华师一附中2024届高三(截面-交线-轨迹-翻折-范围与最值)试卷含答案

华师一附中高三一轮复习补充作业（2023.12.28）
（截面，交线，轨迹，翻折，范围与最值）
一、单选题
1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，M ，N 分别为11A D ，11B C 的中点，E ，
F 分别为棱AB ，CD 上的动点，则三棱锥M NEF -的体积（
）
A ．存在最大值，最大值为83
B ．存在最小值，最小值为
23
C ．为定值
43
D ．不确定，与
E ，
F 的位置有关
2．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段1CD 上有两个动点E ，F ，且1
2
EF =
，点P ，Q 分别为111A B BB ，的中点，G 在侧面11CDD C 上运动，且满足1B G ∥平面1CD PQ ，以下命题错误的是（
）
A ．1A
B EF
⊥B ．多面体1AEFB 的体积为定值
C ．侧面11CD
D C 上存在点G ，使得1B G CD ⊥D ．直线1B G 与直线BC 所成的角可能为
6
π3．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，给出下面几个命题：
①四边形1BFD E 一定是平行四边形；②四边形1BFD E 有可能是正方形；③平面1BFD E 有可能垂直于平面1BB D ；
④设1D F 与DC 的延长线交于M ，1D E 与DA 的延长线交于N ，则M ､N ､B 三点共线；⑤四棱锥11B BFD E -的体积为定值.以上命题中真命题的个数为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．如图，正方形EFGH 的中心为正方形ABCD 的中心，22AB =，截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥P EFGH -（A ，B ，C ，D 四点重合于点P ），则此四棱锥的
A
．
1286375
B ．
1285375
5．已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB 动点，设二面角P AD C --为α，直线锥11P A BC -体积的最小值是（）
A ．2
B ．321
-6．如图，在四棱锥Q EFGH -中，底面是边长为M 为QG 的中点.过EM 作截面将此四棱锥分成上V V 1
V
1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（
）A ．5B ．7
C ．13
+10．在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，1
2
AB AD CD BC ===
，AC 交BD 于O 点，ABD △沿着直线BD 翻折成1A BD ，所成二面角1A BD C --的大小为θ，则下列选项中错误的是（）
A ．1A BC θ∠≤
B ．1
AOC θ∠≥C ．1A DC θ
∠≤D ．11A BC A DC θ
∠+∠≥11．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P
是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角是γ则三个角α，β，γ中最小的角是（）
A ．α
B ．β
C ．γ
D ．不能确定
12．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则下列命题：①点M 可以是棱AD 的中点；②点M 的轨迹是菱形；③点M 轨迹的长度为25+；④点M 的轨迹所围成图形的面积为5
2
.其中正确的命题个数为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，点E ，F 分别为棱CD ，1DD 的中点，点P 为四边形
11CDD C 内（包括边界）的一动点，且满足1B P ∥平面BEF ，则点P 的轨迹长为（）A ．2
B ．2
C ．
2
2
D ．1
14．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，点E ，F ，G 分别为棱AB ，
AD ，PC 的中点，下列说法错误的是（）
A ．AG ⊥平面PBD
B ．直线FG 和直线A
C 所成的角为
π3
C ．过点E ，F ，G 的平面截四棱锥P ABC
D -所得的截面为五边形
D ．当点T 在平面ABCD 内运动，且满足AGT △的面积为1
2时，动点T 的轨迹是圆15．如图，正方体ABCD A B C D -''''中，M 为BC 边的中点，点P 在底面
A B C D ''''和侧面CDD C ''上运动并且使MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹
是（
）
A ．两段圆弧
B ．两段椭圆弧
C ．两段双曲线弧
D ．两段抛物线弧
16．如图，已知四边形ABCD ，BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD △为等边三角形，2BD =，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中，下列结论中不正确．．．的是（
）
A ．BD PC
⊥B ．DP 与BC 可能垂直
C ．直线DP 与平面BC
D 所成角的最大值是45︒D ．四面体PBCD 的体积的最大是
3
3
17．如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点（不
含端点），将ABE 沿AE 翻折，使得二面角B AE D --为直二面角，得到图2所示的四棱锥B AECD -，点F 为线段BD 上的动点（不含端点），则在四棱锥B AECD -中，下列说法正
确的是（）
A ．
B ､E ､
C ､F 四点一定共面B ．存在点F ，使得CF ∥平面BAE
C ．侧面BEC 与侧面BA
D 的交线与直线AD 相交
D ．三棱锥B ADC -的体积为定值二、多选题
18．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别为棱11A D ､1AA 的中点，G 为面对角线1B C 上一个动点，则下列选项中正确的是（
）
A ．三棱锥1A EFG -的体积为定值1
3
.
B ．存在∈G 线段1B
C ，使平面//EFG 平面1BDC .C ．G 为1B C 上靠近1B 的四等分点时，直线EG 与1BC 所成角最小.
D ．若平面EFG 与棱AB ，BC 有交点，记交点分别为M ，N ，则MF MN +的取值范围是5,13⎡⎤⎣⎦.
三、填空题
19．已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABCD ,22，PA AB BC ==
=，点E 在棱PB 上，且2EB PE =
，过E 作球
O 的截面，则所得截面面积的最小值是
.
20．球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成，球1O 的半径为10,,P Q 为球1O
表面上两动点，16,PQ M =为线段PQ 的中点.半径为2的球2O 在球1O 的内壁滚动，点,,A B C 在球2O 表面上，点2O 在截面
ABC 上的投影H 恰为AC 的中点，若21O H =，则三棱锥M ABC -体积的最大值是
.
21．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，1111
3
C E C
D =，
点F 是CD 的中点，则过1B ，E ，F 三点的平面α截该正方体
所得截面的面积为
．
22．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B A D 的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：
①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形；②直线11B D 到平面CMN 的距离是22
；③存在点P ，使得1190B PD ∠=
；
④1PDD △面积的最小值是
45
5
．其中所有正确结论的序号是．
23．在棱长均相等的四面体ABCD 中，P 为棱(AD 不含端点)上的动点，过点A 的平面α与平面PBC 平行.若平面α与平面ABD ，平面ACD 的交线分别为m ，n ，则m ，n 所成角的正弦值的最大值为
．
24．已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为
.
25．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，以1A 为球心，半径为2的球面与底面ABCD 的交线的长度为
.
26．如图，在四面体ABCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，2DA DB DC ===，以D 为球心，1为半径作球，
则该球的球面与四面体ABCD 各面交线的长度和为．
华师一附中高三一轮复习补充作业（2023.12.28）
（截面，交线，轨迹，翻折，范围与最值）参考答案：
1．C
【分析】通过顶点转换，确定三棱锥的底和高的变化情况，即可确定答案.
【详解】如下图，连接,AM BN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为11A D ，11B C 的中点，可得////MN AB CD ，//DC MEN 平面，所以当F 在棱CD 移动时，F 到平面MEN 的距离为定值，当E 在棱AB 移动时，E 到MN 的距离为定值，所以MEN S 为定值，则三棱锥
M NEF -的体积为定值.平面MEN 即平面MABN ，作CH BN H ⊥于，由于AB CH ⊥，可
2．D
【分析】根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择【详解】对A ：连接1C D ，作图如下：
因为1111ABCD A B C D -为正方体，故可得1DC EF ⊥，则1AB EF ⊥对B ：根据题意，1EF =，且线段故△AEF 的面积为定值，又点
容易知在△11C D C 中，MN //1CD 1,MN B M ⊂面111,,B MN CD PD ⊂面又G 在侧面11CDD C 上运动，且满足又因为1111ABCD A B C D -为正方体，故则当G 与N 重合时，1B G CD ⊥，故
【点睛】求解本题的关键是能判断出点P的轨迹为抛物线一部分，再建立平面直角坐标系，
【详解】
作平面EFGH 的垂线，垂足为O 作直线BC 交,QH QF 于,B C 两点，由相交直线确定平面，则四边形由计算可得4,EG =，得QEG 为正三角形，,xQH QC yQF =，由向量运算可得
设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有AP PC +当A P C '、、三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值在三角形ABC 中，3AB BC ==，cos ABC ∠=222cos 3323AC AB BC AB BC B =+-=
+-⨯⨯
11．B
【分析】根据异面直线夹角，直线与平面的夹角，平面与平面的夹角的定义分别做AC，PB与平面ABC，平面PAC与平面
大小.
【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，
平面角．
12．B
如下图，因为DQO QDE ∠+∠=所以，DQO AED ∠=∠，所以，AQO BED ∠=∠，因为4
OAQ EBD π
∠=∠=
，
所以AOQ △∽BDE △，
2
13．A
【分析】通过作图，利用面面平行找到点【详解】画出示意图如下：
取1CC 中点N ，取11D C 中点M ，连接则11,ME B B ME B B =∥,则四边形MEBB 连接1D C ,则11,MN D C EF D C ∥∥,故又1B M MN M BE EF E ⋂=⋂=，，所以平面BEF ∥平面B 1MN ，
平面1B MN ∩平面11CDD C =MN ，所以
，易证AC '⊥平面PDB ，A 选项正确；
，连接FH ，可知FH AC //，所以GFH
∠和直线AC 所成的角相同，在FGH π3
=，B 选项正确；于点H ，交直线BC 于点I ，连接N ，则五边形EFNGM 即为平面
3=，所以点T 到AG 的距离为33，点T 在平面ABCD 上，所以点T 的轨迹是椭圆．点为坐标原点建立空间直角坐标系，求得,,A C M '等点的坐标，从而可求得A B C D ''''所成的角为θ，继而可求得cos
BCD
△是以BD为斜边的等腰直角三角形△为等边三角形,BD
ABD
∴
∴⊥
∴⊥面PMC,BD PC
BD
⊥，又
对于B，假设DP BC
∴⊥
BC
∴⊥面PCD，BC PC
在AD 上取点G ，使得AG =EC ，当面BAE ，所以//FG 平面BAE ，同理面BAE ，则CF ∥平面BAE ，故存在点C.设侧面BEC 与侧面BAD 的交线为所以//EC 面BAD ，则//EC l ，所以
则()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,0D ()12,2,2B 、()10,2,2C 、()10,0,2D ，()1,0,2E 、设平面1BDC 的法向量为()111,,m x y z = ，(DB = 由11111220220m DB x y m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩
，取11y =-，可得m =u r 设()()12,0,22,0,2CG CB λλλλ=== ，可得点G 则()21,2,22EG λλ=-- ，
所以21222450m EG λλλ⋅=--+-=-= ，解得故平面EFG 与平面1BDC 不平行，B 选项错误，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是空间向量及函数思想的应用
20．15
O中求得三角形【分析】作出图形，在球2
为到平面ABC的距离最大值为
在圆2O 中，因为点2O 在截面所以ABC 为直角三角形，且又因为22O A =，
所以可得3,23AH AC ==设,,AB m BC n ==，
22212m n AC +==，
因为球1O 的半径为10，16,PQ =所以2211086O M =-=，
由面面平行的性质可得：四边形又因为正方体111ABCD A B C -点F 是CD 的中点，所以点BP 因为平行四边形1EB PF 的高为
则五边形22MM CNN 即为所求的截面图形，故①正确；对于②，由题知11//MN B D ，MN ⊂平面所以11//B D 平面CMN ，所以点1B 到平面CMN 的距离即为直线设点1B 到平面CMN 的距离为3,2CM CN MN ===，S 所以11133B CMN CMN V S h -=⋅=⨯ 111V S CC =⋅=⨯
则11(2,0,2),(0,2,2),(2,2,0),B D C M 设,01PC MC λλ=≤≤ ，
所以(1,2,2)==- PC MC λλ，
又因为11(2,0,2),(0,2,2),(2,2,0),B D C 所以(2,22,2)--P λλλ，
由题意知过点A 的平面α与平面n ，
由于平面α∥平面PBC ，平面所以m BP ∥，n PC ∥，
所以BPC ∠或其补角即为m
则22264,33h r r h +==+，所以62
r =两球相交形成形成的图形为圆，
如图，在PDO △中，614cos 21DPO +∠=⨯⨯在1PDO △中，130sin 6
DO PD DOP =∠=所以交线所在圆的半径为
306
，所以交线长度为3030263ππ⋅=.故答案为：303
π
26．9436
π+【分析】先求出D 到平面ABC 的距离，判断球体与各个面的相交情况，再计算求解即可【详解】因为2AB BC AC AD ===+所以边长为2的等边三角形的高为：设D 到平面ABC 的距离为d ，BCD S △=所以11=AD S d S ⨯⨯⨯⨯，解得。