高考数学大一轮复习13.5数系的扩充与复数的引入理苏教版【含答案】

第6讲 数系的扩充与复数的引入
一、填空题
1．复数(2＋i)2
等于________．
解析 (2＋i)2
＝4＋4i ＋i 2
＝3＋4i. 答案 3＋4i
2．复数z ＝11－i ＋i
1＋i
，则z ＝________.
解析 ∵z ＝11－i ＋i 1＋i ＝
1＋i ＋
－
－＋
＝
2＋2i
2
＝1＋i ，∴z ＝1－i. 答案 1－i
3．若复数z ＝(a 2＋2a －3)＋(a －3)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是________．
解析 z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 2
＋2a －3＝0，a ＋3≠0，
解得a ＝1.
答案 1
4．复数z ＝2＋m i
1＋i
(m ∈R)是纯虚数，则m ＝________.
解析 由于z ＝2＋m i
1＋i ＝
＋m －＋
－
＝
＋m ＋m －
2
是纯虚数，因此2
＋m ＝0，m ＝－2. 答案 －2
5．若a ＋i 1－i (i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值是________．
解析 由a ＋i
1－i
＝
a ＋
＋
2
＝
a －
＋a ＋2
是实数，
得a ＋1＝0，所以a ＝－1. 答案 －1
6．若复数a ＋3i
1＋2i
(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．
解析 由
a ＋3i
1＋2i
＝
a ＋
－
5
＝
a ＋65＋
3－2a
5
i 为纯虚数，得a ＋6＝0且3－
2a ≠0，所以a ＝－6. 答案 －6
7．若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z |的最大值为________．
解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2
＋(y －1)2
＝1，由画图可知|z |的最大值为2. 答案 2
8．在复平面内，复数－3＋i 和1－i 对应的点间的距离为________． 解析 |－3＋i －1＋i|＝|－4＋2i|＝－4
2
＋22
＝20＝2 5.
答案 2 5
9．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x
的最大值________．
解析 由|z －2|＝3可得，|z －2|2
＝(x －2)2
＋y 2
＝3.设y x
＝k ，即得直线方程为kx －y ＝0，∴圆(x －2)2
＋y 2
＝3的圆心(2,0)到直线kx －y ＝0的距离d ＝2|k |
k 2＋1
≤3，解得k
∈[－3，3]，即得y x
的最大值为 3. 答案
3
10．给出下列四个命题：
①若z ∈C ，|z |2
＝z 2
，则z ∈R ； ②若z ∈C ，z ＝－z ，则z 是纯虚数； ③若z ∈C ，|z |2＝z i ，则z ＝0或z ＝i ； ④若z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0. 其中真命题的个数为________个．
解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若|z |2
＝a 2
＋b 2
＝z 2
＝a 2
－b 2
＋2ab i ，则⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2
＋b 2
＝a 2
－b 2
，
2ab ＝0.
所以b ＝0，所以z ∈R ，①正确； 若z ＝0，则z 不是纯虚数，②错；
若a 2
＋b 2
＝－b ＋a i ，则a ＝0，b ＝0或b ＝－1， 所以z ＝0或z ＝－i ，③错；
若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，
z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )．
则(a ＋c )2
＋(b ＋d )2
＝(a －c )2
＋(b －d )2
， 整理得：ac ＋bd ＝0，
所以z 1z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac －bd ＋(ad ＋bc )i ，不一定为零，④错． 答案 1 二、解答题
11．已知复数z ＝lg(m 2
－2m －2)＋(m 2
＋3m ＋2)i ，根据以下要求求实数m 的值或范围：
(1)z 是纯虚数； (2)z 是实数；
(3)z 对应的点在复平面的第二象限．
解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
－2m －＝0，m 2
＋3m ＋2≠0，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
m 2
－2m －2＝1，
m ＋m ＋，
∴m ＝3.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
－2m －2>0，m 2
＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或－2.
(3)由⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
－2m －，
m 2
＋3m ＋2>0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
0<m 2
－2m －2<1，m 2
＋3m ＋2>0，
∴－1<m <1－3或1＋3<m <3.
12．已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2
－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .
解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，
则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2
＋b 2， 代入原式，得(2a )2
－3(a 2
＋b 2
)i ＝4－6i ，
根据复数相等得⎩⎪⎨
⎪⎧
4a 2＝4，－a 2＋b 2＝－6，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝1或⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1
或⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－1.
故所求复数为
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋i ，y ＝1－i
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－i ，y ＝1＋i
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋i y ＝－1－i
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.
13．已知z 是复数，z ＋2i 、
z
2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2
在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，
∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.
z
2－i ＝x －2i 2－i ＝15
(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋1
5(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.
∵(z ＋a i)2
＝(12＋4a －a 2
)＋8(a －2)i ，
根据条件，已知⎩
⎪⎨
⎪⎧
12＋4a －a 2
＞0，a －＞0，解得2＜a ＜6，
∴实数a 的取值范围是(2,6)．
14．设z 是虚数，已知ω＝z ＋1
z
是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z
1＋z ，求证：u 为纯虚数；
(3)求ω－u 2
的最小值．
(1)解 因为ω∈R ，所以ω＝ω，所以z ＋
1
z
＝z ＋1z
，
即(z －z )⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－1
z z
＝0，因为z 为虚数，所以z ≠z . 所以z z ＝1，从而|z |2
＝1，即|z |＝1. 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )， ∵|z |＝1，∴a 2
＋b 2
＝1，
∴ω＝z ＋1z ＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b i
a 2＋
b 2＝2a .
∵－1＜ω＜2，∴－1＜2a ＜2，∴－1
2
＜a ＜1.
即z 的实部取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1. (2)证明 (1)因为z z ＝1，所以z ＝1
z
.
所以u ＋u ＝1－z 1＋z ＋1－z 1＋z ＝1－z
1＋z ＋1－
1z 1＋
1z
＝1－z 1＋z ＋z －1z ＋1
＝0，且u ≠0，所以u 为纯虚数．
(3)解 由(2)可设u ＝t i(t ∈R 且t ≠0)， 则由1－z 1＋z ＝t i ，得z ＝1－t i 1＋t i ，
所以ω＝z ＋1z ＝1－t i 1＋t i ＋1＋t i 1－t i ＝
－t 2
1＋t
2
，u 2＝－t 2
，
所以ω－u 2
＝－t 2
1＋t
2
＋t 2
＝1＋t 2
＋
4
1＋t
2－3 ≥2
＋t
24
1＋t
2－3＝1， 当且仅当t 2
＋1＝2，t ＝±1时等号成立， 故ω－u 2
的最小值为1.。