与圆C2内含,得<3-2,即(m+1)2+(m+2)2<1.
解得-2<m<-1.
故当-2<m<-1时,圆C1与圆C2内含.
10.已知一个圆和圆C1:x2+y2-2x=0相外切,并与直线l:x+y=0相切于点M(3,-),求该圆的方程.解:圆C1方程化为(x-1)2+y2=1,其圆心C1(1,0),半径为r1=1.
设所求圆的圆心为C(a,b),半径为r.
因为M(3,-)在圆上,
所以r=.
因为两圆外切,
所以|C1C|=1+.
所以=1+.①
又因为直线CM⊥l,所以k CM·k l=-1.
所以-·=-1,解得b=a-4.②
将②代入①可得=1+,
即=1+2|a-3|.
当a≥3时,上式变为=1+2(a-3)=2a-5,所以a=4.
代入②可得,b=0,半径r==2.
此时圆的方程为(x-4)2+y2=4.
当a<3时,上式变为=1-2(a-3)=-2a+7,所以a=0.
代入②可得,b=-4,半径r==6.
此时圆的方程为x2+(y+4)2=36.
综上所述,该圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+=36.
11.如图所示,圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得|PM|=|PN|.试建立适当的坐标系,求动点P的轨迹方程.
解:如图所示,以直线O1O2为x轴,线段O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则O1(-
2,0),O2(2,0).
设动点P(x,y).
由题意得|PM|2=|O1P|2-|O1M|2=(x+2)2+y2-1.
同理,可得|PN|2=(x-2)2+y2-1.
因为|PM|=|PN|,所以|PM|2=2|PN|2.
所以(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],
即x2+y2-12x+3=0.
所以动点P的轨迹方程是x2+y2-12x+3=0.。