奉新县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

奉新县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若a=ln2，b=5
，c=
xdx ，则a ，b ，c 的大小关系（ ）
A ．a ＜b ＜c
B B ．b ＜a ＜c
C C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜b ＜a
2． 在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 10+a 11+a 12=78，则此数列前12项和等于（ ） A ．96
B ．108
C ．204
D ．216
3． 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）
A ．24
B ．80
C ．64
D ．240 5． 下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；
④{}0∅⊆,正确的有（ ）个
A.个
B.个
C.个
D.个
6． 将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函
数图象的一条对称轴方程是（ ）
A ．x=π
B ．
C ．
D ．
7． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为1S 、2S 、3S ，则（ ）
A ．123S S S <<
B ．123S S S >>
C ．213S S S <<
D ．213S S S >> 8．
设
、是两个非零向量，则“
（
+）2
=||2
+||2”是
“
⊥”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
9． 过抛物线2
2(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2
2
18
-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）
A ．2y x =
B ．22y x =
C ．24y x =
D ．2
3y x =
【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．
10．已知AC ⊥BC ，AC=BC ，D
满足
=t
+（1﹣t
）
，若∠ACD=60°，则t 的值为（ ）
A
．
B
．
﹣
C
．
﹣1
D
．
11．已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β 12．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}的元素个数为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．9
二、填空题
13．已知A （1，0），
P ，Q
是单位圆上的两动点且满足，
则
+
的最大值为 ．
14
x 和所支出的维修费用y （万元）的统计资料如表：
根据上表数据可得y 与x 之间的线性回归方程=0.7x+
，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修
费用约为 万元．
15．方程（x+y ﹣1）
=0所表示的曲线是 ．
16．设函数()(
)()31
321x a x f x x a x a x π⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，，，若()f x 恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
17．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单 位：小时）间的关系为0e
kt
P P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了
消除27.1%的污染物，则需要___________小时.
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用. 18．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则数列的通项a n = ．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ-=，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)p p ρθθ=>．
（1）设t 为参数，若2x =-+，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于,P Q ，设(2,4)M --，且2||||||PQ MP MQ =⋅，求实数p 的值．
20．若数列{a n }的前n 项和为S n ，点（a n ，S n ）在y=x 的图象上（n ∈N *），
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若c 1=0，且对任意正整数n 都有
，求证：对任意正整数n ≥2，总有
．
21．2()sin 22
f x x x =+
. （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12
A f =，ABC ∆的面积为.
22．（本小题满分12分）已知函数13
1)(23
+-=
ax x x h ，设x a x h x f ln 2)(')(-=， 222ln )(a x x g +=，其中0>x ，R a ∈.
（1）若函数)(x f 在区间),2(+∞上单调递增，求实数的取值范围；
（2）记)()()(x g x f x F +=，求证：2
1
)(≥x F .
23．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ，g （x ）=1x xe -．（a ∈R ，e 为自然对数的底数）
（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若函数f （x ）在10,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
上无零点，求a 的最小值； （Ⅲ）若对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f （x i ）=g （x 0）成立，求a 的取值范围．
24．（1）求与椭圆
有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．
（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程．
奉新县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵ a=ln2＜lne 即，
b=5=，
c=
xdx=
，
∴a ，b ，c 的大小关系为：b ＜c ＜a ． 故选：C ．
【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．
2． 【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=﹣24，a 10+a 11+a 12=78， ∴3a 2=﹣24，3a 11=78，解得a 2=﹣8，a 11=26， ∴此数列前12项和=
=6×18=108， 故选B ．
【点评】本题考查了等差数列的前n 项和公式，以及等差数列的性质，属于基础题．
3． 【答案】A
【解析】解：因为底面半径为R 的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，
则这个椭圆的短半轴为：R ，长半轴为：
=，
∵a 2=b 2+c 2
，∴c=
，
∴椭圆的离心率为：e==． 故选：A ．
【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．
4． 【答案】B 【解析】 试题分析：805863
1
=⨯⨯⨯=
V ,故选B. 考点：1.三视图；2.几何体的体积.
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：{}{},,a b b a ⊆和{}0∅⊆是正确的，故选C. 考点：集合间的关系. 6． 【答案】B
【解析】解：将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到y=cos x ，再向右平移个单位得到y=cos[（x ）]，
由（x ）=k π，得x =2k π，
即
+2k π，k ∈Z ，
当k=0时，
，
即函数的一条对称轴为，
故选：B
【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的求解，利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键．
7． 【答案】A 【解析】
考
点：棱锥的结构特征． 8． 【答案】C
【解析】解：设a 、b 是两个非零向量，“（a+b ）2=|a|2+|b|2”⇒（a+b ）2=|a|2+|b|2+2ab=|a|2+|b|2
⇒a •b=0，即a ⊥b ；
a ⊥
b ⇒a •b=0即（a+b ）2=|a|2+|b|2所以“（a+b ）2=|a|2+|b|2”是“a ⊥b ”的充要条件． 故选C ．
9． 【答案】C
【解析】
由已知得双曲线的一条渐近线方程为=y ，设00(,)A x y ，则02>p x
，所以0
002
002322ì=ï
ï-ïïïï
+=íï
ï=ïïïïî
y p x p x y px ，
解得2=p 或4=p ，因为322
->p p
，故03p <<，故2=p ，所以抛物线方程为24y x ． 10．【答案】A
【解析】解：如图，根据题意知，D 在线段AB 上，过D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ；
若设AC=BC=a
，则由
得，CE=ta ，CF=（1﹣t ）a ；
根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°；
∴；
即；
解得．
故选：A ． 【点评】
考查当满足
时，便说明D ，A ，B 三点共线，以及向量加法的平行四边形法则，
平面向量基本定理，余弦函数的定义．
11．【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行
证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；
综上D选项中的命题是错误的
故选D
12．【答案】B
【解析】解：①x=0时，y=0，1，2，∴x﹣y=0，﹣1，﹣2；
②x=1时，y=0，1，2，∴x﹣y=1，0，﹣1；
③x=2时，y=0，1，2，∴x﹣y=2，1，0；
∴B={0，﹣1，﹣2，1，2}，共5个元素．
故选：B．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：设=，则==，的方向任意．
∴+==1××≤，因此最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．【答案】7.5
【解析】解：∵由表格可知=9，=4，
∴这组数据的样本中心点是（9，4），
根据样本中心点在线性回归直线=0.7x+上，
∴4=0.7×9+，
∴=﹣2.3，
∴这组数据对应的线性回归方程是=0.7x﹣2.3，
∵x=14，
∴=7.5，
故答案为：7.5
【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．
15．【答案】两条射线和一个圆．
【解析】解：由题意可得x 2+y 2
﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分．
由方程（x+y ﹣1）=0，可得x+y ﹣1=0，或 x 2+y 2=4，
故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆，
故答案为：两条射线和一个圆．
【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．
16．【答案】11[3)32⎡⎤
+∞⎢⎥⎣⎦，，
【
解
析】
考
点：1、分段函数；2、函数的零点.
【方法点晴】本题考查分段函数，函数的零点，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想、数形结合思想和转化化归思想，综合性强，属于较难题型.首先利用分类讨论思想结合数学结合思想，对()3x g x a =-于轴的交点个数进行分情况讨论，特别注意：1.在1x <时也轴有一个交点式，还需31a ≥且21a <；2. 当()130g a =-≤时，()g x 与轴无交点，但()h x 中3x a =和2x a =，两交点横坐标均满足1x ≥.
17．【答案】15
【解析】由条件知5000.9e k
P P -=，所以5e 0.9k
-=.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为00.729P ，
于是000.729e
kt P P -=，∴315e 0.7290.9e kt
k --===，所以15t =小时.
18．【答案】 2n ﹣1 ．
【解析】解：∵a 1=1，a n+1=a n +2n
， ∴a 2﹣a 1=2， a 3﹣a 2=22， …
a n ﹣a n ﹣1=2n ﹣1，
相加得：a n ﹣a 1=2+22+23+2…+2n ﹣1
，
a n=2n﹣1，
故答案为：2n﹣1，
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用，意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
20．【答案】
【解析】（I）解：∵点（a n，S n）在y=x的图象上（n∈N*），
∴，
当n≥2时，，
∴
，化为
，
当n=1时，，解得a 1=．
∴
=
=
．
（2）证明：对任意正整数n 都有
=2n+1，
∴c n =（c n ﹣c n ﹣1）+（c n ﹣1﹣c n ﹣2）+…+（c 2﹣c 1）+c 1 =（2n ﹣1）+（2n ﹣3）+…+3
=
=（n+1）（n ﹣1）．
∴当n ≥2时， ==
．
∴
=
+…+
=
＜
=，
又=．
∴
．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n 项和公式、“累加求和”、“裂项求和”、对数的运算性质、“放缩法”、递推式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】（1）5,3
6k k π
πππ⎡
⎤
++
⎢⎥⎣
⎦
（k ∈Z ）；（2）【解析】
试题分析：（1）根据32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤-
≤+
可求得函数()f x 的单调递减区间；（2）由12A f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
可得3
A π
=
，再由三角形面积公式可得12bc =，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1
试题解析:（1）111()cos 22sin(2)2262
f x x x x π=
-=-+， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536
k x k ππ
ππ+≤≤+，k Z ∈，
∴()f x 的单调递减区间为5[,]36
k k ππ
ππ++
（k Z ∈）.
考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用． 22．【答案】（1）]3
4,(-∞.（2）证明见解析. 【
解
析
】
试
题解析：解：（1）函数13
1)(23
+-=
ax x x h ，ax x x h 2)('2-=，1111] 所以函数x a ax x x a x h x f ln 22ln 2)(')(2
--=-=，∵函数)(x f 在区间),2(+∞上单调递增，
∴0222ln 2)(')('2≥--=-=x a ax x x a x h x f 在区间),2(+∞上恒成立，所以1
2
+≤x x a 在),2(+∞∈x 上恒成
立.
令1)(2+=x x x M ，则2
222)
1(2)1()1(2)('++=+-+=x x
x x x x x x M ，当),2(+∞∈x 时，0)('>x M ，
∴3
4
)2(1)(2=>+=
M x x x M ，∴实数的取值范围为]34,(-∞. （2）]2
ln )ln ([22ln ln 22)(222
2
2
2
x
x a x x a a x x a ax x x F ++
+-=++--=， 令2
ln )ln ()(222
x x a x x a a P +++-=，则111]
4
)ln (4)ln ()2ln (2ln )2ln ()2ln ()(2
222222x x x x x x a x x x x x x a a P +≥+-+-=+++-+-=.
令x x x Q ln )(-=，则x x x x Q 1
11)('-=-=，显然)(x Q 在区间)1,0(上单调递减，在区间),1[+∞上单调递增，
则1)1()(min ==Q x Q ，则41)(≥a P ，故2
1
412)(=⨯≥x F .
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【方法点晴】本题主要考查导数在解决函数问题中的应用.考查利用导数证明不等式成立.（1）利用导数的工具性求解实数的取值范围；（2）先写出具体函数()x F ,通过观察()x F 的解析式的形式,能够想到解析式里可能存在完全平方式,所以试着构造完全平方式并放缩,所以只需证明放缩后的式子大于等于4
1
即可,从而对新函数求导判单调性求出最值证得成立.
23．【答案】（1） f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f （x ）在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；（3）a 的范围是3,21e ⎛⎤
-∞-
⎥-⎝⎦
. 【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f （x ）中求出f ′（x ），令f ′（x ）＞0求出x 的范围即为函数的增区间，令f ′（x ）＜0求出x 的范围即为函数的减区间； （Ⅱ）f （x ）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，
12）上无零点，只需要对x ∈（0，1
2
）时f （x ）＞0恒成立，列出不等式解出a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a 的最小值；
试题解析：
（1）当a=1时，f （x ）=x ﹣1﹣2lnx ，则f ′（x ）=1﹣，
由f ′（x ）＞0，得x ＞2； 由f ′（x ）＜0，得0＜x ＜2．
故f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）； （2）因为f （x ）＜0在区间上恒成立不可能，
故要使函数上无零点，
只要对任意的
，f （x ）＞0恒成立，即对
恒成立．
令，则
，
再令，
则
，故m （x ）在
上为减函数，于是
，
从而，l （x ）＞0，于是l （x ）在上为增函数，所以
，
故要使
恒成立，只要a ∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数f （x ）在10,
2⎛
⎫
⎪⎝⎭
上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2； （3）g ′（x ）=e 1﹣x ﹣xe 1﹣x =（1﹣x ）e 1﹣x ，
当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增； 当x ∈（1，e]时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减． 又因为g （0）=0，g （1）=1，g （e ）=e •e 1﹣e ＞0， 所以，函数g （x ）在（0，e]上的值域为（0，1]． 当a=2时，不合题意；
当a ≠2时，f ′（x ）=，x ∈（0，e]
当x=
时，f ′（x ）=0．
由题意得，f （x ）在（0，e]上不单调，故，即①
又因为，当x →0时，2﹣a ＞0，f （x ）→+∞，
，
所以，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2）， 使得f （x i ）=g （x 0）成立，当且仅当a 满足下列条件：
即
令h （a ）=，
则h
，令h ′（a ）=0，得a=0或a=2，
故当a ∈（﹣∞，0）时，h ′（a ）＞0，函数h （a ）单调递增；
当
时，h ′（a ）＜0，函数h （a ）单调递减．
所以，对任意，有h （a ）≤h （0）=0， 即②对任意恒成立． 由③式解得：
．④
综合①④可知，当a 的范围是3,21e ⎛⎤
-∞-
⎥-⎝⎦
时，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使f （x i ）=g （x 0）成立． 24．【答案】
【解析】解：（1）由所求椭圆与椭圆
有相同的焦点，
设椭圆方程，
由（4，3）在椭圆上得，
则椭圆方程为；
（2）由双曲线有相同的渐近线，
设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），
由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13，
解得λ=±1．
即有双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．。