【解析】北京市海淀区首都师范大学附属中学2019-2020学高一下学期期中考试数学(C)试题

北京首师附中2019-2020学年度第二学期期中考试试题
高一数学C卷13-20班用
一、单选题
1.已知变量,x y满足
430
{1
40
x y
x
x y
-+≤
≥
+-≤
，则x y
-的取值范围是（）
A.
6 [2,]
5 -
B. [2,0]
- C.
6
[0,]
5
D. [2,-1]
-
【答案】A
试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设目标函数z x y
=-，当z x y
=-过点137
(,)
55
A时，目标函数取得最大值，此时最大值为
max
1376
555
z=-=；当z x y
=-过点()
1,3
B时，目标函数取得最小值，此时最小值为
min
132
z=-=-，所以x y
-的取值范围是
6
2,
5
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
，故选A.
考点：简单的线性规划求最值.
2.若实数a，b满足3412
a b
==，则
11
a b
+=（）
A.
1
2
B.
1
5
C.
1
6
D. 1
【答案】D
【分析】
先将指数式化成对数式，求出,a b，再利用换底公式的推论log log1
a b
b a
⋅=以及对数的运算
法则即可求出．
【详解】因为3412a b ==，所以34log 12,log 12a b ==，
121212341111log 3log 4log 1211212
a b log log +=+=+==． 故选D ．
【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、换底公式推论log log 1a b b a ⋅=的应用以及对数的运算法则的应用．
3.已知集合{}
(6)(4)0A x x x =-+<
，{
B x y ==，则A B =I （ ）
A. [1,6)-
B. (1,6)-
C. (4,1]--
D. (4,1)--
【答案】A
()(){}
640A x x x =-+<Q
解得46x -<<，即()46A =-，
{)1B x y ⎡===-+∞⎣，
A B ⋂= [)1,6-
故选A
4.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos b c A =⋅，则ABC V 的形状为 A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C 【分析】
根据题目,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos b c A =⋅可知，利用边化角的方法，将式子化为sin sin cos B C A =，利用三角形的性质将sin B 化为sin()A C +，化简得cos 0C =，推出90C ∠=︒，从而得出ABC V 的形状为直角三角形． 【详解】由题意知，
cos b c A =⋅Q
∴由正弦定理得sin sin cos B C A =
又()B A C p =-+Q
∴sin()sin cos A C C A +=
展开得，sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=
∴sin cos 0A C =
又Q 角A ，B ，C 是三角形的内角
sin 0
cos 0
A C ∴>∴=
又0<C<πQ
2
C π
∴=
综上所述，ABC V 的形状为直角三角形，故答案选C ．
【点睛】本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意A B C π++=的应用．
5.已知二项式2(*)n
x n N
⎛
∈ ⎝
的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，
则3x 的系数为（ ）
A 14 B. 14-
C. 240
D. 240-
【答案】C 【分析】
由二项展开式的通项公式为()
12r
n r
r
r n T C x -+⎛= ⎝
及展开式中第2项与第3项的二项式系
数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r =，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()
12r
n r
r
r n
T C
x -+⎛= ⎝
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：1
2
:2:5n n C C =. 解得：6n =.
所以()
()3
6621
6221r
r n r
r r
r r r n T C x C x
x ---+⎛=-=- ⎪⎝
⎭
令3
632
r -
=，解得：2r =， 所以3x 的系数为()2
262
621240C --=
故选C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．
6.函数2x
241(0)
()2
(0)e x x x f x x ⎧++<⎪
=⎨≥⎪⎩ 的图像上关于原点对称的点有（ ）对 A. 0 B. 2
C. 3
D. 无数个
【答案】B 【分析】
作出函数2x 241(0)()2
(0)e
x x x f x x ⎧++<⎪
=⎨≥⎪⎩的图象如图所示，再作出2241y x x =++关于原点对称的图象，根据交点个数得解.
【详解】作出函数2x 241(0)()2
(0)e
x x x f x x ⎧++<⎪
=⎨≥⎪⎩的图象如图所示，再作出2241y x x =++关于原点对称的图象，记为曲线C .容易发现与曲线C 有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的,A B 就是符合题意的点.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了基本初等函数的图象及其应用，考查了数形结合的思想方法，属于
中档题.解答本题的关键是作出函数()f x 位于y 轴左侧的图象关于原点的对称图象，从而转化为二次函数图象与指数函数图象的交点个数问题，就容易解答了. 作2241y x x =++关于原点对称的图象时，要把握好其三要素开口方向、对称轴和顶点. 7.下列说法错误的是( )
A. 若OD u u u v ＋OE uuu v ＝OM u u u u v ，则OM u u u u v －OE uuu v ＝OD u u u v
B. 若OD u u u v ＋OE uuu v ＝OM u u u u v ，则OM u u u u v -OD u u u v ＝OE uuu v
C. 若OD u u u v
＋OE uuu v
＝OM u u u u v
，则OD u u u v －EO uuu v ＝OM u u u u v
D. 若OD u u u v ＋OE uuu v ＝OM u u u u v ，则DO u u u v ＋EO uuu v ＝OM u u u u v
【答案】D 【分析】
由向量的减法就是向量加法的逆运算判断,A B ，由相反向量的定义判断,C D . 【详解】由向量的减法就是向量加法的逆运算可知,A B 正确； 由相反向量的定义可知OE EO =-u u u v u u u v
，
所以若OD u u u v ＋OE uuu v ＝OM u u u u v ，则OD u u u v －EO uuu v ＝OM u u u u v
，C 正确；
若OD u u u v ＋OE uuu v ＝OM u u u u v
，由相反向量定义知，
DO u u u v ＋EO uuu v ＝OD -u u u v -OE uuu v ＝OD -u u u v （＋OE OM u u u v u u u u v
）=- ，故D 错误，故选D ．
【点睛】本题主要考查向量的运算，以及相反向量的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
8.已知实数,x y 满足40
30
x y y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩
，则1
1y z x -=+的最大值为（ ）
A. 1
B.
12
C.
13
D. 2
【答案】A
分析: 作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．
详解: 作出不等式组对应的平面区域如图，
z 的几何意义是区域内的点到定点P （﹣1，1）的斜率，
由图象知当直线过B （1,3）时，直线斜率最大，此时直线斜率为1， 则1
1
y z x -=
+的最大值为1， 故选A ．
点睛: 本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 9.若1,01a b c >><<，则下列不等式错误的
是（ ） A. c c a b >
B. c c ab ba >
C. log log a b c c >
D.
log log b a a c b c >
【答案】D
试题分析：由题意得,此题比较适合用特殊值法，令
，那么对于A 选项，
正确，B 选项中，可化简为
，即
成立，C 选项，
成立，而对于D 选项，
，不等式不成立，故D 选项错误，综合选D.
考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.特殊值法. 【思路点晴】本题主要考查
是利用指数函数的单调性和对数函数的单调性比较大小问题，
属于难题，此类题目的核心思想就是指数函数比较时，尽量变成同底数幂比较或者是同指数比较，对数函数就是利用换底公式将对数转换成同一个底数下，再利用对数函数的单调性比较大小，但对于具体题目而言，可在其取值范围内，取特殊值（特殊值要方便计算），能够有效地化难为易，大大降低了试题的难度，又快以准地得到答案.
10.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到
()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）
A. 向左平移3π
个单位长度 B. 向左平移12
π
个单位长度 C. 向右平移3
π
个单位长度
D. 向右平移
12
π
个单位长度
【答案】B 【分析】
由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f （x ）的解+析式，再利用y=()sin A x ωϕ+的图象变换规律，得出结论．
【详解】由函数f （x ）=()()sin 0,0,0A x A ωϕωπϕ+>>-<<的部分图象，
可得A=2，∵23
62
T π
ππ
⎛⎫=
--= ⎪⎝⎭，∴T=π，ω=2，f （x ）=2sin （2x+φ）， 将23π⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入得213sin πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵﹣π＜φ＜0， ∴()22226612f x sin x sin x π
ππϕ⎛⎫⎛
⎫=-
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，．
故可将函数y=f （x ）的图象向左平移12
π
个单位长度得到的图象，即为()sin g x A x ω=的图
象， 故选B ．
【点睛】由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+ ()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
二、填空题
11.定义运算(){()
a a
b a b b a b ≤*=>，例如，121*=，
则函数2
()(1)f x x x =*-的最大值为 . 【答案】35
2
-
【详解】
由22151||100x x x x x -+≤-⇔+-≤∴≤≤
1515
x --+≤≤
； 所以21515
,(
)2215
(){1,()
2
15
1,(x x f x x x x x -≤≤-+=-<-+<， 此函数图象如图所示，
12.函数1
()24
x
f x =-的定义域为______． 【答案】[2,2)- 【分析】
根据二次根式及分式成立的条件,即可求得函数的定义域.
【详解】函数1
()24
x f x =
- 所以自变量x 的取值满足240
240x x ⎧-≥⎨-≠⎩
解不等式组可得22x -≤< 即[)2,2x ∈- 故答案为: [)2,2-
【点睛】本题考查了函数定义域的求法,属于基础题.
13.设集合{}
|1,A x x a x R =-<∈，{}|15,B x x x R =<<∈，若A B ≠
⊂，则a 的取值范围为________． 【答案】24a ≤≤. 【分析】
先化简集合A,再根据A B ≠
⊂得到关于a 的不等式求出a 的取值范围. 【详解】由
1x a <－得11x a －－<<，∴11a x a <<－＋，由A B ≠
⊂得11
15
a a ->⎧⎨
+<⎩，∴24a <<． 又当2a ＝时，{}A |13x x <<＝满足A B ≠⊂，4a ＝时，{}|35A x x ＝<<也满足A B ≠
⊂，∴24a ≤≤.
故答案为24a ≤≤
【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和关系运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．
14.已知关于x ，y 的不等式组210020x y x m y -+≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足
0022x y -=，则m 的取值范围是______．
【答案】4
,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点()00,P x y 满足0022x y -=，则平面区域内必存在一个C 点在直线22x y -=的下方，A 在直线是上方，由图象可得m 的取值范围．
【详解】作出x ，y 的不等式组210020x y x m y -+≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
对应的平面如图：
交点C 的坐标为(),2m --， 直线22x y -=的斜率为
12，斜截式方程为1
12
y x =-， 要使平面区域内存在点()00,P x y 满足0022x y -=， 则点(),2C m --必在直线22x y -=的下方，
即1212
m -≤-
-，解得2m ≤，并且A 在直线的上方；(),12A m m --， 可得11212m m -≥--，解得43m ≤， 故m 的取值范围是：4,.3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
故答案为4,.3⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ 【点睛】本题主要考查线性规划的
基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
15.已知函数()()1,421,4x
x f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩
，则f （log 23）＝_____． 【答案】
124
由已知得222(log 3)(log 31)(log 32)f f f =+=+22(log 33)(log 24)f f =+=
122log 24log (24)1()22
-==124= 三、解答题
16.已知函数()412x f x a a
=-+（0a >且1a ≠）是定义在(),-∞+∞上的奇函数. （1）求a 值；
（2）当(]0,1x ∈时， ()22x tf x ≥-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）2 ；（2）0t ≥. 【分析】 （1）根据奇函数的定义，(0)0f =，即可求出a 的值； （2）由（1）得函数()f x 的解+析式，当(]
0,1x ∈ 时，220x +>，将不等式转化为()()221220x x t t -+⋅+-≤.利用换元法：令2x u =，代入上式转化为(]1,2u ∈时，
()2120u t u t -+⋅+-≤恒成立，根据二次函数的图象与性质，即可求出t 的取值范围.
【详解】解：（1）∵()f x 在(),-∞+∞上奇函数，即()()f x f x -=-恒成立，
∴()00f =.即04102a a
-
=⨯+， 解得2a =. （2）由（1）知()22112121
x x x f x -=-=++， 原不等式()22x
tf x ≥-，即为22222x x x t t ⋅-≥-+.即()()221220x x t t -+⋅+-≤. 设2x u =，∵(]0,1x ∈，∴(]1,2u ∈，
∵(]
0,1x ∈时， ()22x tf x ≥-恒成立， ∴(]
1,2u ∈时， ()2120u t u t -+⋅+-≤恒成立， 令函数()()2
12g u u t u t =-+⋅+-,根据二次函数的图象与性质，可得 (1)0(2)0g g ≤⎧⎨≤⎩，即2211120,21220,t t t t ⎧-+⨯+-≤⎨-+⨯+-≤⎩
解得0t ≥.
【点睛】本题考查奇函数的定义与性质，二次函数的图象与性质，考查不等式恒成立含参数的取值范围，考查转化思想和换元法
17.已知集合A={x|3≤x ＜7}，B={x|x 2﹣12x+20＜0}，C={x|x ＜a}．
（1）求A ∪B ；（∁R A ）∩B ；
（2）若A∩C≠∅，求a 的取值范围．
【答案】（1）A ∪B={x|2＜x ＜10}；（C R A ）∩B={x|2＜x ＜3或7≤x ＜10}．（2）a ＞3．
试题分析：（1）先通过解二次不等式化简集合B ，利用并集的定义求出A ∪B ，利用补集的定义求出C R A ，进一步利用交集的定义求出（C R A ）∩B ；
（2）根据交集的定义要使A∩C≠∅，得到a ＞3．
解：（1）B ═{x|x 2﹣12x+20＜0}={x|2＜x ＜10}；
因为A={x|3≤x ＜7}，
所以A ∪B={x|2＜x ＜10}；（1分）
因为A={x|3≤x ＜7}，
所以C R A={x|x ＜3或x≥7}；（1分）
（C R A ）∩B={x|2＜x ＜3或7≤x ＜10}．（1分）
（2）因为A={x|3≤x ＜7}，C={x|x ＜a}．
A∩C≠∅，
所以a ＞3．（2分）
考点：交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．
18.已知函数1
()3sin()126f x x π=+-.
求：（1）函数的最值及相应的x 的值；
（2）函数的最小正周期.
【答案】（1）见解+析（2）4π
试题分析：（1）由11sin()126x π-≤+
≤，可推得143sin()1226x π-≤+-≤，即可求解函数的最值及其相应的x 的值.
（2）利用三角函数的周期公式，即可求解函数()f x 的最小正周期.
试题详细分析：
（1）因为11126sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以13332
6sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以143i 122
6s n x π⎛⎫-≤+-≤ ⎪⎝⎭， 所以()2max f x =，此时
12262x k πππ+=+，即24,3
x k k Z ππ=+∈； 所以()4min f x =-，此时12262x k πππ+=-，即44,3
x k k Z ππ=-∈. （2）函数()f x 的最小正周期24T ππω==. 19.已知向量a v ，b v ，c v ，求作a b c -+v v v 和()
a b c --v v v .
【答案】详见解+析
【分析】
根据向量加减法的三角形法则作图即可.
【详解】由向量加法的三角形法则作图：
r r r
a b c
-+
由向量三角形加减法则作图：
r r r
()
--
a b c
【点睛】本题主要考查了向量加减法的三角形法则，属于中档题.
20.设(1-x)15=a0+ a1x+ a2x2+⋯+ a15x15
求: (1) a1+ a2+ a3+ a4+ ⋯+ a15
(2) a 1+ a 3+ a 5+ ⋯+ a 15
【答案】(1) -1 (2) -214
试题分析：
(1)利用赋值法，令0x =可得01a =，再令1x =即可求得121501a a a a ++=-=-L ；
(2)利用赋值法，令1x =，1x =-，所得的两式做差计算可得14135152a a a a ++++=-L .
试题详细分析：
(1)题中的等式中，令0x =可得：1501a =，即01a =，
令1x =可得：15012150a a a a =+++L ，
据此可得：121501a a a a ++=-=-L .
(2)题中的等式中，令1x =-可得：150123152a a a a a =-+-+-L ，①
令1x =可得：15012150a a a a =+++L ，②
①-②可得：()15
1351522a a a a =-++++L ， 则：14135152a a a a ++++=-L .
点睛：求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为0，1，－1.
21.化简求值
（1）07log 23(9.8)log lg25lg47
+-++
（2）())1210
23170.0272179--⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】（1）
132
；（2）45-. 试题分析：根据实数指数幂和对数的运算公式，即可求解上述各式的值.
试题详细分析：
（1）原式()32
3log 3lg 25421=+⨯++ 3313lg100323222=
++=++=； （2）原式=()()112
2313250.3
719---⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=154910.33-+-=45-。