专题16 函数的奇偶性(解析版)

专题15 函数的奇偶性
题组1 函数的奇偶性概念
1.f（x）是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是（）
A.f（－x）＋f（x）＝0
B.f（－x）－f（x）＝－2f（x）
C.f（－x）·f（x）≤0
D.＝－1
【答案】D
【解析】由于f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（－x）＝－f（x），①
由此可推A，B，C正确，
由于f（－x）可能为0，由①不能推出D.
2.下列说法错误的个数是（）
①图象关于原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交；
⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）.
A.4
B.3
C.2
D.0
【答案】B
3.已知函数y＝f（x）满足：f（－2）>f（－1），f（－1）<f（0），则下列结论正确的是（）
A.函数y＝f（x）在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增
B.函数y＝f（x）在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减
C.函数y＝f（x）在区间[－2,0]上的最小值是f（－1）
D.以上的三个结论都不正确
【答案】D
题组2 函数的奇偶性判定与证明
4.下列函数中是偶函数的是（）
A.y＝2|x|－1，x∈[－1,2]
B.y＝x2＋x
C.y＝x3
D.y＝x2，x∈[－1,0）∪（0,1]
【答案】D
【解析】A中，函数的定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；
B中，y＝x＋x2为非奇非偶函数；
C中，y＝x3为奇函数；
D中，y＝x2，x∈[－1,0）∪（0,1]的定义域关于原点对称且满足f（－x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数. 故选D.
5.已知函数f（x）＝则函数f（x）的奇偶性为（）
A.既是奇函数又是偶函数
B.既不是奇函数又不是偶函数
C.是奇函数不是偶函数
D.是偶函数不是奇函数
【答案】C
【解析】若x＞0，则－x＜0，所以f（－x）＝－4x－x2＝－（4x＋x2）＝－f（x）.
若x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝x2－4x＝－（4x－x2）＝－f（x）.
综上，恒有f（－x）＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数.
故选C.
6.设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）
A.f（x）＋|g（x）|是偶函数
B.f（x）－|g（x）|是奇函数
C.|f（x）|＋g（x）是偶函数
D.|f（x）|－g（x）是奇函数
【答案】A
【解析】由f（x）是偶函数，可得f（－x）＝f（x），
由g（x）是奇函数可得g（－x）＝－g（x），
故|g（x）|为偶函数，∴f（x）＋|g（x）|为偶函数.
7.若函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，则一定成立的是（）
A.函数f[g（x）]是奇函数
B.函数g[f（x）]是奇函数
C.函数f[f（x）]是奇函数
D.函数g[g（x）]是奇函数
【答案】C
【解析】∵函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，
则f[g（－x）]＝f[g（x）]为偶函数；
g[f（－x）]＝g[－f（x）]＝g[f（x）]为偶函数；
f[f（－x）]＝f[－f（x）]＝－f[f（x）]为奇函数；
g[g（－x）]＝g[g（x）]是偶函数.
故选C.
8.已知集合M＝{f（x）|f2（x）－f2（y）＝f（x＋y）f（x－y），x，y∈R}，有下列命题：
①若f（x）＝则f（x）∈M；
②若f（x）＝2x，则f（x）∈M；
③f（x）∈M，则y＝f（x）的图象关于原点对称；
④f（x）∈M，则对于任意实数x1，x2（x1≠x2），总有<0成立.
其中所有正确命题的序号是________.（写出所有正确命题的序号）
【答案】②③
【解析】对①：f2（3）－f2（3）＝1－1＝0，f（3＋3）f（3－3）＝1，左右不相等，故错.
对②：f2（x）－f2（y）＝（2x）2－（2y）2＝（2x＋2y）（2x－2y）＝f（x＋y）f（x－y），x，y∈R，故正确.
对③：令x＝y＝0，得f2（0）－f2（0）＝f（0）f（0）⇒f（0）＝0，再令x＝0得f2（0）－f2（y）＝f（y）f （－y）⇒－f（y）＝f（－y）或f（y）＝0，即f（－x）＝－f（x）或f（x）＝0，不论为何种情况，f（x）均关于原点对称，故正确.
对④：若f（x）＝0，则＝0（x1≠x2），故错.
9.奇函数f（x）在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f（－6）＋f（－3）＝________.
【答案】－15
【解析】由题意知f（3）＝－1，f（6）＝8，
又∵f（x）为奇函数，
∴2f（－6）＋f（－3）＝－2f（6）－f（3）＝－15.
10.判断函数f（x）＝x＋（a为常数）的奇偶性，并证明你的结论.
【答案】f（x）为奇函数，证明如下：
f（x）的定义域为{x|x≠0}.
对于任意x≠0，f（－x）＝－x＋＝－＝－f（x）.
∴f（x）为奇函数.
题组3 函数图像的对称性
11.下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是（）
A.答案A
B.答案B
C.答案C
D.答案D
【答案】B
【解析】A，D不是函数；C不关于原点对称.
12.定义在R上的函数f（x）的图象既关于点（1,1）对称，又关于点（3,2）对称，则f（0）＋f（2）＋f（4）＋…＋f（14）等于（）
A.16
B.24
C.32
D.48
【答案】C
【解析】定义在R上的函数f（x）的图象既关于点（1,1）对称，又关于点（3,2）对称，
过点（1,1）、点（3,2）的直线方程为＝，
即y＝（x＋1），
显然函数f（x）＝（x＋1）满足题中条件，
∴f（0）＋f（2）＋f（4）＋…＋f（14）＝（1＋3＋5＋…＋15）＝32，
故选C.
13.函数f（x）＝x3＋的图象（）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于y＝x对称
D.关于原点对称
【答案】D
【解析】由于函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），
∵f（－x）＝（－x）3＋＝－（x3＋）＝－f（x），
∴f（x）为奇函数，
∴函数的图象关于原点对称，
故选D.
14.已知对于函数f（x）＝x2＋ax定义域内任意x，有f（1－x）＝f（1＋x），则实数a等于（）
A.1
B.－1
C.2
D.－2
【答案】D
15.已知函数y＝f（2x＋1）是定义在R上的奇函数，函数y＝g（x）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，则g（x）＋g（－x）的值为（）
A.2
B.0
C.1
D.不能确定
【答案】A
【解析】∵函数y＝f（2x＋1）是定义在R上的奇函数，
∴f（－2x＋1）＝－f（2x＋1）.
令t＝1－2x代入可得f（t）＋f（2－t）＝0，
∴函数f（x）关于（1,0）对称，
∵函数y＝g（x）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
∴函数g（x）关于（0,1）对称，从而有g（x）＋g（－x）＝2，
故选A.
16.函数y＝f（x）的图象与y＝f（－x）的图象的关系是（）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y＝x对称
【答案】B
【解析】设（x，f（x））是函数y＝f（x）上的点，
∵点（－x，f（x））一定在函数y＝f（－x）上，
∴函数y＝f（x）的图象与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，
故选B.
17.已知定义域为R的函数y＝f（x），则下列命题正确的是（）
A.若f（x＋1）＋f（1－x）＝0恒成立，则函数y＝f（x）的图象关于（1,0）点对称
B.若f（x－1）＝f（1－x）恒成立，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
C.函数y＝－f（x－1）的图象与函数y＝f（1－x）的图象关于原点对称
D.函数y＝f（x＋1）的图象与函数y＝f（1－x）的图象关于y轴对称
【答案】A
【解析】A，由f（x＋1）＋f（1－x）＝0，得f（x＋1）＝－f（1－x），则函数y＝f（x）的图象关于（1,0）点对称，故A正确；
B，由f（x－1）＝f（1－x），得函数y＝f（x）的图象关于直线x＝0对称，故B错误；
C，函数y＝－f（x－1）的图象与函数y＝f（1－x）的图象关于点（1,0）对称，故C错误；
D，函数y＝f（x＋1）的图象与函数y＝f（1－x）的图象关于x＝1对称，故D错误.
故选A.
18.设f（x）是定义在R上的奇函数，且y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＝________.
【答案】
【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0.
又f（x）关于直线x＝对称，∴f＝f.①
在①式中，当x＝时，f（0）＝f（1）＝0.
在①式中，以＋x代替x，得
f＝f，
即f（－x）＝f（1＋x）.
∴f（2）＝f（1＋1）＝f（－1）＝－f（1）＝0，
f（3）＝f（1＋2）＝f（－2）＝－f（2）＝0，同理，
f（4）＝f（5）＝0.
∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＝0.
19.判断函数f（x）＝的奇偶性.
【答案】函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.
①当x＞0时，－x＜0，
则f（－x）＝（－x）3＋3（－x）2－1
＝－x3＋3x2－1
＝－（x3－3x2＋1）＝－f（x）；
②当x＜0时，－x＞0，则
f（－x）＝（－x）3－3（－x）2＋1
＝－x3－3x2＋1
＝－（x3＋3x2－1）＝－f（x）.
由①②知，对任意x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），
都有f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数.
20.f（x），g（x）是定义在R上的奇函数，试判断y＝f（x）＋g（x），y＝f（x）g（x），y＝f[g（x）]的奇偶性.
【答案】∵f（x），g（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（－x）＋g（－x）＝－f（x）－g（x）＝－[f（x）＋g（x）]，y＝f（x）＋g（x）是奇函数.
f（－x）g（－x）＝[－f（x）][－g（x）]＝f（x）g（x），y＝f（x）g（x）是偶函数.
f[g（－x）]＝f[－g（x）]＝－f[g（x）]，y＝f[g（x）]是奇函数.。