福建省长乐七中高三数学下学期4月模拟考试 文 新人教A版

长乐七中2012届高三文科数学模拟试卷
(完卷时间120分钟，总分150)
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. i 是虚数单位，复数
i
i
--131的共轭复数为A A ．i +2 B ．i -2 C ．i 21+- D ．i 21-- 2．已知集合{}24M x x =<，{}
2230N x x x =--<，且M N =C
A ．{}2x x <-
B ．{}3x x >
C ．{}12x x -<<
D ．{}
23x x <<
3. 已知向量()2,1p =-,(),4q x =,且p q ⊥，则p q +的值为B
A ．13
4. 若抛物线px y 22
=的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为B
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2
5. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是D
A ．20121
B ．20131
C ． 2012
2011 D ．20132012
6. 函数x e x f x
3)(+=的零点个数是B A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
7．若D 为不等式组0
2x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线a y x =+扫过D 中的那部分区域的面积为B
A ．34
B ． 7
4
C ． 1
D ．5
8. 在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <” 是 使 “cos cos A B >”成立的C
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 9. 若(0,1)b ∀∈，则方程2
0x x b ++=有实根的概率为D
A ．
12 B ．13 C ．34 D ．14
10. 已知,,l m n 是空间三条不同直线，命题p ：若l m ⊥，l n ⊥，则//m n ；命题q ：若三条直线,,l m n 两两相交，则直线,,l m n 共面，则下列命题为真命题的是C
A ． q p ∧
B ．q p ∨
C ．()p q ∨⌝
D ．q p ∧⌝)(
11. 若曲线x x x f -=3
3
1)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的横坐标为B
A ．2
B ．±2
C ．1
D ．－1 12. 对于各数互不相等的正数数组()n i i i 21,（n 是不小于2的正整数），如果在q p <时有
q p i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”
，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”. 例如，数组()1,3,4,2中有逆序“1,2”，“3,4”，“1,4”，“1,3”，其“逆序数”等于4. 若各数互不相等的正数数组()4321,,,a a a a 的“逆序数”是2，则()
1234,,,a a a a 的“逆序数”是A
题5图
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 二、填空题：（本大题共4小题,每小题4分，满分16分）
13. 有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少?”(注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第一日读的字数为 4955 ．
14．右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为 16 15．某校高三（1）班共有56人，学生编号依次为56
,,3,2,1 现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为48,34,6的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为20 ．
16.已知定义域为R 的函数1(1)1
()1(1)
x x f x x ⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩
，若关于x 的方程2
()()0
f x bf x c ++=有
3个不同的实根123,,x x x ，则222123x x x ++等于 5 .
三、解答题：（本大题共6小题，满分74分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *
∈．
（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *
∈
得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *
∈≥
两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+
即 n n b b 21=+(,2)n N n *
∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b
∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列
∴ n
n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分
（Ⅱ）法一
由（Ⅰ）知321n
n a =⋅- ……………………………… 9分
∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232n
n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅-
()
221321
n n -=⨯
--
1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分
（Ⅱ）法二
由已知125n n S S n +=++()n N *
∈ ①
设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②
对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++
∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q =
∴ 11
612232n n n S n -+++=⋅=⋅
∴ 1
326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分
18. （本小题满分12分）
已知函数2
()sin cos f x x x x =+．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵ 2
()sin cos f x x x x =+
)12sin cos cos 2122x x x =
⋅++ 1sin 22222
x x =++ ……………3分
sin 23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
……………5分
∴ 函数()f x 的最小正周期22
T π
π==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ
≤+≤
∴ sin 213x π⎛
⎫≤+≤ ⎪⎝
⎭， ……………9分
∴ 0sin 213x π⎛⎫
≤+
+≤= ⎪
⎝
⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为
22
+，最小值为0．……………12分 19.（本小题满分12分）
某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球
测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把
所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图（如
图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7． （1）求这次铅球测试成绩合格的人数；
（2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；
（3）若参加此次测试的学生中，有8人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a 、b 的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率． 解：（1）第6小组的频率为1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14， ∴此次测试总人数为7=500.14
（人）．由成绩合格为8.0米，
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．………4分
（2）直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等．前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，
∴中位数位于第4组内． …………………8分 （3）设成绩优秀的8人分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，
则选出的2人所有可能的情况为：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，ag ，ah ；bc ，bd ，be ，bf ， bg ，bh ；cd ，ce ，cf ，cg ，ch ；de ，df ，dg ，dh ；ef ，eg ，eh ；fg ，fh ；gh ．
共28种，其中a 、b 到少有1人入选的情况有：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，ag ，ah ；bc ，bd ，be ，bf ，
bg ，bh ；共13种， ………………………………………10分 ∴a 、b 两人至少有1人入选的概率为
13
28
． ……………………12分 20. （本小题满分12分）
如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，ACD ∆是正三角形，2AD DE AB ==，且F 是CD 的中点．
（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ． 解：（Ⅰ）取CE 中点P ，连结FP 、BP ，
∵F 为CD 的中点，
∴FP ∥DE ，且FP =
.21
DE 又AB ∥DE ，且AB =.2
1
DE
∴AB ∥FP ，且AB =FP ，
∴ABPF 为平行四边形，∴AF ∥BP ．…………4分 又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE …………6分
（Ⅱ）∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD
∵AB ⊥平面ACD ，DE //AB
∴DE ⊥平面ACD 又AF ⊂平面ACD ∴DE ⊥AF
又AF ⊥CD ，CD ∩DE=D
∴AF ⊥平面CDE …………10分 又BP ∥AF ∴BP ⊥平面CDE
又∵BP ⊂平面BCE
A
B
C
D
E
F
P （第20题图）
A B
C D E
F
(第20题图)
∴平面BCE ⊥平面CDE …………12分 21.（本小题满分12分）
已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点3(1,)2A ，且离心率1
2
e =．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、，且线段MN 的垂直平分线过定点1
(,0)8G ，求k 的取值范围．
解：（Ⅰ）由题意12e =，即1
2
c e a ==，2a c =，
∴ ()2
2222223b a c c c c =-=-=
∴ 椭圆C 的方程可设为22
22143x y c c +=………………………………… 3分
代入3(1,)2A ，得222
312143c c
⎛⎫ ⎪⎝⎭+= 解得21c = ∴ 所求椭圆C 的方程是22
143
x y +=． ……………………………………… 6分 （Ⅱ）法一
由方程组22
143x y y kx m
⎧⎪
+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得
()2223484120k x kmx m +++-= ……… 4分
由题意，△()(
)()2
2
2
84344120km k
m
=-+->
整理得：2
2
340k m +->① …… 7分
设()()1122,,M x y N x y 、，MN 的中点为00(,)P x y ，则
12024234x x km x k +=
=-+， 00
2
334m
y kx m k =+=+ ………………… 8分 由已知，MN GP ⊥ 即1MN GP k k ⋅=-
即 22
3034141348
m
k k km k -+⋅=---+;整理得：2348k m k +=- ………… 10分 代入①式，并整理得：2
120k >， 即
||k >
∴
5,,1010k ⎛
⎫⎛⎫
∈-∞-
+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
……………… 12分 （Ⅱ）法二,由方程组221,43x y y kx m
⎧⎪
+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得
()222
3484120k x kmx m +++-= ……… 4分
由题意，△()()()2
2
2
84344120km k m
=-+->
整理得：2
2
340k m +-> ① …… 7分 设()()1122,,M x y N x y 、，MN 的中点为00(,)P x y ，则
22
1122
221431
4
3x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 整理得： 0031
4y x k =-⋅ ② 又MN GP ⊥ ∴ 001
18y k x =-- ③
由②、③解得 0012
3
8x y k ⎧=⎪⎨⎪=-
⎩
代入()0y kx m k =+≠，得 2
348k m k
+=- ……………………… 10分
代入①式，并整理得： 2
120
k >， 即
||10k >
∴
5,,k ⎛
⎛⎫
∈-∞+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
……………… 12分 法三：
由00(,)P x y 在椭圆内部，得：2
2
1328143
k ⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+<
整理得： 2
1
20
k >， 即 ||k >
∴ 5
,,k ⎛⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
……………… 12分
22.（本小题满分14分）
已知函数22
()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．
（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2
()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞
∴ 2121
()21x x f x x x x
--'∴=-+=- …………2分
令()0f x '=，即2210x x x ---
=，解得1
2x =-或1x =． 0x >，∴ 1
2
x ∴=-舍去．
当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．
∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减
∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2
(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．
∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分
（Ⅱ）显然函数2
2
()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞
∴ 222
121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x
-++-+-'=-+== ………7分
① 当0a =时，1
()0,()f x f x x
'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分
② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1
x a
≥
此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．
依题意，得11,
0.
a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥． ………10分
③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1
2x a
≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
， ∴1
120
a a ⎧-
≤⎪⎨⎪<⎩ 得12a ≤-
综上，实数a 的取值范围是1
(,][1,)2
-∞-+∞ …………14分 法二：
①当0a =时，1
()0,()f x f x x
'=
>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间
()1,+∞上恒成立，
0x >∴只要22210a x ax --≥恒成立，
221
4210
a
a
a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩
解得1a ≥或12a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1
(,][1,)2
-∞-+∞ …………14分。