2020年广东省清远市数学高二第二学期期末复习检测试题含解析

2020年广东省清远市数学高二第二学期期末复习检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为（ ） A ．0.6 B ．1
C ．3.5
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
写出分布列，然后利用期望公式求解即可． 【详解】
抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
所以1
()(123456) 3.56
E ξ=⨯+++++=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
2．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34
a >-
B ．53
a <-
C ．5334
a -
<<- D ．53
34
a -
≤≤- 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
分析：函数()3
2
21f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数
有根在()1,2，且左侧函数值小于1，右侧函数值大于1，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x+1，x ∈（1，2）．
a ＝1时，f ′（x ）＝4x+1＞1，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠1时，△＝16﹣12a ． 由△≤1，解得4
3
a ≥
，此时f ′（x ）≥1，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
由△＞1，解得a 4
3
＜（a ≠1），由f ′（x ）＝1，解得x 123a --=
，x 223a
-+=．
当4
03
a ＜＜时，x 1＜1，x 2＜1，因此f ′（x ）≥1，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． 当a ＜1时，x 1＞1，x 2＜1，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，
∴必然有f ′（x 1）＝1，∴12，a ＜1．
解得：53
-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 3
4
-＜．
故选：C ．
点睛：极值转化为最值的性质：
1、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；
2、若()[
]
f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；
3．某人射击一次命中目标的概率为1
2
，且每次射击相互独立，则此人射击 7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为（ ） A ．3
7
61()2
C B ．2
7
41()2
A
C ．2
7
41()2
C
D ．1
7
41()2
C
【答案】B 【解析】 【分析】
由于射击一次命中目标的概率为
12
，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果. 【详解】
因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有2
4A 种情况，
所以所求概率为7
241A 2⎛⎫⋅ ⎪
⎝⎭
.选B.
【点睛】
本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 4．将5本不同的书全部分给甲乙丙三人，每人至少一本，则不同的分法总数为（ ） A ．50 B ．120
C ．150
D ．300
【答案】C
【解析】
分析：分两种情况：一人得3本，另两个人各得1本；一人得1本，另两个人各得2本，分别求出不同的分法即可得结果.
详解：分两种情况：一人得3本，另两个人各得1本，
有312
53260C A A =种分法，
一人得1本，另两个人各得2本，
有112
53490C A A =种分法，
共有9060150+=种分法，故选C.
点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 5．已知函数()()
22
23
1m m f x m m x
+-=--是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数(m =
)
A ．1-
B ．2
C ．3
D ．2或1-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据幂函数的定义，求出m 的值，代入判断即可． 【详解】
Q 函数()()
2
223
1m
m f x m m x +-=--是幂函数，
211m m ∴--=，解得：2m =或1m =-，
2m =时，()f x x =，其图象与两坐标轴有交点不合题意， 1m =-时，()4
1
f x x =
，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意， 故1m =-， 故选A ． 【点睛】
本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题．
6．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2019，则输出的y 值为（ ）
A ．
18
B ．
14
C ．
12
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
读懂流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，当0x <时，得到2x
y =的值.
【详解】
根据流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，输入2019x =，因为2019除以4余3，经过多次循环后3x =，
再经过一次循环后1x =-满足0x <的条件， 输出1
1
222
x
y -===
【点睛】
流程图的简单问题，找到循环规律，得到x 的值，得到输出值.属于简单题.
7．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想
甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取
结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对
那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 【答案】D 【解析】 【分析】
推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】
根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，
曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】
本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.
8．甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）
A ．1212,x x s s ><
B ．1212,x x s s =<
C ．1212,x x s s =>
D ．1212,x x s s
【答案】B 【解析】 【分析】
根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小． 【详解】
由茎叶图可看出甲的平均数是
89141515162122
158
+++++++=，
乙的平均数是
78131515172223
158
+++++++=，
∴两组数据的平均数相等．
甲的方差是()1
49361001364921.58+++++++= 乙的方差是()1
64494004496432.258
+++++++=
∴甲的标准差小于乙的标准差，
故选B ． 【点睛】
本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定．
9．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A ．1
y x
=-
B ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．3y x =
D ．2log y x =
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数奇偶性定义，代入-x 检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数． 【详解】 A ．1
y x
=-
在定义域上既不是增函数，也不是减函数； B ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数； C ．3y x = 在其定义域上既是奇函数又是增函数； D ．2log y x =在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数， 故选C ． 【点睛】
本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．
10．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．
18
B ．38
C ．
58
D ．
78
【答案】C 【解析】
分析：先确定随机变量得取法12X =，，再根据独立重复试验求概率.
详解：因为1
4
2
4
441
1(1)(),(2)(),2
2
P x C P x C ====
所以1424
44411105(03)(1)(2)()(),2228
P x P x P x C C <<==+==+==
选C.
点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)k k n k
n C p p --.
其中p 为1次试验种A 发生得概率.
11．给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.已知函数()3sin cos f x x x x =+-的拐点是
00(,())x f x ，则0tan x =（ ）
A ．
12
B ．
2
C D ．1
【答案】D 【解析】 【分析】
遇到新定义问题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，在该题中求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决． 【详解】
解：函数()3sin cos f x x x x =+-， ()3cos sin f x x x '=++， ()sin cos f x x x ''=-+，
因为方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点0(x ，0())f x 为函数()y f x =的“拐点”， 已知函数()3sin cos f x x x x =+-的“拐点”是00(,())x f x ， 所以00sin cos 0x x -+=，即00sin cos 0x x -=， 0tan 1x ∴=
故选：D ． 【点睛】
本题考查导数的运算．导数的定义，和拐点，根据新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，属于基础题
12．独立性检验中,假设0H :运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下,计算得2K 的观测值7.236k ≈.下列结论正确的是（ ）
附：
20()P K k ≥ 1．11
1.15 1.111 1.115
0k
2.716
3.841 6.635 7.879
A ．在犯错误的概率不超过1.11的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关
B ．在犯错误的概率不超过1.11的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关
C ．在犯错误的概率不超过1.115的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关
D ．在犯错误的概率不超过1.115的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关 【答案】A 【解析】 【分析】
根据临界值表找到犯错误的概率，即可对各选项结论的正误进行判断． 【详解】
()2 6.6350.01P K ≥=Q ，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运
动有关，故选A ． 【点睛】
本题考查独立性检验的基本思想，解题的关键就是利用临界值表找出犯错误的概率，考查分析能力，属于基础题．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________. 【答案】 【解析】
试题分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A 的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB 的概率，然后直接利用条件概率公式求解． 解：P （A ）=
，P （AB ）=
．
由条件概率公式得P （B|A ）=．
故答案为．
点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条
件概率的理解与公式的运用，属中档题．
14．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，若对于x≥0，都有f （x+2）=﹣1
()
f x ，且当x ∈[0，2]时，f （x ）=lo
g 2（x+1），则f （﹣2013）+f （2015）=_____． 【答案】0 【解析】
当x ≥0，都有f （x +2）=﹣1
f x （）
， ∴此时f （x +4）=f （x ），
∴f （2015）=f （503×4+3）=f （3）=﹣
1
f 1（）
， ∵当x ∈[0，2]时，f （x ）=log 2（x+1）， ∴f （1）=log 2（1+1）=1， 即f （2015）=﹣
1
f 1（）
=﹣1， ∵函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， ∴f （﹣2013）=f （503×4+1）=f （1）=1， ∴f （﹣2013）+f （2015）=1﹣1=0， 故答案为0
15．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，
16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需
原料的质量为___________g .
【答案】1．8 【解析】 【分析】
根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量. 【详解】
由题意得， 2
1
46423122
EFGH S cm =⨯-⨯⨯⨯=，
四棱锥O−EFG 的高3cm ， ∴31
123123
O EFGH V cm -=
⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为3
2466144V cm =⨯⨯=， 所以该模型体积为2
2114412132V V V cm =-=-=，
其质量为0.9132118.8g ⨯=． 【点睛】
本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解． 16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（ ）． 【答案】
【解析】
试题分析：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A ， 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，
必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错； 有相互独立事件的概率乘法公式， 可得P （A ）=1×0.2×0.8×0.8=0.128， 故答案为0.128.
法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A ， 若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，
必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；
有相互独立事件的概率乘法公式，
可得P （A ）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128 考点：相互独立事件的概率乘法公式 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．设命题:p 幂函数2
2a a y x --=在(0,)+∞上单调递减。

命题:q 212a x
x
=-+在()0,3上有解；
若p q ∧为假，p q ∨为真，求a 的取值范围. 【答案】(]
,1(1,2)-∞-⋃. 【解析】
试题分析：由p 真可得12a -<<，由q 真可得1a ≤ ，p q ∧为假，p q ∨为真等价于,p q 一真一假，讨论两种情况，分别列不等式组，求解后再求并集即可.
试题解析：若p 正确，则220a a --<，12a ∴-<< 若q 正确，()212
0,3y a y x x
⇔==-
+与的函数图像在上有交点 1a ⇔≤ p q ∧Q 为假，p q ∨为真，∴,p q 一真一假
121211a a a a a -<<≤-≥⎧⎧∴⎨⎨>≤⎩⎩
或或 112a a ⇔≤-<<或
即a 的取值范围为(]
(),11,2-∞-⋃. 18．设函数()|||2|f x x a x =-+-，x ∈R . （1）当1a =-时，解不等式()3f x x ≤+； （2）若0x R ∃∈，0()|3|f x a <+，求a 的取值范围. 【答案】（1）04x ≤≤；（2）1
(,)2
a ∈-+∞. 【解析】 【分析】
（1）利用零点分段法去绝对值解不等式即可.
（2）利用绝对值意义求出()f x 的最小值，使min ()|3|f x a <+，解绝对值不等式即可. 【详解】
（1）当1x <-时，()213f x x x x =---≤+，x φ∴∈ 当12x -≤≤时， ()213f x x x x =-++≤+，02x ∴≤≤ 当2x >时，()213f x x x x =-++≤+，24x ∴<≤ 综上所述：04x ≤≤
（2）()|||2||()(2)||2|f x x a x x a x a =-+-≥---=-
()|2|min f x a ∴=-，11
|2||3|(,)22
a a a a ∴-<+⇒>-∴∈-+∞
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
19．如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面ABC ，SA SB =，AB AC ⊥
，AB AC ==
，
D 为AB 的中点.
（1）证明：SB ⊥平面SAC ； （2）求二面角D SC A --的余弦值. 【答案】 (1)证明见解析. 10. 【解析】
分析：（1）证SB AC ⊥，SB SA ⊥.即可由线面垂的判定定理得出结论；
（2）通过建系，分别求出面DSC 和面SCA 的法向量()()2,1,02,0,2n SB ==-u u v v
和，进行计算，观察图中
二面角的范围得出余弦值的符号
（1）证明：因为平面SAB ⊥平面ABC ，平面SAB ⋂平面ABC AB =，且AB AC ⊥， 所以AC ⊥平面SAB ，所以SB AC ⊥. 又因为SA SB =，2AB SA =
，所以222AB SA SB =+，即SB SA ⊥.
因为AC SA A ⋂=，且,AC SA ⊂平面SAC ， 所以SB ⊥平面SAC .
（2）解：如图，建立空间直角坐标系
A xy z -，令4A
B =，则()0,0,0A ，()2,0,0D ，()0,4,0
C ，()2,0,2S ，()4,0,0B .
易得()2,0,2SB =-u u v ，()0,0,2DS =u u u v ，()2,4,0DC =-u u u v
.
设(),,n x y z =v
为平面DCS 的一个法向量，则
20240
n DS z n DC x y ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩u u u v v u u u
v v ，取2x =，则1y =，0z =， 所以()2,1,0n =v
.
又因为()2,0,2SB =-u u v 为平面SAC 的一个法向量，所以10
cos ,5522
SB n =
=⨯u u v v . 所以二面角D SC A --10.
点晴：空间立体是高考必考的解答题之一，在做这类题目时，正面题大家需要注意书写的步骤分，判定定理的必要点必须要有；另外在求角等问题时我们可以利用向量法进行解决问题，注意角的范围问题．
20．以椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的中心O 22a b +设椭圆C 的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且满足2AB =，6
OAB OFB S =△△. （1）求椭圆C 及其“准圆"的方程；
（2）若过点(22
P a b +的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，当0OM ON ⋅=u u u u v u u u v 时，试求直线l 交“准
圆”所得的弦长；
（3）射线()30y x x =≥与椭圆C 的“准圆”交于点P ，若过点P 的直线1l ，2l 与椭圆C 都只有一个公共点，且与椭圆C 的“准圆”分别交于R ，T 两点，试问弦RT 是否为”准圆”的直径?若是，请给出证明：若不是，请说明理由.
【答案】（1）2
2
4x y +=；（213（3）RT 是准圆的直径，具体见解析 【解析】 【分析】
（1）根据所给条件可知，224a b +=，根据面积公式可知161
222
ab bc =⋅ ，最后解方程组求解椭圆方程；
（2）设直线为2y kx =+，与椭圆方程联立，(
)
2
2
311290k x kx +++=，表示根与系数的关系，并且代
入0OM ON ⋅=u u u u r u u u r
的数量积的坐标表示，求k ，最后代入直线和圆相交的弦长公式222l R d =-
（3）首先求点P 的坐标，当直线与椭圆有一个交点时，0∆=，得到2310k k +-=，可知121k k =- ，可知两条切线互相垂直，根据圆的性质可得答案. 【详解】
（1
）222
224122a b ab bc a b c ⎧+=⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
， ∴23a =，1b =
，c =∴2213
x y +=，
准圆2
2
4x y +=.
（2）()0,2P ，设l ：2y kx -=
2
2
213
y kx x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴()
22311290k x kx +++=，
1221231k x x k +=-
+ ，122
9
31
x x k =+ 1212OM ON x x y y ⋅=+=u u u u r u u u r ()2
12121224x x k x x k x x ++++
()()212121240k x x k x x =++++=
()
22
2
29124403131
k k k k +=-+=++ ， 22
313031
k k -+==+ ， 即23130k -+=
∴3
k =±
∴2y x =+，圆心()0,0
与该直线距离
2d =
=
=
， ∴
弦长l ===（3
）2
2
1
4x y x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩
(P
()
22
133
y k x x y ⎧=-⎪
⎨+=⎪⎩，
整理为：(
)()()
2
2
2
2136360k
x k
x k +--+-+=
因为直线与圆只有1个交点，
∴()
()()
2
2226413360k k k ∆=--+-+=
整理为： 210k +-=
∴121k k =-
∴椭圆切线PR 与PT 垂直，即PR PT ⊥， Q P 在准圆上，R ，T 也在准圆上，
∴90RPT ∠=︒，∴RT 是准圆的直径
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.
21．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B +-=-．
（1）求A ．
（2）若4a =，求ABC ∆面积S 的最大值．
【答案】（1）3
A π
=；（2）
【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理得到2
2
2
b c a bc +-=，再由余弦定理得到2221cos 22
b c a A bc +-==，根据特殊角的三
角函数值得到结果；（2）根据余弦定理可知：222a b c bc =+-，根据重要不等式和a=4得到
162bc bc bc ≥-=，即16bc ≤，再由ABC ∆面积1
sin
2
3
S bc π
==
≤，最终得到结果. 【详解】
（1）根据正弦定理可知：()()()a b a b c c b +-=-， 整理得222b c a bc +-=，
由余弦定理的推论得2221
cos 22b c a A bc +-==，
Q 0A π<<，
∴ 3
A π
=
．
（2）根据余弦定理可知：2
2
2
222cos
3
a b c bc b c bc π
=+-=+-，
Q 222b c bc +≥且4a =，
∴ 162bc bc bc ≥-=，即16bc ≤.
∴ ABC ∆
面积1sin 234
S bc π==≤，当且仅当4b c ==时等号成立．
故ABC ∆面积S
的最大值为 【点睛】
1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22
,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题;2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等;3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解. 22．已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121； (1)求n 的值；
(2)求展开式中系数最大的项；
【答案】 (1) 15n =；(2) 11111112153T C x =⋅或121212
13153T C x =⋅
【解析】 【分析】
（1）由末三项二项式系数和构造方程，解方程求得结果；（2）列出展开式通项，设第1r +项为系数最大
的项，得到不等式组1
1
151511
15153333
r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，从而求得r 的取值，代入得到结果. 【详解】
（1）()13n
x +展开式末三项的二项式系数分别为：2
n n C -，1n n C -，n
n C
则：2
1121n n n n
n n C C C --++=，即：210121n n n C C C ++=
22400n n ∴+-=，解得：16n =-（舍）或15n =
15n ∴=
（2）由（1）知：()13n
x +展开式通项为：1153r r r
r T C x +=⋅
设第1r +项即为系数最大的项
11151511
15
153333r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅∴⎨⋅≥⋅⎩，解得：1112r ≤≤ ∴系数最大的项为：11111112153T C x =⋅或12121213153T C x =⋅
【点睛】
本题考查二项式定理的综合应用，涉及到二项式系数的问题、求解二项展开式中系数最大的项的问题，属于常规题型.。