豫南九校2019——2019学年高三第四次联考(文科)

豫南九校2019——2019学年高三第四次联考（文科）
命题教师：泌阳一高数学组
一、选择题
1、已知集合A ，B 都是非空集合，则“()x A
B ∈”是“x A ∈且x B ∈”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不是充分条件，也不是必要条件 2、若)(x f 是偶函数，且当
0)1(,1)(,),0[<--=+∞∈x f x x f x 则时的解集是（ ）
A ．（－1，0）
B ．（－∞，0）∪（1，2）
C ．（1，2）
D ．（0，2）
3、已知,αβ表示两个不同的平面， a ，b 表示两条不同的直线，则a ∥b 的一个充分条件是 （ ） A ．a ∥α, b ∥α
B ．a ∥α，b ∥β，α∥β
C ．α⊥β，a ⊥α，b ∥β
D ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β
4、已知点M （1，0）是圆C:2
2
420x y x y +--=内的一点，则过点M 的最短弦所在的直线方程是 ( )
A ．10x y +-= B. 01=--y x C. 01=+-y x D. 02=++y x
5、定义一种运算如下：11122122x y x y x y x y ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
，复数1i z i i ⎤-=⎥⎥⎦
（i 是虚数单位）的共轭复数是（ ） A
11)i + B
11)i - C
11)i + D
11)i -
6、根据表格中的数据，可以判定方程20x
e x --=
的一个根所在的区间为(,1)()k k k N +∈， 则k 的值为（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
7、已知函数32
1()22
f x x x m =-
+的图象上A 点处的切线与直线30x y -+=的夹角为45°，则A 点的横坐标为（ ）. A ．0
B ．1
C ．0或
16
D ．1或
16
8、一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是
45
， 则判断框中应填入的条件是（ ）
A ．5i <
B ． 6i <
C ．5i >
D ．6i >
9、抛物线2
16y x =的准线经过双曲线22
218x y a
-=的一个焦点， 则双曲线的离心率为 （ ） A ．2
B
C
D ．
10、设2
()3sin(
)43
f x x π
=+，若12,()()()x f x f x f x ∀∈≤≤R ，则12||x x -的最小值为( )
Q
P
E
D
C
B
A
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
11、设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等
比数列，则1210b b b a a a +++=…（ ）
A ．1033
B ．1034
C ．2057
D ．2058
12、若A, B 是平面内的两个定点, 点P 为该平面内动点, 且满足向量AB 与AP 夹角为
锐角θ, |PB||AB|+PA AB=0∙, 则点P 的轨迹是 （ ）
A ．直线 （除去与直线A
B 的交点） B ．圆 （除去与直线AB 的交点）
C ．椭圆 （除去与直线AB 的交点）
D ．抛物线（除去与直线AB 的交点）
二、填空题
13、已知向量x ⋅-==则若,//),4,(),2,1(=
14、已知y x z k k y x x
y x y x 3)(020,+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤≥，若为常数满足条件 的最大值为8，则k = _
15、一个几何体的三视图如 右图，则该几何体的表面积为
16、下列正确结论的序号是 ①命题.01,:01,2
2
<++∃>++∀x x x x x x 的否定是
②命题“若0,0,0===b a ab 或则”的否命题是“00,0≠≠≠b a ab 且则若”
③已知线性回归方程是,23ˆx y
+=则当自变量的值为2时，因变量的精确值为7; ④若]1,0[,∈b a ，则不等式4
122<
+b a 成立的概率是4π
.
三、解答题
17、（本小题满分12分） 数列{}n b (
)*
∈N
n 是递增的等比数列，且4,53131
==+b b b b
.
⑴求数列{}n b 的通项公式和前n 项和为n S ;
⑵若3log 2+=n n b a ,求证数列{}n a 是等差数列，并求出其通项
18、（本小题满分12分）
如图，DC ⊥平面ABC ，EB//DC ，AC=BC=EB=2DC=2，
90ACB ∠=︒，P 、Q 分别为DE 、AB 的中点。

（1）求证：PQ//平面ACD ； （2）求几何体B —ADE 的体积；
正视图侧视图
俯视图
一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（I ）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a ，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b ．求关于x 的一元二次方程22
20x ax b ++=有实根的概率；
（II ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ．若以(,)m n 作为点P 的坐标，求点P 落在区域0
50
x y x y -≥⎧⎨+-<⎩内的概率．
20、（本小题满分12分）
已知抛物线C ：2
y mx =（0m >），焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于A 、B 两点，P
是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ， （1）若抛物线C 上有一点(,2)R R x 到焦点F 的距离为3，求此时
m 的值；
（2）是否存在实数m ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角
形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。

[]*ln ()11()20,(),2113ln e
x
f x x
f x m f x m m n n n N n n =
->++⎛⎫∀∈<
⎪⎝⎭
已知函数（）判断函数的单调性（）设求在上的最大值（）证明：不等式
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 在ABC ∆中，AB=AC ，过点A 的直线与其外 接圆交于点P ，交BC 延长线于点D 。

（1）求证： BD
PD
AC PC =； （2）若AC=3，求AD AP ⋅的值。

D
文科数学参考答案
一 选择题 1——5 BDDAB 6 ——10 CCACB 11——12 AB 二，填空题
-10 -6 2412+π ② （17）（本小题满分12分）
解:(Ⅰ)由 ⎩⎨⎧=+=5
43131b b b b 知31,b b 是方程2540x x -+=的两根,
注意到n n b b >+1得 131,4b b ==.
∴4312
2==b b b 得22=b . ∴4,2,1321===b b b ∴等比数列.{}n b 的公比为
21
2
=b b ,1112--==∴n n n q b b (Ⅱ)122log 3log 2313 2.n n n a b n n -=+=+=-+=+ ∵()[]11221n n a a n n +-=++-+=⎡⎤⎣⎦
∴数列{}n a 是首项为3,公差为1的等差数列. 2+=∴n a n
18. （1）证明：
取BC 的中点M ，连接,PM QM ，易证平面PQM ACD 平面
又
.PQ PQM PQ ACD ⊂∴平面平面
………………………………………（４分）
（2）,,DC ABC AC DC AC BC AC BCDE ⊥⇒⊥⊥∴⊥平面又
平面……（９分）
14
3
3
B ADE BDE S S S
AC -==⋅=
A-BDE ……………………………………（12分）
19. 解：（I ）设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．
当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．
---------------------2分
基本事件共12个：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．
---------------------4分
事件A 中包含6个基本事件：（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），
事件A 发生的概率为61
()122
P A =
=； ---------------------6分 （Ⅱ）先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P （m ，n ）的所有可能有：
（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个， --------------8分
落在区域0
50
x y x y -≥⎧⎨
+-<⎩内的有（1,1），（2,1），（2,2），（3,1）共4个， ------------11分
所以点P 落在区域050
x y x y -≥⎧⎨+-<⎩内的概率为1
4． -------------12分
20. 解：（1）抛物线C 的焦点1
(0,)4F m
，---------------------------------------------------1分
∴112344R RF y m m =+
=+=，得14
m =。

---------------------------------4分 （或利用2
2222
1211(0)(2)43416R RF x m m m m =-+-=++-=得 2801610m m --=，14m ∴=或1
20
m =-
（舍去）） （2）联立方程2220
y mx x y ⎧=⎨-+=⎩，消去y 得2220mx x --=，设22
1122(,),(,)A x mx B x mx ，
则121222x x m x x m ⎧
+=⎪⎪⎨
⎪⋅=-⎪⎩
（
*
），
-----------------------------------------------------------------------6分
P 是线段AB 的中点，∴22
1212(,)22x x mx mx P ++，即1
(,)p P y m
，
11
(
,)Q m m
∴，
-----------------------------------------------------------------------------------8分 得2211221111(,),(,)QA x mx QB x mx m m m m
=-
-=--， 若存在实数m ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形，则0QA QB ⋅=，--10分
即2212121111()()()()0x x mx mx m m m m -
⋅-+--=，结合（*）化简得24640m m
--+=， 即2
2320m m --=，2m ∴=或12
m =-（舍去），
∴存在实数2m =，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形。

------------------------12分
21解：
[][]''''2
max max 1ln f ()f ()0x ,f ()f ()ln 22m ,21
22ln m ,2m 1
m e 2x
x x e x x x
e m
m e m m m m
e m m m
e ∞-===∞⋅≤≤=-≥=-（1）定义域是（0 +）..........1分
令得０＜ｘ＜ｅ时>０，ｘ>ｅ＜ｏ故（０ｅ）上单调递增，（ｅ＋）单调递减.........４分
（2）有（1）知当0＜时即0<在递增f(x)f(2m)=当在递减f(x)f()=当＜＜f(x max max 1
11ln 1ln 1
(3)111111x ln 11111ln ln e
e
x x e x e x e
n n
x e x x e n n n n n n n e n n n =-⋅=-∞-≤-≤
++=∀∈∞≤≠++++⎛⎫
<
⋅ ⎪⎝⎭
)f(e)=　.........８分有（1）知f(x)f(e)=在（0 +）上恒有即且时＝成立，即（0 +）恒有因为＞０ ｅ
所以＜即.........１２分
22．解：（1）D D ABC CPD ∠=∠∠=∠, ，
DPC ∆∴～DBA ∆，BD PD
AB PC =
∴
又BD
PD
AC PC AC AB =
∴=, （5分）
（2）,,CAP CAP APC ACD ∠=∠∠=∠
APC ∆∴～ACD ∆AD
AC
AC AP =
∴， 92=⋅=∴AD AP AC
（10分）。