2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_2

2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题
（含解析）
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含[选择题（1~12）、填空题（第13题~第16题，共80分）、解答题（第17~22题，共70分）]．本次考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置．3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答．在试卷或草稿纸上作答一律无效．
一、单选题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，，则等于（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】
根据集合并集运算，即可求解.
【详解】，
故选：
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2.等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数诱导公式，化简求值.
【详解】由题意
故选：C
【点睛】本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.
3.已知点，，则与共线的单位向量为（）
A. B.
C. 或
D.
【解析】
【分析】
由题意写出.可设与共线的单位向量，由，即可求解.
【详解】由题意
设与共线的单位向量，
又
解得，
故或
故选：
【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于基础题.
4.已知函数，则等于（）
A. B. C. 3 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
由分段函数代入即可求解
【详解】由题意
故选：
【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.
5.在中，D为边BC上一点，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
D为边BC上的一点，且，D是四等分点，结合
，最后得到答案．
【详解】∵D为边BC上的一点，且，∴D是四等分点，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题.
6.已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求幂函数的表达式，进而求值即可.
【详解】设幂函数f（x）＝xα，
因为幂函数的图象经过点（2，），
所以2α，解得α，
则幂函数的解析式为，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查幂函数的求法，考查函数值的求法及对数运算，属于基础题.
7.已知角的终边过点，则等于（）
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，根据三角函数定义，可知，再将分式上下同除，即可求解.
【详解】由题意，角终边过点
原式
故选：
【点睛】本题考查齐次式求值，属于基础题.
8.求值：（）
A. B. C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，先根据三角函数两角和与差的正弦公式，化简，即可求值.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，三角函数的化简与
求值，考察计算能力，属于中等题型.
9.函数是定义域为，周期为2的函数，且当时，
；已知函数，则函数在区间
内的零点个数为（）
A. 11
B. 13
C. 15
D. 17
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的周期性，作出函数和的图象，观察图像，即可得到两个函数公共点的个数.
【详解】
函数是定义域为，周期为的函数，且当时，；
作出函数的图象如图：
，定义域
在同一直角坐标系内，作出函数的图象如图：
当时，
则
此时
故由图象可知两个图象的交点个数为个.
故选：
【点睛】本题考查函数周期性、对数函数运算，考查函数与方程思想、数形结合思想，综合性较强，有一定难度.
10.平行四边形ABCD中，已知，，，点E，F分别满足，，若，则等于（）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平行四边形法则，将分别利用平行四边形的相邻两边表示，然后利用已知计算向量的数量积，列出方程求解参数.
【详解】
由题意，，
，，
由图知
则
代入，得
解得
故选：
【点睛】考查几何图形中的向量表达，化成同一组基底进行数量积的运算，典型题，考查热点，本题属于中等题型.
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
11.在中，，，若是直角三角形，则k 的值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由题意，若是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.
【详解】若为直角，则即
解得
若为直角，则即
解得
若为直角，则，即
解得
综合可得，的值可能为
故选：
【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.
12.已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确的是（）．
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调增
D. 函数与的图象的所有交点的横坐标之和为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据图像求出函数的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断.
【详解】由函数（其中，，）的图像可得：
，，因此,
,
所以，过点，
因此，又，
所以，
，
当时，，故错；
当时，，故正确；
当，，所以在上单调递增，故正确；
当时，，所以与函数有的交点的横坐标为，，故正确.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13.函数的定义域是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分析，使函数成立需满足真数大于0、分母不为0，然后取交集，即可求解.
【详解】要使函数有意义，需满足且，
得且
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域求法，属于基础题.
14.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数，则的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意先确定函数在上是增函数，再将不等式转化为即可求得的取值范围.
【详解】函数是定义在上的偶函数，且在区间
上是减函数，
函数在区间上是增函数
或
解集为
故答案为：
【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型.
15.若函数的部分图象如图所示，则的值为
_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
由所给函数图像过点,，列式
，利用诱导公式可得.
【详解】由函数图像过点,,得，
，所以，又两点在同一周期，所以，.故答案为4.
【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.
16.矩形ABCD中，，，点P为矩形ABCD内（包括边界）一点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，取中点为，则有，可知求解的范围就是的范围.
【详解】
由题意，取中点为，则有，
，
如图所示，当点与点或者点重合时，取最大值
当点与点重合时，取最小值0
故答案为：
【点睛】本题考查向量计运算，属于基础题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，．
（1）求；
（2）当k为何值时，与垂直？
【答案】（1）4（2）19
【解析】
【分析】
（1）由题意，先求，再求模长；
（2）根据向量垂直，推出数量积为零，求解参数.
【详解】解：（1）因为，所以；
（2）因为，
所以，
解得．
【点睛】本题考查（1）向量模长的求法；（2）垂直关系的向量表示；本题考查转化与化归思想，属于基础题.
18.已知函数．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数恒等变换，化简函数，再求值；
（2）由（1）代入，可知，由角的范围，求出，由组合角，即可求解.
【详解】解：（1）因为
．
所以．
（2）因为，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，
因此，
．
【点睛】本题考查（1）三角函数恒等变换；（2）配凑组合角求值问题；注意角的取值范围，考察计算能力，属于中等题型.
19.已知函数．
（1）若函数在上是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数在上有最大值为3，求实数m的值．【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间上即可；
（2）由题意，分类讨论，当时和当时分别求值，再回代检验是否为最大值.
【详解】解：（1）对于函数，开口向上，对称轴，
当在上单调递增时，，解得，
当在上单调递减时，，解得，
综上，．
（2）由题意，函数在或处取得最大值，
当时，解得，此时3为最小值，不合题意，舍去；当时，解得，此时3为最大值，符合题意．
综上所述，．
【点睛】本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型.
20.如图，半径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中，设．
（1）将十字形的面积S表示为的函数；
（2）求十字形的面积S的最大值．
【答案】（1）（2）．
【解析】
【分析】
（1）由题意，根据三角函数和圆的半径表达，，再计算十字形的面积；
（2）由（1）中十字形面积，根据三角恒等变换，化简函数解析式，即可求解最大值.
【详解】解：（1）由题意，，，
因为，所以．
所以．
即，．
（2）由（1）得：
所以．
答：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查（1）三角函数在几何图形中的应用；（2）三角恒等变换求最值问题；考察计算能力，实际操作能力，综
合性较强，有一定难度.
21.设函数奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）当时，求的值域．
【答案】（1）1（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意，根据奇函数，即可求解；
（2）由（1），将函数化简为，导出
，再根据指数函数有界性，求解的范围，即可求解值域.
【详解】解：（1）因为函数为奇函数，且函数的定义域为，
所以，所以．
证明：函数，其定义域为，
，故为奇函数，
故所求实数的值为1．
（2）因为函数，所以，
又时，，所以，
解得，
故所求函数的值域为．
【点睛】本题考查（1）奇函数定义（2）函数值域求法：反函数法；考查直观想象能力，考查计算能力，技巧性强，有一定难度.
22.如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间．
（1）若函数，，则函数存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由
（2）已知函数，其中且，，．（ⅰ）当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；
（ⅱ）证明：当，时，函数不存在等域区间．【答案】（1）；见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）见解析【解析】
【分析】
（1）由题意，分析等域区间定义，写出函数的等域区间；
（2）（ⅰ）当时，分析函数单调性，分类讨论等域区间，即可求解；
（ⅱ）由题意，根据，，判断函数为减函数，再由反证法，假设函数存在等域区间，推导出矛盾，即可证明不存在等域区间.
【详解】解：（1）函数存在等域区间，如；
（2）已知函数，其中且，，D （ⅰ）当时，
若函数是上的等域函数，
当时，为增函数，
则得，此时．
当时，为减函数，
则，得，不满足条件．
即．
（ⅱ）证明：当，时，，即，
则为减函数，
假设函数存等域区间，
则，
两式作差，
即，
，，，，，
则，
等式不成立，即函数不存在等域区间．
【点睛】本题考查（1）函数新定义概念辨析（2）函数单调性、最值问题分析；考察计算能力，考查分析问题的能力，探究问题本质为单调性对值域的分析，综合性较强，属于难题.
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题
（含解析）
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含[选择题（1~12）、填空题（第13题~第16题，共80分）、解答题（第17~22题，共70分）]．本次考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置．3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答．在试卷或草稿纸上作答一律无效．
一、单选题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，，则等于（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合并集运算，即可求解.
【详解】，
故选：
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2.等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数诱导公式，化简求值.
【详解】由题意
故选：C
【点睛】本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.
3.已知点，，则与共线的单位向量为（）
A. B.
C. 或
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意写出.可设与共线的单位向量，由，即可求解.【详解】由题意
设与共线的单位向量，
又
解得，
故或
故选：
【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于基础题.
4.已知函数，则等于（）
A. B. C. 3 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
由分段函数代入即可求解
【详解】由题意
故选：
【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.
5.在中，D为边BC上一点，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
D为边BC上的一点，且，D是四等分点，结合，最后得到答案．【详解】∵D为边BC上的一点，且，∴D是四等分点，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题.
6.已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求幂函数的表达式，进而求值即可.
【详解】设幂函数f（x）＝xα，
因为幂函数的图象经过点（2，），
所以2α，解得α，
则幂函数的解析式为，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查幂函数的求法，考查函数值的求法及对数运算，属于基础题.
7.已知角的终边过点，则等于（）
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，根据三角函数定义，可知，再将分式上下同除，即可求解.【详解】由题意，角终边过点
原式
故选：
【点睛】本题考查齐次式求值，属于基础题.
8.求值：（）
A. B. C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，先根据三角函数两角和与差的正弦公式，化简，即可求值.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，三角函数的化简与求值，考察计算能力，属于中等题型.
9.函数是定义域为，周期为2的函数，且当时，；已知函数
，则函数在区间内的零点个数为（）
A. 11
B. 13
C. 15
D. 17
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的周期性，作出函数和的图象，观察图像，即可得到两个函数公共点的个数.
【详解】
函数是定义域为，周期为的函数，且当时，；
作出函数的图象如图：
，定义域
在同一直角坐标系内，作出函数的图象如图：
当时，
则
此时
故由图象可知两个图象的交点个数为个.
故选：
【点睛】本题考查函数周期性、对数函数运算，考查函数与方程思想、数形结合思想，综合性较强，有一定难度.
10.平行四边形ABCD中，已知，，，点E，F分别满足
，，若，则等于（）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平行四边形法则，将分别利用平行四边形的相邻两边表示，然后利用已知计算向量的数量积，列出方程求解参数.
【详解】
由题意，，
，，
由图知
则
代入，得
解得
故选：
【点睛】考查几何图形中的向量表达，化成同一组基底进行数量积的运算，典型题，考查热点，本题属于中等题型.
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
11.在中，，，若是直角三角形，则k的值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由题意，若是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.
【详解】若为直角，则即
解得
若为直角，则即
解得
若为直角，则，即
解得
综合可得，的值可能为
故选：
【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.
12.已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确的是（）．
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调增
D. 函数与的图象的所有交点的横坐标之和为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据图像求出函数的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断.【详解】由函数（其中，，）的图像可得：，，因此,
,
所以，过点，
因此，又，
所以，
，
当时，，故错；
当时，，故正确；
当，，所以在上单调递增，故正确；
当时，，所以与函数有的交点的横坐标为，，故正确.
故选：.
【点睛】本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13.函数的定义域是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意分析，使函数成立需满足真数大于0、分母不为0，然后取交集，即可求解.
【详解】要使函数有意义，需满足且，
得且
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域求法，属于基础题.
14.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数，则
的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意先确定函数在上是增函数，再将不等式转化为即可求得
的取值范围.
【详解】函数是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数，
函数在区间上是增函数
或
解集为
故答案为：
【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题，直观想象能力，属于中等题型.
15.若函数的部分图象如图所示，则的值为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
由所给函数图像过点,，列式，利用诱导公式可得.
【详解】由函数图像过点,,得，
，所以，又两点在同一周期，所以，.故答案为4.
【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解
能力，属于基础题.
16.矩形ABCD中，，，点P为矩形ABCD内（包括边界）一点，则
的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，取中点为，则有，可知求解的范围就是的范围.
【详解】
由题意，取中点为，则有，
，
如图所示，当点与点或者点重合时，取最大值
当点与点重合时，取最小值0
故答案为：
【点睛】本题考查向量计运算，属于基础题.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知，．
（1）求；
（2）当k为何值时，与垂直？
【答案】（1）4（2）19
【解析】
【分析】
（1）由题意，先求，再求模长；
（2）根据向量垂直，推出数量积为零，求解参数.
【详解】解：（1）因为，所以；
（2）因为，
所以，
解得．
【点睛】本题考查（1）向量模长的求法；（2）垂直关系的向量表示；本题考查转化与化归思想，属于基础题.
18.已知函数．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数恒等变换，化简函数，再求值；
（2）由（1）代入，可知，由角的范围，求出
，由组合角，即可求解.
【详解】解：（1）因为
．
所以．
（2）因为，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，
因此，
．
【点睛】本题考查（1）三角函数恒等变换；（2）配凑组合角求值问题；注意角的取值范围，考察计算能力，属于中等题型.
19.已知函数．
（1）若函数在上是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数在上有最大值为3，求实数m的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间上即可；
（2）由题意，分类讨论，当时和当时分别求值，再回代检验是否为最大值.
【详解】解：（1）对于函数，开口向上，对称轴，
当在上单调递增时，，解得，
当在上单调递减时，，解得，
综上，．
（2）由题意，函数在或处取得最大值，
当时，解得，此时3为最小值，不合题意，舍去；
当时，解得，此时3为最大值，符合题意．
综上所述，．
【点睛】本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型.
20.如图，半径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中，设．
（1）将十字形的面积S表示为的函数；
（2）求十字形的面积S的最大值．
【答案】（1）（2）．
【解析】
【分析】
（1）由题意，根据三角函数和圆的半径表达，，再计算十字形的面积；
（2）由（1）中十字形面积，根据三角恒等变换，化简函数解析式，即可求解最大值.
【详解】解：（1）由题意，，，
因为，所以．
所以．
即，．
（2）由（1）得：
所以．
答：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查（1）三角函数在几何图形中的应用；（2）三角恒等变换求最值问题；考察计算能力，实际操作能力，综合性较强，有一定难度.
21.设函数奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）当时，求的值域．
【答案】（1）1（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意，根据奇函数，即可求解；
（2）由（1），将函数化简为，导出，再根据指数函数有界性，求解的范围，即可求解值域.
【详解】解：（1）因为函数为奇函数，且函数的定义域为，
所以，所以．
证明：函数，其定义域为，
，故为奇函数，
故所求实数的值为1．
（2）因为函数，所以，
又时，，所以，
解得，
故所求函数的值域为．
【点睛】本题考查（1）奇函数定义（2）函数值域求法：反函数法；考查直观想象能力，考查计算能力，技巧性强，有一定难度.
22.如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间．
（1）若函数，，则函数存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由
（2）已知函数，其中且，，．
（ⅰ）当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；
（ⅱ）证明：当，时，函数不存在等域区间．
【答案】（1）；见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意，分析等域区间定义，写出函数的等域区间；
（2）（ⅰ）当时，分析函数单调性，分类讨论等域区间，即可求解；
（ⅱ）由题意，根据，，判断函数为减函数，再由反证法，假设函数存在等域区间，推导出矛盾，即可证明不存在等域区间.
【详解】解：（1）函数存在等域区间，如；
（2）已知函数，其中且，，D
（ⅰ）当时，
若函数是上的等域函数，
当时，为增函数，
则得，此时．
当时，为减函数，
则，得，不满足条件．
即．
（ⅱ）证明：当，时，，即，
则为减函数，
假设函数存等域区间，
则，
两式作差，
即，
，，，，，
则，
等式不成立，即函数不存在等域区间．
【点睛】本题考查（1）函数新定义概念辨析（2）函数单调性、最值问题分析；考察计算能力，考查分析问题的能力，探究问题本质为单调性对值域的分析，综合性较强，属于难题.。