内蒙古呼和浩特市2019-2020学年中考三诊数学试题含解析

内蒙古呼和浩特市2019-2020学年中考三诊数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．哥哥与弟弟的年龄和是18岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是18岁”．如果现在弟弟的年龄是x 岁，哥哥的年龄是y 岁，下列方程组正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．若二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点，坐标分别是（x 1，0），（x 2，0），且12x x <.
图象上有一点()00M x y ，在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）
A ．0a >
B ．240b ac -≥
C ．102x x x <<
D ．()()01020a x x x x --< 3．下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5个棋子，图②中有10个棋子，图③中有16个棋子，…，则图⑥________中有个棋子( )
A ．31
B ．35
C ．40
D ．50
4．已知点M (－2，3 )在双曲线
上，则下列一定在该双曲线上的是（ ） A ．(3，-2 ) B ．(-2，-3 ) C ．(2，3 ) D ．(3，2)
5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若CD ＝2，AB ＝8，则△ABD 的面积是（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
6．已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）
A ．20cm2
B ．20πcm2
C ．10πcm2
D ．5πcm2
7．实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A ．a+c ＞0
B ．b+c ＞0
C ．ac ＞bc
D ．a ﹣c ＞b ﹣c
8．下列计算正确的是
A ．a 2·a 2＝2a 4
B ．(－a 2)3＝－a 6
C ．3a 2－6a 2＝3a 2
D ．(a －2)2＝a 2－4
9．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P 从点A 出发，在正方形的边上沿A→B→C 的方向运动到点C 停止，设点P 的运动路程为x(cm)，在下列图象中，能表示△ADP 的面积y(cm 2)关于x(cm)的函数关系的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．分式方程()22111x x x -++=1的解为（ ） A ．x=1 B ．x=0 C ．x=﹣23 D ．x=﹣1
11．如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，点P 是»AD 上一点，连接PB 、PC ，若AD=2AB ，则cos ∠BPC 的值为（ ）
A ．5
B ．25
C ．32
D ．35 12．如图，在矩形AOBC 中，O 为坐标原点，OA 、OB 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(0，33)，∠ABO ＝30°，将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为( )
A ．(3233)
B ．(233)
C ．3332)
D ．(32，333) 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．半径是6cm 的圆内接正三角形的边长是_____cm ．
14．某文化用品商店计划同时购进一批A 、B 两种型号的计算器，若购进A 型计算器10只和B 型计算器
8只，共需要资金880元；若购进A 型计算器2只和B 型计算器5只，共需要资金380元．则A 型号的计算器的每只进价为_____元．
15．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠DBC=15°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠A 的度数是 ．
16．已知a ＋b ＝1，那么a 2－b 2＋2b ＝________．
17．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm ），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为__________2cm ．
18．A 、B 两地相距20km ，甲乙两人沿同一条路线从A 地到B 地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h 的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A 地的距离y(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发_____小时后和乙相遇．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1(0)y ax b a =+≠的图象与y 轴相交于点A ，与反比例函数2(0)k y k x
=≠的图象相交于点(3,2)B ，(1,)C n -．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出12y y 时，x 的取值范围；
（3）在y 轴上是否存在点P ，使PAB △为等腰三角形，如果存在，请求点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
20．（6分）如图1，已知直线l ：y=﹣x+2与y 轴交于点A ，抛物线y=（x ﹣1）2+m 也经过点A ，其顶点为B ，将该抛物线沿直线l 平移使顶点B 落在直线l 的点D 处，点D 的横坐标n （n ＞1）．
（1）求点B 的坐标；
（2）平移后的抛物线可以表示为 （用含n 的式子表示）；
（3）若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，且点C 的横坐标为a ．
①请写出a 与n 的函数关系式．
②如图2，连接AC ，CD ，若∠ACD=90°，求a 的值．
21．（6分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
频数频率分布表 成绩x （分）
频数（人） 频率 50≤x ＜60
10 0.05 60≤x ＜70
30 0.15 70≤x ＜80
40 n 80≤x ＜90
m 0.35 90≤x≤100 50 0.25
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m= ，n= ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）这200名学生成绩的中位数会落在 分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成绩是“优”等的约有多少人？
22．（8分）观察下列等式：
第1个等式：a 1=212
=+-1， 第2个等式：a 2=3223
=-+， 第3个等式：a 3=32
+=2-3， 第4个等式：a 4=525
=+-2， …
按上述规律,回答以下问题：请写出第n 个等式：a n =__________.a 1+a 2+a 3+…+a n =_________.
23．（8分）如图，已知⊙O 的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．求证：DE 是⊙O 的切线．求DE 的长．
24．（10分）如图，点A ，C ，B ，D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A=∠F ，AB=FD ，求证：AE=FC ．
25．（10分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=3
4
x+b都与双曲线y=
k
x
交于点A（1，m），这两条直线分别与x
轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
26．（12分）先化简，再求值：
2
2
1
1
1
m
m m
⎛⎫
⋅-
⎪
-⎝⎭
，其中m＝2.
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动.若P、Q同时出发运动时间为t(s).
（1）t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
试题解析：设现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，由题意得
．
故选D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组
2．D
【解析】
【分析】
根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．
【详解】
A、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；
B、∵x1＜x2，
∴△=b2-4ac＞0，故本选项错误；
C、若a＞0，则x1＜x0＜x2，
若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；
D、若a＞0，则x0-x1＞0，x0-x2＜0，
所以，（x0-x1）（x0-x2）＜0，
∴a（x0-x1）（x0-x2）＜0，
若a＜0，则（x0-x1）与（x0-x2）同号，
∴a（x0-x1）（x0-x2）＜0，
综上所述，a（x0-x1）（x0-x2）＜0正确，故本选项正确．
3．C
【解析】
【分析】
根据题意得出第n个图形中棋子数为1+2+3+…+n+1+2n，据此可得．
【详解】
解：∵图1中棋子有5=1+2+1×2个，
图2中棋子有10=1+2+3+2×2个，
图3中棋子有16=1+2+3+4+3×2个，
…
∴图6中棋子有1+2+3+4+5+6+7+6×2=40个，
故选C ．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
4．A
【解析】
因为点M （-2，3）在双曲线
上，所以xy=（-2）×
3=-6，四个答案中只有A 符合条件．故选A 5．B
【解析】
分析：过点D 作DE ⊥AB 于E ，先求出CD 的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD=2，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
详解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，
∵AB=8，CD=2，
∵AD 是∠BAC 的角平分线,90C ，∠=︒
∴DE=CD=2，
∴△ABD 的面积11828.22
AB DE =
⋅=⨯⨯= 故选B.
点睛：考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等.
6．C
【解析】
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷
2，把相应数值代入,圆锥的侧面积=2π×2×5÷2=10π． 故答案为C
7．D
【解析】
分析：根据图示，可得：c<b<0<a,c a b >>,据此逐项判定即可.
详解： ∵c ＜0＜a ，|c|＞|a|，
∴a+c ＜0，
∴选项A 不符合题意；
∵c＜b＜0，
∴b+c＜0，
∴选项B不符合题意；
∵c＜b＜0＜a，c＜0，
∴ac＜0，bc＞0，
∴ac＜bc，
∴选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴a﹣c＞b﹣c，
∴选项D符合题意．
故选D．
点睛：此题考查了数轴，考查了有理数的大小比较关系，考查了不等关系与不等式.熟记有理数大小比较法则，即正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数.
8．B
【解析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式逐项进行计算即可得. 【详解】A. a2·a2＝a4，故A选项错误；
B. (－a2)3＝－a6，正确；
C. 3a2－6a2＝-3a2，故C选项错误；
D. (a－2)2＝a2－4a+4，故D选项错误，
故选B.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
9．B
【解析】
【分析】
△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．
【详解】
解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y＝1
2
×2x＝x，
当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y＝1
2
×2×2＝2，
符合题意的函数关系的图象是B；
故选B ．
【点睛】
本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．
10．C
【解析】
【分析】
首先找出分式的最简公分母，进而去分母，再解分式方程即可．
【详解】
解：去分母得：
x 2-x-1=（x+1）2，
整理得：-3x-2=0，
解得：x=-
23
， 检验：当x=-23
时，（x+1）2≠0， 故x=-23是原方程的根． 故选C ．
【点睛】
此题主要考查了解分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．
11．A
【解析】
【分析】
连接BD ，根据圆周角定理可得cos ∠BDC=cos ∠BPC ，又BD 为直径，则∠BCD=90°，设DC 为x ，则
BC 为2x ，根据勾股定理可得，再根据cos ∠BDC=
DC
BD ，即可得出结论. 【详解】
连接BD ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴BD 过圆心O ，
∵∠BDC=∠BPC （圆周角定理）
∴cos ∠BDC=cos ∠BPC
∵BD 为直径，
∴∠BCD=90°，
∵DC BC =12, ∴设DC 为x ， 则BC 为2x ， ∴BD=22DC BC +=()222x x +=5x ，
∴cos ∠BDC=DC BD
=5x x =55， ∵cos ∠BDC=cos ∠BPC ，
∴cos ∠BPC=
55
. 故答案选A.
【点睛】
本题考查了圆周角定理与勾股定理，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与勾股定理的应用.
12．A
【解析】
解：∵四边形AOBC 是矩形，∠ABO=10°，点B 的坐标为（0，33），∴AC=OB=33，∠CAB=10°，∴BC=AC•tan10°=33×33
=1．∵将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，∴∠BAD=10°，AD=33．过点D 作DM ⊥x 轴于点M ，∵∠CAB=∠BAD=10°，∴∠DAM=10°，∴DM=12AD=332，∴AM=33×cos10°=92，∴MO=92﹣1=32，∴点D 的坐标为（32，33）．故选A ．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．63
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，作出辅助线，利用垂径定理及等边三角形的性质解答即可．【详解】
如图所示，OB=OA=6，
∵△ABC是正三角形，
由于正三角形的中心就是圆的圆心，
且正三角形三线合一，
所以BO是∠ABC的平分线；
∠OBD=60°×1
2
=30°，
BD=cos30°×6=6×
3
2
3
根据垂径定理，BC=2×3，
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，正三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键，根据圆的内接正三角形的特点，求出内心到每个顶点的距离，可求出内接正三角形的边长．
14．40
【解析】
【分析】
设A型号的计算器的每只进价为x元，B型号的计算器的每只进价为y元，根据“若购进A型计算器10只和B型计算器8只，共需要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金380元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
设A型号的计算器的每只进价为x元，B型号的计算器的每只进价为y元，
根据题意得：
108880 {
25380
x y
x y
+=
+=
，
解得：40
{60x y ==．
答：A 型号的计算器的每只进价为40元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15．50°．
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD ，根据等边对等角可得∠A=∠ABD ，然后表示出∠ABC ，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC ，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可：
【详解】
∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AD="BD." ∴∠A=∠ABD.
∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°
. ∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=∠A+15°.
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为50°．
16．1
【解析】
【详解】
解：∵a+b=1，
∴原式=()()()2122 1.a b a b b a b b a b b a b +-+=⨯-+=-+=+=
故答案为1.
【点睛】
本题考查的是平方差公式的灵活运用.
17．16π
【解析】
分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．
详解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥； 根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm ，底面半径为2cm ，
故表面积=πrl+πr 2=π×2×6+π×22=16π（cm 2）．
故答案为：16π．
点睛：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 18．165
【解析】
【分析】
由图象得出解析式后联立方程组解答即可．
【详解】
由图象可得：y 甲=4t （0≤t≤5）；y 乙=()()2112916(24)t t t t ＜⎧-≤≤⎨-≤⎩
； 由方程组4916y t y t ⎧⎨
-⎩＝＝，解得t=165． 故答案为165
． 【点睛】
此题考查一次函数的应用，关键是由图象得出解析式解答．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）24y x =-； 6y x
=；（2）10x -<<或3x >；（3
）存在，(0,4P -+
或(0,4P --或(0,8)P 或10,4P ⎛⎫- ⎪⎝
⎭． 【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C 坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）利用图象直接得出结论；
（3）分BP BA =、BP BA =、PA PB =三种情况讨论，即可得出结论．
【详解】
（1）Q 一次函数1y ax b =+与反比例函数k y x
=，相交于点(3,2)B ，(1,)C n -， ∴把(3,2)B 代入k y x
=得：23k =， ∴6k =， ∴反比例函数解析式为6y x
=，
把(1,)C n -代入6y x =得：61
n =-， ∴6n =-， ∴点C 的坐标为(1,6)--，
把(3,2)B ，(1,6)C --代入y ax b =+得：23k b b k b
=+⎧⎨-=-+⎩， 解得：24k b =⎧⎨=-⎩
， ∴一次函数解析式为24y x =-；
（2）根据函数图像可知：
当10x -<<或3x >时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴当10x -<<或3x >时，12y y >；
（3）存在(0,435)P -+或(0,435)P --或(0,8)P 或10,4P ⎛⎫-
⎪⎝⎭
时，PAB △为等腰三角形，理由如下： 过B 作BD y ⊥轴，交y 轴于D ，
∵直线124y x =-与y 轴交于点A ，
∴令0x =得，4y =-，
∴点A 的坐标为(0,4)-，
∵点B 的坐标为(3,2)B ，
∴点D 的坐标为(0,2)D ，
∴22(30)(24)AB =-++2236=+35=
①当AP AB =时，则35AP =
(0,4)A -Q ，
∴点P 的坐标为：1(0,435)P -+、2(0,435)
P --； ②当BP BA =时，
BAP Q △是等腰三角形，BD AP ⊥，
BD ∴平分AP ，
2(4)6DA DP ∴==--=，
∵点D 的坐标为(0,2)D ，
∴点P 的坐标为(0,26)+，即3(0,8)P ；
③当PA PB =时，如图：
设PA PB x ==，
则6DP DA PA x =-=-，
Q 在Rt BDO △中，3DB =，6DP x =-，PB x =，
∴由勾股定理得：
222PB DB DP =+，
2223(6)x x =+-，
解得：154
x =， (0,4)A -Q ，
∴点P 的坐标为150,44⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭，即410,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 综上所述，当(0,435)P -+或(0,435)P --或(0,8)P 或10,4P ⎛⎫-
⎪⎝⎭
时，PAB △为等腰三角形． 【点睛】 本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，利用图象确定函数值满足条件的自变量的范围，等腰
三角形的性质，勾股定理，解（1）的关键是待定系数法的应用，解（2）的关键是利用函数图象确定x 的范围，解（3）的关键是分类讨论．
20．（1）B （1，1）；（2）y=（x ﹣n ）2+2﹣n ．（3）a=2n ；a=2+1. 【解析】
【分析】
1) 首先求得点A 的坐标, 再求得点B 的坐标, 用h 表示出点D 的坐标后代入直线的解析式即可验证答案。

(2) ①根据两种不同的表示形式得到m 和h 之间的函数关系即可。

②点C 作y 轴的垂线, 垂足为E, 过点D 作DF ⊥CE 于点F, 证得△ACE~△CDF, 然后用m 表示出点C 和点D 的坐标, 根据相似三角形的性质求得m 的值即可。

【详解】
解：（1）当x=0时候，y=﹣x+2=2，
∴A （0，2），
把A （0，2）代入y=（x ﹣1）2+m ，得1+m=2
∴m=1．
∴y=（x ﹣1）2+1，
∴B （1，1）
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=（x ﹣1）2+1，
∵∵D （n ，2﹣n ），
∴则平移后抛物线的解析式为：y=（x ﹣n ）2+2﹣n ．
故答案是：y=（x ﹣n ）2+2﹣n ．
（3）①∵C 是两个抛物线的交点，
∴点C 的纵坐标可以表示为：
（a ﹣1）2+1或（a ﹣n ）2﹣n+2
由题意得（a ﹣1）2+1=（a ﹣n ）2﹣n+2，
整理得2an ﹣2a=n 2﹣n
∵n ＞1
∴a==． ②过点C 作y 轴的垂线，垂足为E ，过点D 作DF ⊥CE 于点F
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠CDF
又∵∠AEC=∠DFC
∴△ACE ∽△CDF
∴=．
又∵C（a，a2﹣2a+2），D（2a，2﹣2a），
∴AE=a2﹣2a，DF=m2，CE=CF=a
∴=
∴a2﹣2a=1
解得：a=±+1
∵n＞1
∴a=＞
∴a=+1
【点睛】本题主要考查二次函数的应用和相似三角形的判定与性质，需综合运用
各知识求解。

21．（1）70，0.2；（2）补图见解析；（3）80≤x＜90；（4）750人.
【解析】
分析：（1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得m 的值，用第三组频数除以数据总数可得n的值；
（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；
（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可．
详解：（1）本次调查的总人数为10÷0.05=200，
则m=200×0.35=70，n=40÷200=0.2，
（2）频数分布直方图如图所示，
（3）200名学生成绩的中位数是第100、101个成绩的平均数，而第100、101个数均落在80≤x ＜90， ∴这200名学生成绩的中位数会落在80≤x ＜90分数段，
（4）该校参加本次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有：3000×0.25=750（人）．
点睛：本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了中位数和利用样本估计总体．
22．（1）1n a n n =
++1n n + （211n +．
【解析】
【分析】 （1）根据题意可知，1 2112a ==+，23223a ==+32332
a ==+ 45225a ==+，…由此得出第n 个等式：a n 11
n n n n =+++ （2）将每一个等式化简即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵第1个等式：12112
a ==+， 第2个等式：23223
a ==+ 第3个等式：3 2332
a ==-+ 第4个等式：4 5225
a ==+， ∴第n 个等式：a n 11n n n n =+++
（2）a 1+a 2+a 3+…+a n
=（()()()()()
2-1+3-2+2-3+5-2++n+1n -L =11n +-． 故答案为
11n n n n =+-++；11n +-．
【点睛】 此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 23． (1)详见解析；（2）4.
【解析】
试题分析：（1）连结OD ，由AD 平分∠BAC,OA=OD ，可证得∠ODA=∠DAE,由平行线的性质可得OD ∥AE,再由DE ⊥AC 即可得OE ⊥DE ，即DE 是⊙O 的切线；（2）过点O 作OF ⊥AC 于点F ，由垂径定理可得AF=CF=3，再由勾股定理求得OF=4，再判定四边形OFED 是矩形，即可得DE=OF=4.
试题解析：
（1）连结OD ，
∵AD 平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAB ，
∵OA=OD ，
∴∠ODA=∠DAO,
∴∠ODA=∠DAE,
∴OD ∥AE,
∵DE ⊥AC
∴OE ⊥DE
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）过点O 作OF ⊥AC 于点F ，
∴AF=CF=3，
∴OF=
, ∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE=OF=4.
考点：切线的判定；垂径定理；勾股定理；矩形的判定及性质.
24．证明见解析.
【解析】
由已知条件BE∥DF，可得出∠ABE=∠D，再利用ASA证明△ABE≌△FDC即可．
证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D，
在△ABE和△FDC中，
∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴AE=FC．
“点睛”此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．
25．（1）
3
y
x
；（2）x＞1；（3）P（﹣
5
4
，0）或（
9
4
，0）
【解析】
分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=k
x
，可得y与x之间的函数关系式；
（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的解集为x＞1；
（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=1
4
BC=
7
4
，或BP=
1
4
BC=
7
4
，
即可得到OP=3﹣7
4
=
5
4
，或OP=4﹣
7
4
=
9
4
，进而得出点P的坐标．
详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=k
x
，可得k=1×3=3，
∴y与x之间的函数关系式为：y=3
x
；
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的解集为：x＞1；
（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=3
4
x+b，可得3=
3
4
+b，
∴b=9
4
，
∴y 2=34x+94， 令y 2=0，则x=﹣3，即C （﹣3，0），
∴BC=7，
∵AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，
∴CP=
14BC=74，或BP=14BC=74
∴OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94
， ∴P （﹣54，0）或（94，0）． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
26．1m m
-+，原式23=-. 【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m 的值代入计算即可求出值.
【详解】
原式()()21111m m m m m m
m -⋅=-+-+， 当m ＝2时，原式23=-
. 【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
27．（1）t ＝
154秒；（1）t ＝5﹣5（s ）
． 【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理列式求出 AB ，再表示出 AP 、AQ ，然后分∠APQ 和∠AQP 是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（1）过点 P 作 PC ⊥OA 于 C ，利用∠OAB 的正弦求出 PC ，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵点 A （0，6），B （8，0），
∴AO ＝6，BO ＝8，
∴AB ＝ ＝＝10，
∵点P的速度是每秒1个单位，点Q 的速度是每秒1个单位，
∴AQ＝t，AP＝10﹣t，
①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，
∴，
即，
解得t＝＞6，舍去；
②∠AQP 是直角时，△AQP∽△AOB，
∴，
即，
解得t＝，
综上所述，t＝秒时，△APQ 与△AOB相似；
（1）如图，过点P 作PC⊥OA 于点C，
则PC＝AP•sin∠OAB＝（10﹣t）×＝（10﹣t），
∴△APQ的面积＝×t×（10﹣t）＝8，
整理，得：t1﹣10t+10＝0，
解得：t＝5+＞6（舍去），或t＝5﹣，
故当t＝55s）时，△APQ的面积为8cm1．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，分类讨论是解题的关键．。