江苏省常州市田家炳高级中学高二下学期期末考试数学(理)试题

江苏省常州市田家炳高级中学高二下学期期末考试数学（理）试题
2019学年度第二学期期末质量调研
高二数学理科试题
参考公式：（1）若~(,)X B n p ，则()(1)V X np p =-； （2）球的体积为V =
343
r π，其中r 为球的半径.
一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70
分.请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．
. 1. 若复数z 满足i 13i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．
2. 用反证法证明“,,a b R ∈若3
3
a ≥
b ，则a b ≥”时，应假设
▲ ．
3. 已知i
是虚数单位，则复数
1
12i
+的模为 ▲ ．
4. 用数学归纳法证明2
135(21)n n ++++-=，则当1n k =+时
左端应在
n k =的基础上加上的项为 ▲ ．
注意事项
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。

本
试卷满分160分，考试时间120分钟。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。

3．答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。

5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

一律不准使用胶带纸、修正液及可擦洗的圆珠笔。

5.
6. 在平面几何中有如下结论：若正方形ABCD 的内切圆面积为1
,S 外接圆面积
为2,
S 则
121
2
S S =，推广到立体几何中可以得到类似结
论：
若正方体111
1
ABCD A BC D -的内切球体积为1
,V 外接球体
积为2
V ，
则1
2
V V = ▲ ．
13.
如图，在正三棱柱111
ABC A B C -中，
12,AB AC AA ===,E F
分别是,BC
11
AC 的中点.设D 是线段11
B C 上的（包括两个端点．．．．．．
）动点，当直线BD 与EF
10
，则线段BD 的长为
▲ ．
14. 在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，
相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽
种方案的总数为 ▲ ．
二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分） （1）已知矩阵10a b ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
A 的一个特征值为2λ=-，其对应的
特征向量
12⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
α，
求矩阵A 及它的另一个特征值.
（2）在极坐标系中，设P 为曲线C ：
2ρ=上任意一点，求点P 到直线
l ：πsin 33ρθ⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭的最小距离.
16.（本小题满分14分）
有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）． （1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边； （2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起； （3）全体排成一行，3名男生两两不相邻.
17.（本小题满分14分）
已知正项数列
{}
n a 中，1
21
a 且
1111
,N .n n n n
a a n a a *++-=+∈
（1）分别计算出2
3
4
,,a a a 的值，然后猜想数列{}n
a 的通
项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想. 18.（本小题满分16分）
如图，在直三棱柱111
ABC A B C -中，
1
2,AA AB AC ===,AB AC ⊥,M N 分别是棱1
,CC BC 的中点，点P 在线段1
A B 上（包括两个．．．．
端点．．
）运动． （1）当P 为线段1
A B 的中点时，
①求证：1
PN AC ⊥；
②求平面PMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦
值；
（2）求直线PN 与平面AMN 所成的角的正弦值的取值范围.
19.（本小题满分16分）
为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务.已知有脚踏自行车A 与电动自行
车B 两种车型，采用分段计费的方式租用.A 型车每30分钟收费5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），B 型车每30分钟收费10元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲乙丙丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙丁不超过30分钟还车的概率分别为
4321
,,,5432
，并且四个人每人租车都
不会超过60分钟，甲乙丙均租用A 型车，丁租用B 型车． （1）求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率；
（2）求甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；
（3）设甲乙丙丁四人所付费用之和为随机变量ξ，求
ξ
的概率分布和数学期望．
20.（本小题满分16分） 已知
2018220180122018(1).
x a a x a x a x -=+++
+
（1）求0
a 及1
2
2018
a a
a ++
+的值；
（2）求证：
111
1111
()2k k k n n n n C n C C ++++=⨯++（
,N
k n k ≤∈），并求
2018
01
k k
a =∑的
值. （3）求
1009
21
1()2018k k k a =⋅⋅∑的值.
高二期末数学参考答案及评分标准（理科）
一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．. 1﹑ 3； 2﹑a b <； 3﹑55
； 4﹑21k +； 5﹑6；
6﹑5
2
-； 7﹑15
；
8﹑216； 9﹑0.7； 10﹑8； 11﹑4
27
； 12﹑39
； 13﹑2214﹑588.
二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.
15.（1）解：由λ⋅=⋅A αα得：
1112022a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
122,24,a b +=-⎧∴⎨=-⎩3,
2
2,
a b ⎧
=-⎪∴⎨⎪=-⎩ …3分
矩阵A 的特征多项式为3
1
()20
2
f λλλ-=
+ …5分 ，
令()0f λ=，得(1)(2)0λλ-+=，解得1λ=或2,λ=- 所以矩阵A 的另一个特征值为 2.- …7分
（2）解：以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．
因为()πsin 33ρθ-=，所以()31sin 3
2
ρθθ=，
将其化为普通
方
程
，
得
360.
x y -+= ……… 9分
将曲线
C ：
2
ρ=化为普通方程，得
224
x y +=． ……… 11分
所以圆心
()
00O ，到直线
360
l x y -+=的距离
3.31
d =
=+ ……… 13分
所以
P
到直线
l
的最小距离为
2 1.
d -= ……… 14分
16.解：（1）先排最左边，除去甲外有16
C 种，余下的6个位置全排有66
A 种，则符合条件的排法共有1666
4320
C A =种. ……3分
（2）将女生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有4444A A =
576
种
；
……8分
（3）先排好女生，然后将男生插入其中的五个空位，共有4
34
5
1440
A A
⋅=种；……13分
答：（1）全体排在一行，其中男生甲不在最左边的方法总数为4320种；
（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起的方法总数为576种；
（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻的方法总数为1440种；……14分 17.解：（1） 令2,
n =得
2121
11
2 2.a a a a -=+=化简得22
(2)3
a
=，
解得2
32
a =2
3 2.
a
=-20,a >232
a ∴=…… 1分
令
3,
n =得
3232
11
23,a a a a -=+=化简得
23(3)4
a =，
解得3
23
a =或3
2 3.
a
=-30,a >32 3.
a ∴= (2)
分 令
4,
n =得
4343
11
4,a a a a -=+=化简得2
3
(2)
5
a +=，
解得4
52
a =或4
5 2.
a
=-40,a >45 2.
a ∴= (3)
分 猜想1.
n
a
n n +（*） …… 5分
（1）①当1n =时，
1
2121
a ==（*）式成立； ……
6分 ②假设
(1,)
n k k k N *=≥∈时（*）式成立，即1k
a
k k
+，那
么当1n k =+时，
1111
112 1.k k k k
a a k k k k k a a ++-=+=++=+……9分
化简得21
(1)2,
k a k k ++=+10,k a +>121,
k a k k +∴=++所以当1
n k =+时，
（*）式也成立.……13分 综上：由①②得当n N *
∈时，1.
n
a
n n =+ ……14分
18. 解：以1
{,,}AB AC AA 为正交基底建立如图所示的空间
直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),A 1
(0,0,2),A (2,0,0)B ，1
(0,2,0),(0,2,2)C C .
因为,M N 分别是棱1
,CC BC 的中点，所以(0,2,1),(1,1,0).M N
（1）当P 为线段1
A B 的中点时，则(1,0,1).P
①因为(0,1,1),PN =-1(0,2,2),
AC =所以1
0,PN AC ⋅=即1
.PN AC ⊥ (3)
分
②因为(0,1,1),(1,1,1),PN MN =-=--设平面PMN 的一个法向量为
(,,),
n x y z =由,n PN ⊥n MN ⊥可得
y z x y z -=⎧⎨
--=⎩，取1y =，则2,1,x z ==所
以(2,1,1).n =……5分
又因为(0,0,1)m =是平面ABC 的一个法向量，设平面PMN 与平面
ABC
所成的二面角的平面角为
θ
，则
1cos cos 6m n m n m n
θ⋅=<⋅>=
=⋅6=.因为θ
为锐角，所以
6
cos θ=
所以平面PMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为
6……8分
（2）因为P 在线段1
A B 上，所以设1
1
A P A
B λ=（01λ≤≤），
解得(2,0,22)P λλ-，所以(12,1,22)PN λλ=--. ……9分 因为
(0,2,1),(1,1,0),
AM AN ==设平面
AMN
的一个法向量为
(,,),
s x y z =由,s AM s AN ⊥⊥可得200
y z x y +=⎧⎨
+=⎩，取1,y =则1,2,x z =-=-所以
(1,1,2).
s =--
……11分
设直线PN 与平面AMN 所成的角为,α则
2
42sin cos ,68126
s PN s PN s PN
λαλλ⋅-=<>=
=
⋅⋅-+……12分
因为[0,1],λ∈所以2
sin 68126
αλλ=⋅-+设42,t λ=-则[2,4],t ∈
所以2
sin 621014t
t α=
⋅-+，设2
()[2,4],
621014
f t t t t =
∈⋅-+
则
2()141062
f t t t
=
⋅-+设
111
[,],
42
u t =∈可求得2
14102
u
u -+的取值范
围为
31
[
,]142
，进一步可求得
()
f t 的取值范围为
37[
所以
直线PN 与平面AMN 所成的角的正弦值的取值范围为
37[……16分
19.解：（1）记“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”为事件A ，即4人均不超过30分钟，则
()P A =
4321154325
⋅⋅⋅=.
答：求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率是1.5
·
··················3分
（2）由题意，甲乙丙丁在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为1111
,,,
5432
，
设“甲乙丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件B，
则()
P B=13214121431113
. 54325432543260⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
答：甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是13
60
．···················8分
（3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量ξ的值为25，即为事件A，由（1）所以1
()
5
P A=.
②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件C，事件C又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲乙丙中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为
事件1C和2C.
i.事件1C对应的ξ的值为30，此时
113214121431113
()
54325432543260
P C=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；
ii.事件1C对应的ξ的值为35，此时243211
()
54325
P C=⋅⋅⋅=.
③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件D，事件D又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲乙丙中的两个”和“超过30分钟的两人是甲乙丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件1D和2D.
i.事件1D对应的ξ的值为35，此时
11121131141113
()54325432543240
P D =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
； i .事件2
D 对应的ξ的值为40，此时
213214121431113
().
54325432543260
P D =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件E ，事件
E
又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲乙丙”和
“超过30分钟的三人是甲乙丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件1
E 和2
E .
i .事件1
E 对应的ξ
的值为40，此时
111111
()5432120
P E =⋅⋅⋅=
；
i .事件2
E 对应的ξ的值为45，此时
2()P E =1121131141113
54325432543240
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
.
⑤记“4人均超过30分钟”为事件F ，则随机变量ξ的值为50， 此时
()P F =
11111
5432120
⋅⋅⋅=；
综上：随机变量ξ的所有取值为25，30，35，40，45，50，且
1(25)()5P P A ξ===；
113
(30)()60
P P C ξ===
； ·
··············10分 211311
(35)()()54040
P P C P D ξ==+=
+=； ···············11分
211319
(40)()()6012040
P P D P E ξ==+=
+=； ·
··············12分
23
(45)()40
P P E ξ===
；
1(50)()120
P P F ξ===
； ···············14分 所以甲乙丙丁四人所付费用之和的分别为
ξ
25
30 35 40 45 50 P
15
1360
1140
940
340
1120
所以
()253035404550560404040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
12
.
答：甲乙丙丁四人所付费用之和ξ的数学期望为407
.12
···············16分
（注：不作答扣1分，不多扣！） 20.解：（1）当2018
n =时，
201822018
012(1)n x a a x a x a x -=++++（*） 在
（*）中，令
0,
x =得
0 1.
a = ·
··········1分
在（*）中，令
1,
x =得
01220180
a a a a ++++=，所以
122018 1.
a a a ++
+=-······3分
（2）证明： 因为
1!()!1!()!(2)!2(1)!k n k n k n k n k n C n n n -+-⨯+==⨯++1!()!(11)
2(1)!
n k n k k n k n n +-⨯+++-=⨯++
1!(1)!(1)!()!
[]2(1)!(1)!
n k n k k n k n n n ++-+-=
⨯++++111111()2k k n n n n C C ++++=
⨯++， ·
·····6分
（注：证明共3分，其他证法酌情给分！） 由二项式定理可得2018(1),0,1,2,
,2018,
k k
k
a C k =-= ·
·····7分
所以
2018
2018002018
11(1)k k k k k a C ===-∑∑2018
2018
0122018
020182018201820182018
(1)1111(1).
k k k C C C C C
=-==-+-+-∑
因为12018
20192019
1
201911
()2020k k k C C C +=
⨯+，
所以
2018
2018011220182019
02019201920192019
2019
2019
1201911111
1
[()()(1)(
)]
2020k k a C C C C C C ==⨯+-+++-+
∑
02019201920192019112019
().20201010
C C =
⨯+= ·
·····9分 （3）法一：由（2）知
(1),
k k
k n a C =-
∴121
2018201720162016(1)(1)2018(1)2018().
k k k k k k k k k a k C C C C ---⋅=-⋅=-=-+ ·
····12分 因为100922420162018
1
()210081009k
k k a
a a a a =⋅=++++∑， 所以100922420162018
1
2()2420162018k
k k a
a a a a =⋅=++++∑
0120152016
201620162016201620162018()20182.
C C C C =++
++=⋅ ·
····15分 则10092015
21
()20182
k
k k a
=⋅=⋅∑，所以
1009
201521
1()2.2018k k k a =⋅⋅=∑ ·
····16分 法二：将201822018
0122018(1)x a a x a x a x -=+++
+两边求导，
得2017
20171220182018(1)22018.
x a a x a x --=++
+·····10分
令1,x =得1
2
3420172018
023*********a a
a a a a =++++++；①·
····11分 令
1,
x =-得
2017123420172018
2018223420172018a a a a a a -⋅=-+-+
+-.
②·····12分 ①-②得2017
24201820182
2(242018)
a a a ⋅=++
+解得
2016
24201824201820182a a a ++
+=⋅，·
····15分 所以
100920152242018111
()(21009)2.
20182008
k k k a a a a =⋅⋅=+++=∑·····16分。