2018-2019学年湖南师范大学附属中学高二上学期期末考试数学(文)答案

湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期末考试数学(文科)参考答案
13．－3
14．π是无理数
15.2 【解析】由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ，
由复数相等得⎩⎨⎧x ＝1，x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.
所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝ 2.
16．(0，1)∪(2，＋∞) 【解析】f ′(x )＝1x －1a
(x >0)，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )max ＝f (a )． x 0∈R ，使得 x 1∈
[1，2]都有f (x 1)<f (x 0)，即f (a )>f (x 1) x 1∈[1，2]恒成立，故a [1，2]，所以实数a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．
三、解答题
17．【解析】(1)圆C ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
圆C 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，
即x 2＋y 2－x －y ＝0.3分
直线l ：ρsin ⎝
⎛⎫θ－π4＝22， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，
即x －y ＋1＝0.6分
(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，
8分 故直线l 与圆C 公共点的极坐标为⎝
⎛⎭⎫1，π2.10分 18．【解析】(1)由图可知众数落在第三组[)15，16中，其值是15＋162
＝15.5.3分 (2)因为数据落在第一、二组的频率为1×0.04＋1×0.18＝0.22，
所以该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数为0.22×50＝11.6分
(3)成绩在[)13，14的人数有：50×0.04＝2人，设为a ，b ，
成绩在[]17，18的人数有：50×0.06＝3人，设为A ，B ，C .8分
m ，n ∈[)13，14时有ab 一种情况，m ，n ∈[]17，18时有AB ，AC ，BC 三种情况， m ，n 分别在[)13，14和[]17，18时有aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 六种情况，基本事件的总数为10，
设事件||m －n >2为事件A ，它由aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 这6个基本事件组成.11分
所以P ()A ＝610＝35
.12分 19．【解析】(1)设公差为d (d ≠0)，
由已知得：(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，∴d ＝3a 1，
又∵a 3＝7，∴a 1＋2d ＝7，
解得：a 1＝1，d ＝3，
∴a n ＝3n －2.6分
(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13⎝
⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1，
S n ＝n
3n ＋1.12分
20．【解析】(1)∵P A ＝AD ＝2，F 为PD 中点，∴AF ⊥PD ，
∵P A ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD .
∴P A ⊥CD .
∵AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .
∵AF 平面P AD ，∴AF ⊥CD .
∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD .6分
(2)取PC 的中点G ，连接EG 、GF ，则GF ∥CD ，GF ＝12CD ，
又∵EA ∥CD ，EA ＝12CD ，∴AE ∥GF ，AE ＝GF ，
∴四边形AEGF 为平行四边形，
∴EG ∥AF ，
由(1)AF ⊥平面PDC ，∴GE ⊥平面PCD ，EG 为三棱锥E －PFC 的高， 又GF ＝AF ＝EG ＝2，PF ＝12PD ＝2，
∴S △PCF ＝12PF ·CD ＝2，
得三棱锥P －EFC 的体积V ＝13S △PCF ·EG ＝22
3.12分
21．【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∵点P (1，2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.
故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，3分
准线方程是x ＝－1.6分
(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，
则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2
x 2－1(x 2≠1)，
∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB .
由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，
得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②
∴y 1－2
14y 21－1＝－y 2－214y 22－1
，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)．
∴y 1＋y 2＝－4.9分
由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，
∴k AB ＝y 1－y 2
x 1－x 2＝4
y 1＋y 2＝－1(x
1≠x 2).12分
22．【解析】(1)a ＝1时，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 切线斜率k ＝f ′(1)＝1，切点为(1，0)，切线方程为y ＝x －1.4分
(2)f ′(x )＝ln x ＋1a ，令f ′(x )＝0 x ＝1
e .
①当a ≥1
e 时，
f ′(x )>0，f (x )在[a ，2a ]上单调递增，
∴f (x )min ＝f (a )＝ln a ；
②当a <1e <2a ，即12e <a <1e 时，f (x )在⎣⎡⎦⎤a ，1e 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1e ，2a 上单调递增，
∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1
a e ；
③当2a ≤1e ，即0<a ≤12e 时，f ′(x )<0，f (x )在[a ，2a ]上单调递减，
∴f (x )min ＝f (2a )＝2ln(2a ).8分
(3)要证的不等式两边同乘以x ，则等价于证明x ln x >x
e x －2e (x ∈(0，＋∞))．
令g (x )＝x ln x ，则由(1)知g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e .
令φ(x )＝x
e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则φ′(x )＝1－x
e x ，
当0<x <1时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增； 当x >1时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减；
∴φ(x )max ＝φ(1)＝－1e ，
所以g (x )min ＝φ(x )max ，且最值不同时取到，即x ln x >x e x －2e ， ∴ x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2
e x .12分。