2018学年高中数学人教B版选修1-2学业分层测评2 回归分

学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A.预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B.解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C.可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D.可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上
【解析】 结合线性回归模型y ＝bx ＋a ＋ε可知，解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上，故选B.
【答案】 B
2.(2016·泰安高二检测)在回归分析中，相关指数r 的绝对值越接近1，说明线性相关程度( )
A.越强
B.越弱
C.可能强也可能弱
D.以上均错
【解析】 ∵r ＝
∴|r |越接近于1时，线性相关程度越强，故选A. 【答案】 A
3.(2016·西安高二检测)已知x 和y 之间的一组数据
则y 与x 的线性回归方程y ＝b x ＋a 必过点( ) A.(2，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 C.(1，2)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，4
【解析】 ∵x －＝14(0＋1＋2＋3)＝32，y －＝14(1＋3＋5＋7)＝4， ∴回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，4.
【答案】 D
4.已知人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数y 的回归方程为y ^
＝0.577x －0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )
【导学号：37820004】
A.一定是20.3%
B.在20.3%附近的可能性比较大
C.无任何参考数据
D.以上解释都无道理
【解析】 将x ＝36代入回归方程得y ^
＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.
【答案】 B
5.某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表所示，根据表中数据可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
＝10.6.据此模型预测广告费用为10万元时的销售额为( )
A.112.1C.111.9万元
D.113.9万元
【解析】 由题表中数据得x －＝3.5，y －＝43.由于回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过点(x －，y －)，且b ^＝10.6，解得a ^＝5.9，
所以线性回归方程为y ^＝10.6x ＋5.9，于是x ＝10时，y ^
＝111.9. 【答案】 C 二、填空题
6.(2016·江西吉安高二检测)已知x ，y 的取值如下表所示，由散点图分析可知y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝0.95x ＋2.6，那么表格中的数据m 的
值为________.
【解析】 x －＝4＝2，y －＝4＝11.3＋m 4，把(x －，
y －
)代入回归方程得11.3＋m 4＝0.95×2＋2.6，解得m ＝6.7.
【答案】 6.7
7.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程是________.
【解析】 由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4，5)，可得5＝a ^＋1.23×4，∴a ^＝0.08，即y ^
＝1.23x ＋0.08.
【答案】 y ^
＝1.23x ＋0.08
8.调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^
＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元.
【解析】 以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^
＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元.
【答案】 0.254 三、解答题
9.(2015·包头高二检测)关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下的统计资料：
(1)线性回归方程；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
【解】 (1) x －＝
2＋3＋4＋5＋65
＝4，
y －＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05
＝5，
于是a ^＝y －－b ^x ＝5－1.23×4＝0.08.
所以线性回归方程为：y ^＝b ^x ＋a ^
＝1.23x ＋0.08. (2)当x ＝10时，y ^
＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元.
10.在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
试建立y 与【解】 作出变量y 与x 之间的散点图如图所示.
由图可知变量y 与x 近似地呈反比例函数关系.
设y ＝k x ，令t ＝1
x ，则y ＝kt .由y 与x 的数据表可得y 与t 的数据表：
作出y 与
由图可知y 与t 呈近似的线性相关关系.
又t －＝1.55，y －
＝7.2，∑5i =1t i y i ＝94.25，∑5
i =1
t 2i ＝21.312 5，
b ^＝∑5
i =1t i y i －5t －y －
∑5i =1
t 2
i －5t －2
＝94.25－5×1.55×7.221.312 5－5×1.552≈4.134 4， a ^＝y －－b ^t －
＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8， ∴y ^
＝4.134 4t ＋0.8.
即y 与x 之间的回归方程为y ^＝4.134 4
x ＋0.8.
[能力提升]
1.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为y ^
＝0.8x －155.则实数m 的值为( )
A.8 C.8.4
D.8.5
【解析】 依题意得x －＝15×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y －＝1
5×(1＋3＋6＋7＋m )＝
17＋m 5，因为回归直线必经过样本点的中心，所以17＋m
5＝
0.8×200－155，解得m ＝8，选A.
【答案】 A
2.(2016·湛江高二检测)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对
父子的身高数据如下：
A.y ＝x －1
B.y ＝x ＋1
C.y ＝88＋1
2x
D.y ＝176
【解析】 因为x －＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y －＝
175＋175＋176＋177＋177
5＝176，而回归方程经过样本中心点，所以排除A ，B ，
又身高的整体变化趋势随x 的增大而增大，排除D ，所以选C.
【答案】 C
3.(2016·大同高二检测)以模型y ＝c e kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝ln y ，其变换后得到线性回归方程z ＝0.3x ＋4，则c ＝________.
【导学号：37820005】
【解析】 由题意得：ln(c e kx )＝0.3x ＋4， ∴ln c ＋kx ＝0.3x ＋4， ∴ln c ＝4，∴c ＝e 4. 【答案】 e 4
4.(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
图1-2-2
(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
【解】 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.
(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程. 由于d ^＝
＝108.8
1.6＝68，
，
所以y 关于w 的线性回归方程为y ^
＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^
＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，
年销售量y 的预报值y ^
＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^
＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^
＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^
取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.。