北师大版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解单元测试卷(解析版)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难） 1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
在初中数学课本中重点介绍了提公因式法和运用公式法两种因式
分解的方法，其中运用公式法即运用平方差公式：22()()a b a b a b -=+-和完全平方公式：2
2
2
)2(a ab b a b ±+=±进行分解因式，能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．当一个二次三项式不能直接能运用完全平方公式分解因式时，可应用下
面方法分解因式，先将多项式2ax bx c ++(0)a ≠变形为2
()a x m n ++的形式，我们把这
样的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．再运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式． 例如：21124x x ++
22
21111112422x x ⎛⎫⎛⎫
=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
112524x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
1151152222x x ⎛
⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
(8)(3)x x =++．
根据以上材料，完成相应的任务：
（1）利用“多项式的配方法”将268x x -+化成2
()a x m n ++的形式为_______；
（2）请你利用上述方法因式分解： ①223x x +-； ②24127x x +-．
【答案】（1）2(3)1x --；（2）①(3)(1)x x +-；②(27)(21)x x +- 【解析】 【分析】
（1）将多项式2233+-即可完成配方；
（2）①将多项式+1-1后即可用配方法再根据平方差公式分解因式进行解答；
②将多项式2233+-即可完成配方，再根据平方差公式分解因式，整理后即可得到结果. 【详解】
解：（1）268x x -+=2226338x x -+-+=2(3)1x --， 故答案为：2(3)1x --； （2）①223x x +-
22113x x =++--
2(1)4x =+- (12)(12)x x =+++- (3)(1)x x =+-．
②24127x x +-
222(2)12337x x =++-- 2(23)16x =+- (234)(234)x x =+++- (27)(21)x x =+-．
【点睛】
此题考查多项式的配方法，多项式的分解因式，正确理解题中的配方法的解题方法是关键.
2．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出2()a b +、2
()a b -、ab 之间的等量关系是______；
（2）根据（1）中的结论，若5x y +=，9
4
x y ⋅=
，则x y -=______； （3）拓展应用：若22
(2019)(2020)7m m -+-=，求(2019)(2020)m m --的值. 【答案】（1）22
()()4a b a b ab +=-+；（2）4，－4：（3）-3
【解析】 【分析】
（1）观察图2，大正方形由4个矩形和一个小正方形组成，根据面积即可得到他们之间的关系.
（2）由（1）的结论可得(x-y) ²=16,然后利用平方根的定义求解即可. （3）从已知等式的左边看，左边配成两数和的平方来求解. 【详解】
解：（1）由题可得，大正方形的面积2
()a b =+，
大正方形的面积2
()4a b ab =-+， ∴2
2
()()4a b a b ab +=-+，
（2）∵22()()4x y x y xy +=-+， ∴22
9
()()4254164
x y x y xy -=+-=-⨯=， ∴4x y -=或－4，
（3）∵22
(2019)(2020)7m m -+-=，
又2(20192020)m m -+-22(2019)(2020)2(2019)(2020)m m m m =-+-+-- ∴172(2019)(2020)m m =+-- ∴(2019)(2020)3m m --=-
故答案为：(1)22
()()4a b a b ab +=-+；(2) 4，－4：(3)-3
【点睛】
本题通过观察图形发现规律，并运用规律求值，使问题简单化是解题关键.
3．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到()()2
2
322a ab b a b a b ++=++．请回答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；
（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的
面积，你能发现什么?(用含有x ，
y 的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．
【答案】（1）22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++；（2）22
()()4x y x y xy +=-+；
（3）大 小 【解析】 【分析】
（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b ，宽为a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及4个长为a ，宽为b 的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；
（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式224()()xy x y x y =+--，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小； 【详解】
（1）看图可知，22
(2)(2)225a b a b a b ab ++=++ （2）22
()()4x y x y xy +=-+
（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小. 【点睛】
本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
4．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片边长为a 的正方形，
B 中纸片是边长为b 的正方形，
C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形．并用A 种纸片一
张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：s =____________________；方法2：s =________________________； （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()2
22,,a b a b ab ++之间的等量关系． _______________________________________________________； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：2
2
5,11a b a b +=+=，求ab 的值；
②已知()()2
2
202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____．
【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2
222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2- 【解析】 【分析】
（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；
（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；
（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，
即可得出xy=
()2
22()2
x y x y +-+=
2-，进而得到()()20202019a a --=2-．
【详解】
解：（1）图2大正方形的面积=()2
a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++ 故答案为：()2
a b +，222a ab b ++；
（2）由题可得()2
a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2
222a b a ab b +=++故答案为：()2
222a b a ab b +=++； （3）①
()
()2
222a b a b ab +-+=
2251114ab ∴=-=
7ab ∴=
②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1， ∵()()2
2
202020195a a -+-=， ∴x 2+y 2=5，
∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，
∴xy=
()2
22()
2
x y x y +-+=-2，
即()()202020192a a --=-． 【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．材料：数学兴趣一小组的同学对完全平方公式进行研究：因()2
0a b -≥，将左边展开得到2220a ab b -+≥，移项可得：222a b ab +≥.
数学兴趣二小组受兴趣一小组的启示，继续研究发现：对于任意两个非负数m 、n ，都存
在m n +≥m 、n 的和一定存在着一个最小值. 根据材料，解答下列问题： （1）()()2
2
25x y +≥__________（0x >，0y >）；2
2
1x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭
___________（0x >）； （2）求()5
602x x x
+
>的最小值； （3）已知3x >，当x 为何值时，代数式9
2200726
x x ++-有最小值，并求出这个最小值.
【答案】（1）20xy ，2；（2）3）当92x =时，代数式9
2200726
x x +
+-的最小值为2019. 【解析】 【分析】
（1）根据阅读材料即可得出结论；
（2）根据阅读材料介绍的方法即可得出结论； （3）把已知代数式变为9
26201326
x x -++-，再利用阅读材料介绍的方法，即可得到结论． 【详解】
（1）∵0x >，0y >，
∴()()2
2
2522520x y x y xy +≥⨯⋅=， ∵0x >，
∴2
21122x x x x ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭
； （2）当x 0>时，2x ，5
2x
均为正数，
∴562x x +
≥=
所以，5
62x x
+
的最小值为 （3）当x 3>时，2x ，9
26
x -，2x-6均为正数， ∴9
2200726
x x +
+- 9
2x 6201326
x =-+
+-
20132013≥= 2019=
由()2
0a b -≥可知，当且仅当a b =时，22a b +取最小值， ∴当92626x x -=
-，即9
2
x =时，有最小值．
∵x 3>
故当92x =
时，代数式9
2200726
x x +
+-的最小值为2019． 【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形应用，解答本题的关键是理解阅读材料所介绍的方法．
6．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，
()2
22222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”.
（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”； （2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由. （3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．. 【答案】（1）8、29是完美数（2）S 是完美数（3）mn 是完美数 【解析】 【分析】
（1）利用“完美数”的定义可得；
（2）利用配方法，将S 配成完美数，可求k 的值 （3）根据完全平方公式，可证明mn 是“完美数”； 【详解】 (1)
22228,8+=∴是完美数；
222925,29=+∴是完美数 (2) ()2
22)2313S x y k =++-+-（ 13.k S ∴=当时，是完美数 (3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则(
)(
)
()()22
22
22mn a b c d ac bd ad bc =++=++-
即mn 也是完美数. 【点睛】
本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
7．一个四位正整数m 各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m 的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”；把四位数m 的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝abcd ，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c ﹣a ﹣d|最小时，称此时的m′是m 的“伴随数”，并规定F （m′）＝a 2+c 2﹣2bd ；例如：m ＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F （5236）＝52+32﹣2×2×6＝10． （1）最大的四位“半期数”为 ；“半期数”3247的“伴随数”是 ．
（2）已知四位数P ＝abcd 是“半期数”，三位数Q ＝2ab ，且441Q ﹣4P ＝88991，求F （P'）的最大值．
【答案】（1）4192，7324；（2）42.
【解析】
【分析】
（1）根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192，分析3247的所有可能为，2473，4732，7324．根据题意|b+2c﹣a﹣d|最小的数是7324，所以3247的“伴随数”是：7324．
（2）根据定义可知a+b=5，c+d=11．再根据441Q﹣4P=88991，可以算出P的值，从而求出F（P'）的最大值．
【详解】
解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192．
∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．
∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324为3247的“伴随数”．
故答案为4192；7324．
（2）∵P为“半期数”
∴a+b=5，c+d=11，∴b=5﹣a，d=11﹣c，∴P=1000a+100（5﹣a）+10c+11﹣
c=900a+9c+511．
∵Q=200+10a+c，∴441Q﹣4P=88991，∴441（200+10a+c）﹣4（900a+9c+511）=88991
化简得：2a+c=7
①当a=1时，c=5，此时这个四位数为1456符合题意；
②当a=2时，c=3，此时这个四位数为2338不符合题意，舍去；
③当a=3时，c=1，不符合题意，舍去；
综上所述：这个四位数只能是1456，则P'可能为4561，5614，6145．
∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614为P的“伴随数”，∴F（5614）=a2+c2﹣2bd=25+1﹣2×6×4=﹣22；
F（4561）=a2+c2﹣2bd=16+36﹣2×5×1=42；
F（6145）=a2+c2﹣2bd=36+16﹣2×1×5=42；
∴F（P'）的最大值为42．
【点睛】
解决本道题的关键是理解好半期数的定义：一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”，然后根据当|b+2c﹣a﹣d|最小时，称此时的m'是m的“伴随数”来确定伴随数．
8．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并
且规定F （n ）＝p q ．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F （18）＝31
62
=．请解答下列问题：
(1)计算：F （24）；
(2)当n 为正整数时，求证：F （n 3+2n 2+n ）＝1
n
． 【答案】(1) 23；(2) 1n
. 【解析】
分析：（1）根据最佳分解的意义，把24分解成两数的积，找出差的绝对值最小的两数，求比值即可；
（2）根据（1）的求法，确定差的绝对值最小的两数的特点，然后根据要求变形即可. 详解：(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6， 其中4与6的差的绝对值最小， ∴F(24)＝
46＝23
. (2)∵n 3＋2n 2＋n ＝n(n ＋1)2，
其中n(n ＋1)与(n ＋1)的差的绝对值最小，且(n ＋1)≤n(n ＋1)， ∴F(n 3＋2n 2＋n)＝
()n 1n n 1++＝1
n
.
点睛： 本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
9．探究
阅读材料：“若x 满足()()806030x x --=，求()()2
2
8060x x -+-的值”
解：设()80x a -=，()60x b -=，
则()()806030x x ab --==，()()806020a b x x +=-+-=， 所以()()2
2
228060x x a b -+-=+()2
2220230340a b ab =+-=-⨯=. 解决问题：
（1）若x 满足()()451520x x --=-，求()()2
2
4515x x -+-的值.
（2）若x 满足()()2
2
202020184040x x -+-=，求()()20202018x x --的值.
（3）如图，正方形ABCD 的边长为x ，20AE =，30CG =，长方形EFGD 的面积是700，四边形NGDH 和MEDQ 都是正方形，PQDH 是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）.
【答案】（1）940；（2）2018；（3）2900 【解析】 【分析】
（1）根据材料提供的方法进探究，设（45-x ）=a ，（x-15）=b ，则有
()()451520x x ab --==-，()()4515=30a b x x +=-+-，据此即可求出
()()
22
4515x x -+-的值；
（2）（2020-x ）=m ，（ x-2018）=n ，则
()()
2
2
22202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=，则可求出()()
20202018x x --的值；
（3）根据题意知S 四EFGD =（x-20）（x-30）=700，知S 正MEDQ =（x-20）2，S 正DHNG =（x-30）
2
，S 四PQDN =（x-20）（x-30）=700,设x-20=a ，30-x=b ，则有-ab=700，据此即可求出阴影部
分的面积. 【详解】
解：（1）设（45-x ）=a ，（x-15）=b ，
则有()()451520x x ab --==-，()()4515=30a b x x +=-+- ∴()()()()2
2
2
2224515=230220940x x a b a b ab -+-+=+-=-⨯-=； （2）（2020-x ）=m ，（ x-2018）=n ，则
()()
22
22202020184040,2x x m n m n -+-=+=+=
∴()()20202018x x --=-()()20202018x x --
()
()2
22+-44040
-20182
2
m n m n mn +-=
=
=
∴()()20202018x x --=-mn=2018；
（3）根据题意知
S 四EFGD =（x-20）（x-30）=700，S 正MEDQ =（x-20）2，S 正DHNG =（x-30）2，S 四PQDN =（x-20）（x-30）=700
设x-20=a ，30-x=b ，
∴-ab=700，
∴()()()()222
222302021027001500x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯-=
∴S 阴影=1500+700+700=2900
故答案为：（1）940；（2）2018；（3）2900
【点睛】
本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．
10．观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52× = ×25；
② ×396=693× ．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a 、b ），并证明．
【答案】解：（1）①275；572.
②63；36.
（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b ）×[100b+10（a+b ）+a]=[100a+10（a+b ）+b]×（10b+a ），
证明见解析.
【解析】
【分析】
根据题意可得三位数中间的数等于两数的和，根据这一规律然后进行填空，从而得出答案；根据题意得出一般性的规律，然后根据多项式的计算法则进行说明理由．
【详解】
（1）①275,572; ②63,36；
（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.
证明如下：
∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），
∴左边=右边.
∴“数字对称等式”一般规律的式子为：
（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.
考点：规律题。