高考数学压轴专题韶关备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编附答案解析

【高中数学】数学复习题《三角函数与解三角形》知识点练习
一、选择题
1．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当
π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()sin f x x =，则
5π3f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为( )
A ．12
-
B C ． D ．
12
【答案】B 【解析】 分析：要求53
f π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上，再应用其解析式求解 详解：()f x Q 的最小正周期是π
552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()f x Q 是偶函数
33f f ππ⎛⎫⎛⎫
∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
53
3f f π
π⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Q 当02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，()sin f x x =，
则5 sin 3332f f πππ⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
故选B
点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．
2．△ABC 中，已知tanA =13
，tanB =1
2，则∠C 等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．135°
【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】
在△ABC 中，
11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132
A B
C A B A B A B π+
+=--=-=-=---⋅，
所以135C ?o .
故选：D. 【点睛】
本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.
3．已知函数(
)sin f x a x x =的一条对称轴为56
x π
=
，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：
①实数a 的值为1；
②()()1,x f x 和()()
22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为
23
π． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．①③④
C ．①④
D ．③④
【答案】B 【解析】 【分析】 根据56
x π
=
是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为
2
T
π=，然后由()()12f x f x =-，得到()()1
1
,x f x 和()()2
2
,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.
【详解】 ∵56x π
=
是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
， 令0x =，得()503
f f π
⎛⎫=
⎪⎝⎭
，即-1a =，①正确； ∴(
)sin 2sin 3π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭f x x x x ．
又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，
∴21x x -的最大值为
2
T
π=，且()()12f x f x =-， ∴()(
)11,x f x 和()()
22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，
∴121233223
x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π
，k Z ∈， ∴12223
x x k π
π+=+，k Z ∈，
当0k =时，12x x +取最小值23
π
，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.
4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆
的面积S C =
，且
1,a b ==c =（ ）
A
B
C
D
【答案】B 【解析】
由题意得，三角形的面积1
sin 2
S ab C C ==，所以tan 2C =，
所以cos C =
， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=
，所以c =，故选B.
5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，
0AB BC ⋅>u ur u u r u u
，a =b c +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B
．322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．31,2
⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
利用余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=，可得3A π=，由
|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r
，可得B 为钝角，由正弦定理可得
sin sin(120)3sin(30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解
【详解】
由余弦定理有：222
cos 2b c a A bc
+-=，又222b c a bc +-=
故2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===
又A 为三角形的内角，故3
A π
=
又3a =3
2=sin sin sin(120)3o
b c c B C B ∴==
- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r
故cos 0B B <∴为钝角
33
sin sin(120)sin cos 3sin(30)2o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+
(90,120)o o B ∈Q ，可得
13
30(120150)sin(30)(,)2o o o o B B +∈∴+∈，
333sin(30)(
,)22
o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
6．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至
BC ，在旋转的过程中，记([0,])2
ABP x x π
∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区
域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】
当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯;
根据正切函数图象可知选D. 【点睛】
本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.
7．已知函数sin(),0
()cos(),0
x a x f x x b x +≤⎧=⎨
+>⎩的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移
（ ）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（ ）. A ．
4
π B ．3
π C ．
2
π D ．π
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】 因为函数()()(),0,0
sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪
=⎨
+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以
sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫
-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π
2π()2
a b k k Z +=
+∈， 从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】
本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.
8．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c
，若
()sin 03A B C π⎛
⎫+++= ⎪⎝⎭
，b =
2
c =，则角B =（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
512
π 【答案】B 【解析】 【分析】
先由()sin 03A B C π⎛⎫
+
++= ⎪⎝
⎭求出3
A π
=
，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】
因为()sin 03A B C π⎛⎫
+++= ⎪⎝
⎭
所以
11sin cos sin 02222
A A A A A +=-=
所以tan A =0,2A π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以3
A π
=
所以由余弦定理得：
22
2
22co 12322s a b c bc A -=+-=+=⎝⎭
所以a =
所以2
222
32cos 2a c b B ac +-+-===
因为0,
2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以4
B π
=
故选：B 【点睛】
本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.
9．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫
=+∈>>< ⎪⎝
⎭
的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（ ）
A ．,3
π
ωπϕ==
B ．2,3
π
ωπϕ==
C ．,6
π
ωπϕ==
D ．2,6
π
ωπϕ==
【答案】C 【解析】 【分析】
由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23
f =确定ϕ. 【详解】 由图可得，2A =，511
4632T =-=，所以22T πω
==，ωπ=，又1()23f =，
所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6
k k Z π
ϕπ=+∈， 又2
π
ϕ<
，故6
π
=
ϕ. 故选：C 【点睛】
本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中
档题.
10．已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫
=-> ⎪⎝
⎭，若()π02f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫
⎪⎝
⎭上有且仅有三个
零点，则ω= ( ) A ．
2
3
B ．2
C ．
143
D ．
263
【答案】C 【解析】
∵函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫
=-> ⎪⎝
⎭
，()02f f π⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
∴1
sin()sin()6262π
ππω-=--=- ∴
22
66
k π
π
π
ωπ-
=+
或
52,2
6
6
k k Z π
π
π
ωπ-
=+
∈ ∴2
43k ω=+
或42,k k ω=+∈Z ∵函数()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上有且仅有三个零点 ∴(,
)6
626
x π
πωπ
π
ω-∈-- ∴232
6
ωπ
π
ππ<-
≤
∴
1319
33
ω<≤ ∴14
3
ω=
或6ω= 故选C.
11．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若
2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．
则：2221
222
b c a bc cosA bc bc +-===，
由于：0＜A ＜π，
故：A 3
π
=
．
由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，
所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
12．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8
x π=对称，则ω的最小
值为（ ） A ．
13
B ．
23
C ．
43
D ．83
【答案】C 【解析】 【分析】
利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，根据题意得出()8
3
2
k k Z π
π
π
ωπ+
=
+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.
【详解】
()
sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭Q ，
由于该函数的图象关于直线8
x π=对称，则
()8
3
2
k k Z π
π
π
ωπ+
=
+∈，
得()4
83
k k Z ω=
+∈， 0ω>Q ，当0k =时，ω取得最小值4
3
.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变
换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.
13．函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为（ ）
A ．1
B 1
C
D ．2
【答案】A 【解析】
由题意，得()2
2sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+
π
2114x ⎛
⎫=-+≤ ⎪⎝
⎭；故选A.
14．已知π1
cos 25
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=( )
A ．
725
B ．725
-
C ．
2325
D ．2325
-
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知根据三角函数的诱导公式，求得sin α，再由余弦二倍角，即可求解． 【详解】 由π1
cos α25
⎛⎫-=
⎪⎝⎭，得1sin α5=，又由2123cos2α12sin α122525=-=-⨯=．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
15．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则()f x 的最大值为（ ）
A ．2
B
C ．
D 或【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数2
()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则有()(0)2
f f π
-=，解得a ，得到函数再求最值.
【详解】
因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-
对称， 所以()(0)2
f f π
-=， 即220a a +-=，
解得2a =-或1a =， 当2a =-
时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝
⎭，此时()f x
的最大值为；
当1a =
时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=
- ⎪⎝⎭，此时()f x
； 综上()f x
或.
故选：D
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
16．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D
，BD =，1cos 4BAC ∠=
，则AD =（ ） A ．2
B
C
D
．2
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出sin 4
BAD ∠=
，再利用正弦定理求AD. 【详解】 ∵21cos 12sin 4BAC BAD ∠=-∠=
，
∴sin BAD ∠=.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠，
∴sin 2sin B AD BD BAD =⋅==∠. 【点睛】
本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】 由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R
>⇔
>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C. 18．如图所示，已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是( )
A ．77
B ．52
C ．72
D 7
【答案】C
【解析】
【分析】
利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可．
【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，
60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得222214962
c a a a =+-⨯， 2247c a =，
所以双曲线的离心率为：7e =
． 故选：C ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
19．函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ）
A ．[－2＋12k ，4＋12k]（k ∈Z ）
B ．[－5＋12k ，1＋12k]（k ∈Z ）
C ．[1＋12k ，7＋12k]（k ∈Z ）
D ．[－2＋6k ，1＋6k]（k ∈Z ） 【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得()23f x sin x πωϕ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6
π=
ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间．
【详解】 由题意得()()()323f x sin x cos x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝
⎭， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=，
∴函数()f x 的周期为12T =， ∴6
π=ω， ∴()26
3f x sin x ππϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 又函数图象过点()1,2， ∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴cos 1ϕ=，
∴2()k k Z ϕπ=∈，
∴()263f x sin x ππ⎛⎫=+
⎪⎝⎭． 由22,2632
k x k k Z ππππππ-+≤+≤
+∈， 得512112,k x k k Z -+≤≤+∈， ∴()f x 的单调增区间为[]
()512,112k k k Z -++∈．
故选B ．
【点睛】
解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．
20．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+
⎪⎝⎭关于（ ） A ．直线3πθ=
对称 B ．直线6πθ=对称 C ．点2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．极点对称 【答案】A
【解析】
【分析】
由4sin 6πρθ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-= ，圆心为( ，又
因为直线3πθ=即：y = 过点(，由此便可得出答案. 【详解】 由曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
，化简得曲线
的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .
又因为直线3πθ=
,直角坐标方程为：y = ，直线y =过点(，故曲线关于直线3π
θ=对称
故选：A.
【点睛】
本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.。