2022年安徽省淮北市中考数学一模试题及答案解析

2022年安徽省淮北市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −3
2
的相反数是( )
A. −2
3B. 2
3
C. 3
2
D. −3
2
2. 2022年北京冬奥会是至今为止收视率最高的冬奥会！在全球社交媒体上吸引人数超20亿，其中20亿用科学记数法表示为( )
A. 2×109
B. 20×107
C. 2×108
D. 0.2×1010
3. 下列各式中正确的是( )
A. (x2)3=x5
B. x2(−x)3=−x5
C. (xy2)3=xy6
D. x6÷x3=x2
4. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，直线AB//CD，AE⊥CE，∠BAE=38°，则∠DCE等于( )
A. 38°
B. 42°
C. 52°
D. 62°
6. 学习互助小组5个同学，某一天在课堂上的发言次数分别为6、7，8，9，10，关于这组
数据，下列说法正确的是( )
A. 平均数是7
B. 众数是8
C. 中位数是9
D. 方差是2
7. 如图，直线y=−x+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB= 2AD，曲线y=k
在第一象限经过C，D两点，则k的值是( )
x
A. 3
B. 6
C. 8
D. 24
8. 在△ABC中，AB=6，AC=8，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，交BC于点D，则AD的长等于( )
A. 20
√3 B. 3√3 C. 247√3 D. 7
7
9. 已知，a，b，5分别是等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程x2−8x+k+ 3=0的两个根，则k的值等于( )
A. 12
B. −13
C. 12或−13
D. 12或13
10. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AC=8，⊙O是△ABC的内切圆，分别与△ABC三边相切于点D，E，F，设AD=x，△ABC的面积为S，则S关于x的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 分解因式：2a3−4a2b+2ab2=______ ．
12. 不等式组{x −2>1
x+1
2
<3的解集是______．
13. 如图，已知等边△ABC的边长为2，以AB为直径的⊙O与△ABC的边AC，BC分别相交于D，E两点，则扇形DOE的面积是______．
14. 已知，抛物线y=−x2+(b+6)x+c，其中b，c为实数．
(1)若抛物线经过点P(1,b)，则c=______；
(2)在(1)的条件下，过点P作PA垂直y轴于点A，交抛物线y=−x2+(b+6)x+c于另一点B，点B在点A的右侧，若AB=3PA，则抛物线上的点到x轴的最小距离是______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
15. 计算：√9−|−2|×(1
2
)−2．
四、解答题（本大题共8小题，共82.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？”请问此问题中的绳长、井深各是多少尺？
17. (本小题8.0分)
观察下列等式：
第1个等式：a1=1
1×5=1
4
×(1
1
−1
5
)，
第2个等式：a2=1
5×9=1
4
×(1
5
−1
9
)，
第3个等式：a3=1
9×13=1
4
×(1
9
−1
13
)，
…
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：a5=______=______．
(2)用含有n的代数式表示第n个等式：a n=______=______.(n为正整数)
(3)求a1+a2+a3+⋯…+a2022的值．
18. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(2,2)、C(3,5)．
(1)请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A2B2C2．
19. (本小题10.0分)
某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．(结果精确到0.1米，√3≈1.732)
20. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，过点A，C，D作⊙O，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，连接FA，FE，FC．
求证：(1)四边形DBCF是平行四边形；
(2)AF=EF．
21. (本小题12.0分)
九(1)班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类别，每位同学仅选一项．根据调査结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别频数(人数)频率
小说a0.5
戏剧4
散文100.25
其他6
合计b1
根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)直接写出：a=______.b=______m=______；
(2)在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请求选取的2人恰好是甲和乙的概率．
22. (本小题12.0分)
在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+2(a,b是常数且a≠0)．
(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,2)两点，求函数y=ax2+bx+2的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
(2)写出一组a，b的值，使函数y=ax2+bx+2的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理
由；
(3)已知a=b=−1，当x=m，n(m,n是实数)时，该函数对应的函数值分别为M，N，若m+ n=2，求M+N的最大值．
23. (本小题14.0分)
如图(1)，已知：在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE=DF，AE，AF分别交BD于点G，H．
(1)求证：△ABG≌△ADH；
(2)连接FE，如图(2)，当EF=BG时，
①求证：EF//BG；
②求DF
的值．
CF
答案和解析1.【答案】C
【解析】解：根据概念，−3
2的相反数是−(−3
2
)，即3
2
．
故选：C．
根据相反数的概念，即一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】A
【解析】解：20亿=2000000000=2×109．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：A选项，原式=x6，故该选项不符合题意；
B选项，原式=x2⋅(−x3)=−x5，故该选项符合题意；
C选项，原式=x3y6，故该选项不符合题意；
D选项，原式=x3，故该选项不符合题意；
故选：B．
根据幂的乘方判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据同底数幂的除法判断D选项．
本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握(a m)n=a mn是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：从上边看从上边看第一层是一个小正方形，第二层是第一层正上一个小正方形，右边一个小正方形，
故选：D．
根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形．
5.【答案】C
【解析】解：如图，过点E作EF//AB，
∴∠AEF=∠BAE=38°，(两直线平行内错角相等)，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
∴∠CEF=90°−∠AEF=52°，
∵AB//CD(已知)，
∴CD//EF(平行于同一直线的两条直线平行)，
∴∠DCE=∠CEF=52°，
故选：C．
如图，过点E作EF//AB，利用平行公理，垂直的定义以及平行线的性质即可解决问题．
本题考查平行线的性质以及垂线，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】D
【解析】解：将数据重新排列为6、7，8，9，10，
则这组数的众数为6、7，8，9，10，
中位数为8，
=8，
平均数为6+7+8+9+10,
5
×[(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=2，
方差为1
5
故选：D．
根据方差、众数、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．
本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，解题的关键是牢记概念及公式．
7.【答案】A
【解析】解：作DH⊥x轴于H，
将y=0代入直线y=−x+2得−x+2=0，
解得：x=2．
∴点A的坐标为(2,0)．
将x=0代入直线y=−x+2得；y=2，
∴点B的坐标为(0,2)，
∴OA=2，OB=2，
∵∠BAD=90°，
∴∠DAH+∠BAO=90°．
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAH=∠ABO．
又∵∠DHA=∠BOA=90°，
∴△ADH∽△BAO，
∴DH AO =AH
BO
=AD
AB
=1
2
，即DH
2
=AH
2
=1
2
．
∴DH=AH=1．
∴点D的坐标为(3,1)．
∵曲线y=k
x
在第一象限经过D点，
∴k=3×1=3，
故选：A．
将y=0，x=0分别代入直线的解析式，然后解得x、y的值，从而可求得点A、B的坐标，通过证得△ADH∽△BAO，求得DH=AH=1，从而得到点D的坐标为(3,1)，进而即可求得k的值．
本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质、一次函数与坐标轴的交点、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质求得D点的坐标是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：过B点作BH⊥AC于H，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，
∵AB=6，∠BAC=60°，
∴BH=3√3，
∴S△ABC=1
2BH⋅AC=1
2
×3√3×8=12√3，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，∠DAE=30°，
∵S△ABC=1
2AB⋅DE+1
2
AC⋅DF=12√3，
∴3DE+4DF=12√3，
∴DE=12
7
√3，
∴AD=2DE=24
7
√3，
故选：C．
过B点作BH⊥AC于H，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，证出DE=DF，∠DAE=30°，根据
S△ABC=1
2AB⋅DE+1
2
AC⋅DF=12√3，可求出DE的长，由直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了角平分线的性质，勾股定理，直角三角形的性质．利用面积法求线段的长是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：当a=b时，
根据题意得Δ=(−8)2−4×(k+3)=0，
解得k=13，
此时方程为x2−8x+16=0，
解得a=b=4，符合题意；
当a=5或b=5，
把x=5代入方程x2−8x+k+3=0得25−40+k+3=0，
解得k=12，
此时方程为x2−8x+15=0，
解得a=5，b=3或a=3，b=5，符合题意，
综上所述，k的值为12或13．
故选：D．
当a=b时，利用根的判别式的意义得到Δ=(−8)2−4×(k+3)=0，解得k=13，此时a=b=4，符合题意；当a=5或b=5，把x=5代入方程x2−8x+k+3=0解得k=12，解得a=5，b=3或a=3，b=5，符合题意．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
10.【答案】A
【解析】解：连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r，
∵△ABC的内切圆O，分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，AF=AD=x，CE=CF=8−x，
易得四边形ODBE为正方形，
∴DB=BE=OD=r，
∵S=1
2r(AB+CB+AC)=1
2
r(x+r+r+8−x+8)=r2+8r，
∵AB2+BC2=AC2，
∴(x+r)2+(8−x+r)2=82，
∴r2+8r=−x2+8x
∴S=−x2+8x
=−(x−4)2+16(0<x<8)．
故选：A．
连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r，利用切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，AF=AD=x，CE=CF=10−x，利用四边形ODBE为正方形得到DB=BE=OD=r，根据三角形面积公式得
到S=1
2
r(AB+CB+AC)=r2+10r，再根据勾股定理得到(x+r)2+(10−x+r)2=102，则
r2+10r=−x2+10x，所以S=−x2+10x，从而可对各选项进行判断．
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质．
11.【答案】2a(a−b)2
【解析】解：原式=2a(a2−2ab+b2)=2a(a−b)2
故答案为：2a(a−b)2
根据因式分解的方法即可求出答案．
本题考查因式分解，涉及提取公因式，完全平方公式，属于基础题型．
12.【答案】3<x<5
【解析】解：解不等式x−2>1，得：x>3，
<3，得：x<5，
解不等式x+1
2
则不等式组的解集为3<x<5，
故答案为：3<x<5．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】π
6
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
同理∠BOE=60°，
∴∠DOE=60°，
∵AB为⊙O的直径，等边△ABC的边长为2，
∴⊙O 的半径为1，
∴扇形DOE 的面积为60π×12360=π6． 故答案为：π6．
求出△ADO 是等边三角形，求出∠AOD =60°，同理∠BOE =60°，求出∠DOE =60°，利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查扇形的面积，等边三角形的性质，解题的关键是求出∠DOE =60°．
14.【答案】−5 1
【解析】解：(1)将(1,b)代入y =−x 2+(b +6)x +c 得b =−1+b +6+c ，
解得c =−5，
故答案为：−5．
(2)∵PA =1，
∴AB =3PA =3，
∴抛物线经过(1,b)，(3,b)，
∴抛物线对称轴为直线x =−b −2
=2， 解得b =4，
∴y =−x 2+4x −5=−(x −2)2−1，
∴抛物线顶点坐标为(2,−1)，开口向下，
∴抛物线顶点到x 轴的最小距离为1，
故答案为：1．
(1)将(1,b)代入解析式求解．
(2)由AB =3PA ，可得点B 坐标，根据抛物线的对称轴可得b 的值，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
15.【答案】解：原式=3−2×4
=3−8
=−5．
【解析】先算乘方和开方，再化简绝对值算乘法，最后算加减．
本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
16.【答案】解：设绳长为x 尺，井深为y 尺，
依题意得：{x =3(y +4)x =4(y +1)
， 解得{x =36y =8
， 答：绳长为36尺，井深为8尺．
【解析】设绳长为x 尺，井深为y 尺，由题意：把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题看出来二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17.【答案】解：(1)第5个等式为：a 5=117×21=14×(117−121)，
故答案为：117×21；14×(117−121
)； (2)∵第1个等式：a 1=11×5
=14×(11−15)， 第2个等式：a 2=15×9
=14×(15−19)， 第3个等式：a 3=19×13
=14×(19−113)， …
∴第n 个等式为：a n =1(4n−3)(4n+1)=14(14n−3−14n+1)，
故答案为：1(4n−3)(4n+1)；14(14n−3−14n+1
)； (3)原式=11×5+15×9+19×13+⋯+18085×8089 =
14×(1−15+15−19+19−113+...+18085−18089
) =14×(1−18089
) =14×80888089 =20228089．
【解析】(1)根据所给的等式的形式进行求解即可；
(2)分析所给的等式的形式进行总结即可；
(3)利用(2)中的规律求解即可．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−旋转变换，轴对称变换等知识，解题关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
19.【答案】解：设PC=x米．
在直角△APC中，∠A=45°，
则AC=PC=x米；
∵∠PBC=60°
∴∠BPC=30°
在直角△BPC中，BC=√3
3PC=√3
3
x米，
∵AB=AC−BC=60米，
则x−√3
3
x=60，
解得：x=90+30√3，则BC=(30√3+30)米．
在Rt△BCQ中，QC=√3
3BC=√3
3
(30√3+30)=(30+10√3)米．
∴PQ=PC−QC=90+30√3−(30+10√3)=60+20√3≈94.6(米)．
答：电线杆PQ的高度约是94.6米．
【解析】设PC=x米，在直角△APC和直角△BPC中，根据三角函数用x表示出AC和BC，根据AB= AC−BC即可列出方程求得x的值，再在直角△BQC中利用三角函数求得QC的长，则PQ的长度即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角的问题，仰角的定义，以及三角函数，正确求得PC的长度是关键．
20.【答案】证明：(1)∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B，
∵DF//BC，
∴∠ADF=∠B，
又∠BAC=∠CFD，
∴∠ADF=∠CFD，
∴BD//CF，
∴四边形DBCF是平行四边形．
(2)如图，连接AE，
∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF，
∴∠AEF=∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF=180°，
∵BD//CF，
∴∠ECF+∠B=180°，
∴∠EAF=∠B，
∴∠AEF=∠EAF，
∴AF=EF．
【解析】(1)结合等腰三角形的性质，平行线的性质可得∠ADF=∠CFD，即可证明BD//CF，利用平行四边形的定义可判定结论；
(2)连接AE，易得∠AEF=∠B，利用圆内接四边形的性质可得∠ECF+∠EAF=180°，再由平行线的性质可得∠AEF=∠EAF，进而可求解．
本题主要考查平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
21.【答案】(1)20，40，15；
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中恰好是甲和乙的只有2种，
所以选取的2人恰好是甲和乙的概率=2
12=1
6
.
【解析】解：(1)∵被调查的总人数b=10÷0.25=40(人)，
∴a=40×0.5=20，m%=6
40
×100%=15%，即m=15，故答案为：20、40、15；
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中恰好是甲和乙的只有2种，
所以选取的2人恰好是甲和乙的概率=2
12=1
6
．
(1)先由散文对应的频数及其频率可得总人数b，再用总人数乘以小数对应频率求得其人数a，用其
他人数除以总人数可得m 的值；
(2)利用树状图法展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好是甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比
22.【答案】解：(1)把点(1,0)和(2,2)代入得：
{a +b +2=04a +2b +2=2
， 解得：{a =2b =−4
， ∴抛物线的解析式为y =2x 2−4x +2，
∵y =2x 2−4x +2=2(x −1)2，
∴该函数图象的顶点坐标是(1,0)；
(2)例如a =1，b =3，此时y =x 2+3x +2；
∵b 2−4ac =1>0，
∴函数y =x 2+3x +2图象与x 轴有两个不同的交点；
(3)∵a =b =−1，
∴y =−x 2−x +2．
由题意得：M =−m 2−m +2，N =−n 2−n +2，
∵m +n =2，
∴m =2−n ．
∴M +N =−m 2−m +2−n 2−n +2
=−m 2−n 2+2
=−(2−n)2−n 2+2
=−2n 2+4n −2
=−2(n −1)2，
∵−2<0，
∴当n =1时，M +N 的最大值为0．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，利用配方法即可求得顶点坐标；
(2)写出a，b的值后，说明Δ>0即可；
(3)将a=b=−1代入抛物线的解析式，分别计算M，N的值，将m=2−n代入并整理，利用配方法根据二次函数的性质即可求得结论．
本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线上点的坐标的特征，配方法求函数的极值，待定系数法和配方法是解决此类问题常用的方法．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠ABG=1
2∠ABE，∠ADH=1
2
∠ADF，
∴∠ABG=∠ADH，
在△ABG和△ADH中，
{∠BAE=∠DAF AB=AD
∠ABG=∠ADH
，
∴△ABG≌△ADH(ASA)．
(2)①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=DC，
∵BE=DF，
∴CE=CF，
∴CE CB =CF
CD
，
∵∠ECF=∠BCD，
∴△ECF∽△BCD，
∴∠DBC=∠FEC，
∴EF//BG．
②解：如图，连接GF，
∵EF=BG，EF//BG，
∴四边形GBEF是平行四边形，∴GF//BE，
∵CE//AD，
∴CE//GF//AD，
∴DF CF =AG
EG
，
∵BE//AD，
∴△GDA∽△GBE，
∴AD EB =AG
EG
，
∴DF CF =AD
EB
，
设菱形ABCD的边长为a，CF=x，则DF=BE=a−x，
∴a−x
x =a
a−x
，
∴x=3−√5
2a(x=3+√5
2
a，舍去)，
∴CF=3−√5
2a，DF=√5−1
2
a，
∴DF CF =√5−1
3−√5
=√5+1
2
．
【解析】(1)由菱形的性质可得AB=AD，∠ABE=∠ADF，证明△ABE≌△ADF(SAS)，所以∠BAE=∠DAF，由菱形的性质可知，∠ABG=∠ADH，所以△ABG≌△ADH(ASA)．
(2)①由菱形的性质可知，BC=DC，所以BE=DF，所以CE=CF，所以CE
CB =CF
CD
，由此可证明
△ECF∽△BCD，所以∠DBC=∠FEC，由同位角相等两直线平行可知，EF//BG．
②连接GF，由①可知，四边形GBEF是平行四边形，所以CE//GF//AD，所以DF
CF =AG
EG
，又△GDA∽△
GBE，所以AD
EB =AG
EG
，所以DF
CF
=AD
EB
，设菱形ABCD的边长为a，CF=x，则DF=BE=a−x，所
以a−x
x
=a
a−x
，解之得到x和a的关系，代入比例可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。