将代数问题几何化的“魔术师”——向量

将代数问题几何化的 魔术师 向量
邵付松
(上海市零陵中学ꎬ上海２０００３２)
摘㊀要:文章借助向量这一工具ꎬ通过把向量坐标化后ꎬ将许多几何问题通过代数运算的形式进行解决ꎬ特别是向量数量积中关于投影的几何意义的应用.
关键词:向量数量积ꎻ函数的值ꎻ向量的投影ꎻ高中数学实验
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－００１９－０３
收稿日期:２０２３－１１－０５
作者简介:邵付松(１９８８.８－)ꎬ男ꎬ山东省临沂人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事数学教学研究.
㊀㊀高中数学实验问题设计一直是高中数学教学研究的重要内容ꎬ这是因为只有精心创设的数学实验问题才有利于唤起学生的积极思维.设计的数学实验问题要具有可操作性㊁可探索性和层次性ꎬ问题的难度要适中ꎬ能产生悬念ꎬ才有利于激发学生去思考㊁观察ꎬ从实验问题中发现规律ꎬ提出猜想ꎬ进行探索与研究[１].通过教学建模㊁问题解决㊁理性思考和结论升华㊁变式探究㊁结论应用等环节ꎬ让学生亲历 提出问题 分析问题 解决问题 应用反思 的过程ꎬ使学生成为定理的发现者与再创造者ꎬ从而充
分感受探究㊁创造的苦与乐[２].恰当地借助信息技术ꎬ能够帮助学生有效地建立起形与数的联系ꎬ指导学生学会利用几何图形等数学直观来描述问题㊁理解问题ꎬ运用空间想象认识事物ꎬ达成培育学生直观想象素养的目标.而实施的关键在于通过突破课堂新知难点ꎬ直观展现解决问题的关键环节ꎬ准确呈现完善学科知识结构[３].
１问题引入
引例㊀(２０１８年６月上海高考)已知常数ｘ１ꎬｘ２ꎬｙ１ꎬｙ２满足:ｘ２１＋ｙ２１＝１ꎬｘ２２＋ｙ２
２＝１ꎬｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝
１
２ꎬ则｜ｘ１＋ｙ１－１２｜＋｜ｘ２＋ｙ２－１２
｜的最大值为.分析㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＯＡң
＝(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＯＢң
＝(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由圆的方程和向量数量积的定义㊁坐标表示ꎬ可得әＯＡＢ为等边三角形ꎬＡＢ＝１ꎬ｜
ｘ１＋ｙ１－１
２
｜＋｜
ｘ２＋ｙ２－１
２
｜的几何意义为ＡꎬＢ两点
到直线ｘ＋ｙ－１＝０的距离ｄ１与ｄ２之和ꎬ
如图１所示ꎬ由两平行线的距离可求得最大值.
图１㊀点到直线的距离
这是２０１８年上海高考的第１２题ꎬ从题目所在的位置上不难看出这道题的难度系数比较高ꎬ但当我们从向量的角度出发来分析这道题目时ꎬ却发现这道题没有想象中那么难
ꎬ这就是向量方法的魅力
９１
所在ꎬ因此掌握好向量这个解题技巧对考生有莫大的帮助.
２教学案例
阅读下面例题的方法:求函数ｙ＝３ｘ＋４－ｘ２的值域.
解析㊀构造向量ＯＡң＝(３ꎬ１)ꎬＯＢң＝(ｘꎬ４－ｘ２)ꎬ所以ｙ＝ＯＡң ＯＢң＝ＯＡң ＯＢңｃｏｓθ＝４ｃｏｓθꎬ其中θ为向量ＯＡң与ＯＢң的夹角.
因为ＯＡң位于第一象限且与ｘ轴正方向所成角为π６ꎬＯＢң是模为２的向量ꎬ且始终在ｘ轴及ｘ轴上方ꎬ与ｘ轴正方向所成角的范围为[０ꎬπ]ꎬ则角θ的范围为[０ꎬ５π６]ꎬ所以ｃｏｓθɪ[－３２ꎬ１]ꎬ从而得出函数ｙ＝３ｘ＋４－ｘ２的值域为[－２３ꎬ４].
运用上述方法求ｙ＝２ｘ－１＋５－３ｘ的值域.解析㊀ｙ＝２ｘ－１＋５－３ｘ＝２ ｘ－１２＋３ ５３－ｘꎬ构造向量ＯＡң＝(２ꎬ３)ꎬＯＢң＝(ｘ－１２ꎬ５３－ｘ)ꎬ所以ｙ＝ＯＡң ＯＢң＝ＯＡң ＯＢңｃｏｓθ＝５ˑ７６ˑｃｏｓθ＝２１０６ｃｏｓθꎬ其中θ为向量ＯＡң与ＯＢң的夹角.
因为ＯＡң位于第一象限且与ｘ轴正方向所成角为ａｒｃｃｏｓ１０５ꎬＯＢң是模为７６的向量ꎬ且与ｘ轴正方向所成角的范围为[０ꎬπ２]ꎬ则角θ的范围为[０ꎬａｒｃｃｏｓ１０５]ꎬ所以ｃｏｓθɪ[１０５ꎬ１]ꎬ从而得出函数ｙ＝２ｘ－１＋５－３ｘ的值域为[２１３ꎬ２１０６].方法总结㊀在本题中ꎬ向量ＯＡң是确定的向量ꎬ向量ＯＢң是终点在以坐标原点为圆心ꎬ２为半径的圆上(第一象限及ｘꎬｙ轴的正半轴)ꎬ所求函数:ｙ＝２ｘ－１＋５－３ｘ表示成ＯＡң ＯＢң＝ＯＡң ＯＢңｃｏｓθꎬ这里ＯＡң＝５为定值ꎬ只需要分析ＯＢңｃｏｓθ的变化情况即可ꎬ根据向量数量积的几何意义:ＯＢңｃｏｓθ可以看作向量ＯＢң在向量ＯＡң方向上的投影ꎬ即为有向线段ＯＰꎬ当点Ｂ在圆弧上运动时ꎬ不难发现使有向线段ＯＰ取最值时的点Ｂꎬ进而确定函数ｙ＝２ｘ－１＋５－３ｘ的值域.
通过这道解题案例我们知道ꎬ由两项和组成的函数可以通过构造向量进行求解值域ꎬ巧妙而且简单.高中数学中由两项和组成函数的例子有一些ꎬ最具代表性的函数当属耐克函数ｙ＝ｘ＋１ｘꎬ对于耐克函数的图象与性质ꎬ相关资料已经给出了明确的结论ꎬ主要用到的工具为基本不等式ꎬ但是利用基本不等式只能了解函数的最值ꎬ至于函数的变化情况却不够具体ꎬ下面我们利用向量方法来对这种类型函数的变化情况进行阐述.
理论依据㊀向量数量积ＯＡң ＯＢң＝｜ＯＡң｜ ｜ＯＢң｜ｃｏｓθꎬ其中｜ＯＢң｜ｃｏｓθ称为向量ＯＢң在向量ＯＡң方
向上的投影ꎬ向量ＯＢң在向量ＯＡң方向上的投影为有向线段ＯＰꎬ当｜ＯＡ｜固定时ꎬＯＡң ＯＢң的值由有向线段ＯＰ所决定(如图２)
.
(ａ)正方向上的投影㊀㊀㊀(ｂ)负方向上的投影
图２㊀向量的投影
３典型例题研究
例１㊀研究函数ｙ＝ｘ＋１ｘ(ｘ>０)的函数值的变
化情况.
０２
解析㊀ｙ＝ｘ＋
１ｘ＝１ ｘ＋１ １
ｘ
ꎬ构造向量ＯＡң＝(１ꎬ１)ꎬＯＢң＝(ｘꎬ１
ｘ
)ꎬ所以ｙ＝ＯＡң ＯＢң＝ＯＡң
ＯＢңｃｏｓθ＝２ ｜ＯＢң｜ｃｏｓθꎬ这里ＯＢң
ｃｏｓθ可以理
解为向量ＯＢң在向量ＯＡң
方向上的投影.
如图３所示ꎬ当点Ｂ与点Ａ重合时ꎬ投影最小ꎬ即当ｘ＝１时ꎬ函数取最小值ꎻ当０<ｘ<１时ꎬ随着ｘ的变大ꎬ投影变小ꎻ当ｘ>１时ꎬ随着ｘ的变大ꎬ投影变大.这就很具体地给出函数ｙ＝ｘ＋
１
ｘ
在ｘ>０时的函数值的变化情况ꎬ并且能够感受出在０<ｘ<１时的变化速度要比ｘ
>１时的变化更快.
图３㊀耐克函数
变式１㊀研究函数ｙ＝ｘ－１
ｘ
(ｘ>０)的函数值的变化情况.
解析㊀ｙ＝ｘ－
１ｘ＝１ ｘ＋(－１) １
ｘ
ꎬ构造向量ＯＡң＝(１ꎬ－１)ꎬＯＢң＝(ｘꎬ１
ｘ
)ꎬ所以ｙ＝ＯＡң ＯＢң＝
ＯＡң ＯＢңｃｏｓθ＝２｜ＯＢң｜ｃｏｓθꎬ这里ＯＢң
ｃｏｓθ可
以理解为向量ＯＢң在向量ＯＡң
方向上的投影.
如图４所示ꎬ当点Ｂ运动到ＯＢң与ＯＡң
时ꎬ投影为
０ꎬ即当ｘ＝１时ꎬ函数值为０ꎻ当０<ｘ<１时ꎬ向量ＯＢ
ң
在向量ＯＡң方向上的投影在向量ＯＡң
的反方向上ꎬ投影
值为负ꎬ函数值小于０ꎻ当ｘ>１时ꎬ向量ＯＢң
在向量ＯＡң方向上的投影在向量ＯＡң
的同方向上ꎬ投影值为正ꎬ函数值大于０.所以ｘ>０时ꎬ随着自变量ｘ的递增ꎬ
投影变大ꎬ函数值递增.
图４㊀飘带函数
变式２㊀研究函数ｙ＝ｘ＋１
ｘ２
(ｘʂ０)的函数值的变化情况.
解析㊀如图５
所示ꎬ分析省略.
图５㊀幂和函数
３结束语
向量作为分析代数问题的重要工具ꎬ在很多高难度的问题中都有广泛应用ꎬ因作者能力有限ꎬ这里不再进行推广.高中数学作为一门高中学段的基础学科ꎬ知识点之间存在许多奇妙的联系ꎬ希望本文能提供一个启发点ꎬ让更多的学者来一起进行探索ꎬ揭开高中数学神秘的面纱.
参考文献:
[１]徐健旭.例谈代数问题的几何化[Ｊ].数理化学
习ꎬ２０１９(０７):２０－２２.
[２]于瀚婷.代数问题的几何化思想及应用[Ｊ].中
小学数学ꎬ２０１６(１１):５８－６０.
[３]范达文.多变量代数问题的几何化思想:课堂教
学中数学思想渗透的思考[Ｊ].数学之友ꎬ２０１６(０３):５３ꎬ５６.
[责任编辑:李㊀璟]
１２。