2018年浙江高考数学二轮复习练习：专题限时集训13 圆锥曲线中的综合问题 Word版含答案.doc

专题限时集训(十三) 圆锥曲线中的综合问题 (对应学生用书第143页) [建议用时：45分钟]
1．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2，右顶点A (2,0)．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，0的直线l 交椭圆于B ，D 两点，设直线AB 的斜率为k 1，直线AD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值，并求此定值．
[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a2＝b2＋c2，c a ＝3
2，
a ＝2，
解得⎩⎨⎧
a ＝2，
b
＝1，
c ＝3，
所以C 的方程为x24
＋y 2
＝1.
4分
(2)证明：由题意知直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x ＝my ＋32，与x24＋y 2
＝1联立
得(m 2＋4)y 2
＋3my －74
＝0，
6分
由Δ＞0，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－3m
m2＋4，y 1y 2＝－
74m2＋4
，
8分
k 1k 2＝
y1y2－
－
＝
y1y2⎝ ⎛⎭⎪⎫my1－12⎝ ⎛⎭
⎪⎫my2－12＝
y1y2
m2y1y2－12＋＋14
＝
－7
4
－74m2＋32m2＋14
＋
＝－7
4
，
∴k 1k 2为定值，定值为－7
4
.
15分
2．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆
与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ
分别交直线x ＝16
3于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？
若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
c a ＝12
，12
7＋5＝b ，
a2＝b2＋c2，
∴⎩⎨⎧
a ＝4，
b ＝23，
c ＝2，
故椭圆C 的方程为x216＋y2
12
＝1.
4分
(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧
x216＋y212
＝1，
x ＝my ＋3，∴(3m 2＋4)y
2
＋18my －21＝0，
∴y 1＋y 2＝－18m 3m2＋4，y 1y 2＝－21
3m2＋4
.
6分
由A ，P ，M 三点共线可知yM 163＋4＝y1
x1＋4，∴y M ＝
28y1
＋
.
8分
同理可得y N ＝
28y2＋
，∴k 1k 2＝
yM 163－3×yN 163
－3＝9yMyN
49＝16y1y2
＋＋
. 10分
∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7)＝m 2
y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49，∴k 1k 2＝16y1y2
m2y1y2＋＋＋49＝－127
. 14分 ∴k 1k 2为定值－127.
15分
3．(2017·杭州高级中学高三最后一模)已知抛物线C 1：x 2
＝2py (p ＞0)与圆C 2：x 2
＋y 2
＝8的两个交点之间的距离为4，A ，B 为抛物线C 1上的两点． (1)求p 的值；
(2)若C 1在点A ，B 处切线垂直相交于点P ，且点P 在圆C 2内部，直线AB 与C 2相交于C ，D 两点，求|AB |·|CD |的最小值．
图13­6
[解] (1)由题易得抛物线与圆的两个交点坐标为(－2,2)，(2,2)，
则代入x 2
＝2py 得p ＝1. 5分
(2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x1，x212，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，x222， 又x 21＝2y 1，则PA 的斜率为y ′1＝x 1.
同理PB 的斜率为y ′2＝x 2，所以x 1·x 2＝－1， 两切线为y ＝x 1x －12x 21，y ＝x 2x －1
2x 2，
交点为P ⎝
⎛⎭
⎪⎫x1＋x22，－12， 8分
点P 在圆内得x 21＋x 2＜33，
直线AB 为y ＝x1＋x22x ＋12过抛物线的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， |AB |＝x212＋x222＋p ＝1
2(x 21＋x 2＋2)，
10分
设d 为圆心到直线AB 的距离，
则|AB |·|CD |＝1
2
(x 21＋x 2＋2)·28－d2，
d ＝
1
x21＋x22＋2
，
13分
t ＝x 21＋x 2＋2∈[4,35)，
则|AB |·|CD |＝8t2－t ， 最小值为231.
15分
4．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝
⎛
⎭⎪⎫2，22. (1)求椭圆的方程；
图13­7
(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．
【导学号：68334134】
[解] (1)由题意可设椭圆方程为 x2a2＋y2
b2
＝1(a ＞b ＞0)， 则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2
，c ＞0)，且2a2＋12b2＝1，故a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x24
＋y 2
＝1.
4分
(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设P (x 1，y 1)，
Q (x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x2＋4y2＝4，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2
－1)＝0，
5分
则Δ＝64k 2m 2
－16(1＋4k 2
)(m 2
－1)＝16(4k 2
－m 2
＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k2，x 1x 2＝－1＋4k2. 6分
故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2
x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
， 7分
因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 所以y1x1·y2x2＝
k2x1x2＋＋
＋m2x1x2＝k 2
，
即－8k2m21＋4k2
＋m 2
＝0.
8分 又m ≠0，所以k 2
＝14，即k ＝±12
.
9分
由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2
＜2，且m 2
≠1. 设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m|
5，
10分 |PQ |＝
＋
＋－4x1x2]＝－
，
11分
所以S ＝1
2|PQ |d ＝
－
＜
m2＋2－m22
＝1(m 2
≠1)， 故△OPQ 面积的取值范围为(0,1).
15分。