中考数学一轮复习第五章 相交线与平行线知识点总结附解析

中考数学一轮复习第五章 相交线与平行线知识点总结附解析
一、选择题
1．如图，下列条件中，不能判断AD ∥BC 的是（ ）
A ．∠FBC ＝∠DAB
B ．∠AD
C +∠BC
D ＝180° C ．∠BAC ＝∠AC
E D ．∠DAC ＝∠BCA
2．下列选项中，不是运用“垂线段最短”这一性质的是（ ）
A ．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离
B ．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠
C ．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程
D ．直角三角形中任意一条直角边的长度都比
斜边短
3．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A ．如果三角形三个内角的度数比是1:2:3，那么这个三角形是直角三角形
B ．内错角不一定相等
C ．平行于同一直线的两条直线平行
D ．若数a 使得a a >-，则a 一定小于0
4．如图所示，直线c 截直线a ，b ，给出下列以下条件：
①48∠=∠；②17∠=∠；③26∠=∠；④47180∠+∠=︒．
其中能够说明a ∥b 的条件有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．下列说法中,错误的有( )
①若a 与c 相交,b 与c 相交,则a 与b 相交;
②若a∥b,b∥c,那么a∥c;
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;
④在同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种.
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
6．如图，直线,a b 被直线c 所截，下列条件中不能判定a//b 的是（ ）
A ．25∠=∠
B ．45∠=∠
C ．35180∠+∠=︒
D ．12180∠+∠=︒
7．如图，如果AB ∥EF ，EF ∥CD ，下列各式正确的是（ ）
A ．∠1+∠2−∠3=90°
B ．∠1−∠2+∠3=90°
C ．∠1+∠2+∠3=90°
D ．∠2+∠3−∠1=180°
8．下列命题：①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行．其中假命题的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图，//AB EF ，90C ∠=︒，则α∠，β∠，γ∠之间的关系是（ ）
A ．βαγ∠=∠+∠
B ．180αβγ∠+∠+∠=︒
C ．90αβγ∠+∠-∠=︒
D ．90βγα∠+∠-∠=︒ 10．如图，ABC 面积为2，将ABC 沿AC 方向平移至DF
E △，且AC=CD ，则四边形
AEFB 的面积为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
二、填空题
11．如图，已知A 1B //A n C ，则∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A n 等于__________(用含n 的式子表示)．
12．一个七边形棋盘如图所示，7个顶点顺序从0到6编号，称为七个格子．一枚棋子放在0格，现在依逆时针移动这枚棋子，第一次移动1格，第二次移动2格，…，第n次移动n格．则不停留棋子的格子的编号有_____．
13．如图，A、B、C表示三位同学所站位置，C同学在A同学的北偏东50方向，在B同学
∠=______．
的北偏西60方向，那么C同学看A、B两位同学的视角ACB
14．如图，AB∥CD, AC∥BD, CE平分∠ACD，交BD于点E，点F在CD的延长线上，且
∠BEF=∠CEF，若∠DEF=∠EDF，则∠A的度数为_____︒.
15．如图，图①是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图②，则图②中的∠CFG 的度数是_____________．
16．100条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角）_______对，邻补角________对.
17．如图，将直角三角形ABC沿斜边AC的方向平移到三角形DEF的位置，DE交BC于点G，BG＝4，EF＝12，△BEG的面积为4，下列结论：①DE⊥BC；②△ABC平移的距离是4；③AD＝CF；④四边形GCFE的面积为20，其中正确的结论有________（只填写序号）．
18．如果一张长方形的纸条，如图所示折叠，那么∠α等于____．
19．如图，AD 平分,34BDF ∠∠=∠，若150,2130∠=︒∠=︒，则
CBD ∠=________︒．
20．观察下列图形：已知a b ，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：112n P P ∠+∠+∠++∠=…_________度．
三、解答题
21．综合与探究
综合与实践课上，同学们以“一个含30角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a ，b ，且//a b ，三角形ABC 是直角三角形，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒
操作发现：
（1）如图1．148∠=︒，求2∠的度数；
（2）如图2．创新小组的同学把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现
21120∠-∠=︒，请说明理由．
实践探究：
（3）填密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请写出1∠与2∠的数量关系并说明理由．
22．对于平面内的∠M 和∠N ，若存在一个常数k ＞0，使得∠M ＋k ∠N ＝360°，则称∠N 为∠M 的k 系补周角．如若∠M ＝90°，∠N ＝45°，则∠N 为∠M 的6系补周角．
（1）若∠H ＝120°，则∠H 的4系补周角的度数为 ；
（2）在平面内AB ∥CD ，点E 是平面内一点，连接BE ，DE ．
①如图1，∠D ＝60°，若∠B 是∠E 的3系补周角，求∠B 的度数；
②如图2，∠ABE 和∠CDE 均为钝角，点F 在点E 的右侧，且满足∠ABF =n ∠ABE ，
∠CDF =n ∠CDE （其中n 为常数且n ＞1），点P 是∠ABE 角平分线BG 上的一个动点，在P 点运动过程中，请你确定一个点P 的位置，使得∠BPD 是∠F 的k 系补周角，并直接写出此时的k 值（用含n 的式子表示）．
23．已知AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，BE ，DE 相交于点E ．
（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，
①若∠ABC =50º，∠ADC =70º，求∠BED 的度数；
②请直接写出∠BED 与∠ABC ，∠ADC 的数量关系；
（2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，试猜想∠BED 与∠ABC ，∠ADC 的数量关系，并说明理由．
24．如图1，AB//CD ，在AB 、CD 内有一条折线EPF ．
（1）求证：AEP CFP EPF ∠∠∠+=．
（2）如图2，已知BEP ∠的平分线与DFP ∠的平分线相交于点Q ，试探索EPF ∠与
EQF ∠之间的关系；
（3）如图3，已知BEQ ∠=1BEP 3∠，1DFQ DFP 3
∠∠=
，则P ∠与Q ∠有什么关系，请说明理由．
25．如图1，//PQ MN ，点A ，B 分别在MN ，QP 上，2BAM BAN ∠=∠射线AM 绕A 点顺时针旋转至AN 便立即逆时针回转，射线BP 绕B 点顺时针旋转至BQ 便立即逆时针回转．射线AM 转动的速度是每秒2度，射线BQ 转动的速度是每秒1度．
（1）直接写出QBA ∠的大小为_______；
（2）射线AM 、BP 转动后对应的射线分别为AE 、BF ，射线BF 交直线MN 于点F ，若射线BP 比射线AM 先转动30秒，设射线AM 转动的时间为t ()0180t <<秒，求t 为多少时，直线//BF 直线AE ？
（3）如图2，若射线BP 、AM 同时转动m ()090m <<秒，转动的两条射线交于点C ，作120ACD ∠=︒，点D 在BP 上，请探究BAC ∠与BCD ∠的数量关系．
26．在平面直角坐标系中，如图1，将线段AB 平移至线段CD ，连接AC 、BD ．
（1）已知A （﹣3，0）、B （﹣2，﹣2），点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第一象限内，且三角形ACO 的面积是6，求点C 、D 的坐标；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知一定点M （1，0），两个动点E （a ，2a +1）、F （b ，﹣2b +3）．
①请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM，若存在，求出点E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由；
②当点E、F重合时，将该重合点记为点P，另当过点E、F的直线平行于x轴时，是否存在△PEF的面积为2？若存在，求出点E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：A.∵∠FBC＝∠DAB，
∴AD∥BC，
故A正确，本选项不符合题意；
B.∵∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
故B正确，本选项不符合题意；
C.∵∠BAC＝∠ACE，
∴AB∥CD，
故C不正确，本选项符合题意；
D.∵∠DAC＝∠BCA，
∴AD∥BC，
故D正确，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是准确识图，运用判定得出正确的平行关系．
2．C
解析：C
【分析】
垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．据此逐个分析即可.
【详解】
解：A．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离，运用“垂线段最短”这一性质；
B．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠，运用“垂线段最短”这一性质；
C．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程，运用“两点之间，线段最短”这一性质；
D ．直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短，运用“垂线段最短”这一性质； 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了垂线段最短，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
3．D
解析：D
【分析】
利用三角形内角和对A 进行判断；根据内错角的定义对B 进行判断；根据平行线的判定方法对C 进行判断；根据绝对值的意义对D 进行判断．
【详解】
解：A 、如果三角形三个内角的度数比是1：2：3，则三个角的度数分别为30°，60°，90°，所以这个三角形是直角三角形，所以A 选项为真命题；
B 、内错角不一定相等，所以B 选项为真命题；
C 、平行于同一直线的两条直线平行，所以C 选项为真命题；
D 、若数a 使得|a|＞-a ，则a 为不等于0的实数，所以D 选项为假命题．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．D
解析：D
【解析】
根据平行线的判定，由题意知：
①∵68∠=∠，48∠=∠，
∴46∠=∠，
∴a b ∥，故①对．
②∵13∠=∠，17∠=∠，
∴37∠=∠，
∴a b ∥，故②对．
③∵26∠=∠，
∴a b ∥，故③对．
④∵47180∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，
∴37∠=∠，
∴a b ∥，故④对．
故选D.
点睛：此题主要考查了平行线的判定，关键是利用图形中的条件和已知的条件，构造两直
线平行的条件.
平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
5．B
解析：B
【解析】①若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交或平行，故本小题错误； ②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；根据平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么两条直线也互相平行，上面说法正确；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故正确；
④在平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种，故不正确.
因此只有②③正确.
故选：B.
6．D
解析：D
【分析】
根据平行线的判定定理逐项判断即可．
【详解】
解：A. 由2∠和5∠是同位角，则25∠=∠ ，可得a//b ，故该选项不符合题意；
B. 由4∠和5∠是内错角，则45∠=∠，可得a//b ，故该选项不符合题意；
C. 由∠3和∠1相等，35180∠+∠=︒，可得a//b ，故该选项不符合题意；
D. 由∠1和∠2是邻补角，则12180∠+∠=︒不能判定a//b ，故该选项满足题意． 故答案为D ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE ，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．
【详解】
∵EF ∥CD
∴∠3=∠COE
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE
∵AB ∥EF
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补． 8．A
解析：A
【分析】
根据平行线的性质、八个基本事实、平行线的判定等知识分别判断即可．
【详解】
解：同位角不一定相等，①是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②是假命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③是假命题；
如果同一平面内的三条直线只有两个交点，那么这三条直线中必有两条直线互相平行，④是真命题，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质、八个基本事实，熟记八个基本事实，会判断命题的真假是解答的关键．
9．C
解析：C
【分析】
分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．
【详解】
如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，
∵AB//EF ，
∴AB//CM //DN //EF ，
∴αBCM ∠∠=，MCD NDC ∠∠=，NDE γ∠∠=，
∴αβBCM CDN NDE BCM MCD γ∠∠∠∠∠∠∠∠+=++=++，
又∵BC CD ⊥，
∴BCD 90∠=，
∴αβ90γ∠∠∠+=+，
即αβγ90∠∠∠+-=，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b ，
b//c ⇒a//c ．
10．C
解析：C
【分析】
如图（见解析），先根据平移的性质可得//AE BF ，2BF AD AC ==，DE AC =，再根据平行线的性质可得BEF 的边BF 上的高等于BG ，然后根据三角形的面积公式分别求出ABE △和BEF 的面积即可得出答案．
【详解】
如图，过点B 作BG AE ⊥于点G ，连接BE ， ABC 面积为2， 122AC BG ∴⋅=，即4AC BG ⋅=， 由平移的性质得：//AE BF ，BF AD =，DE AC =，
AC CD =，
2BF AD AC CD AC ∴==+=，3AE AD DE AC =+=，
113622
ABE S AE BG AC BG ∴=⋅=⋅⋅=， //AE BF ，
BEF ∴的边BF 上的高等于BG ，
112422
BEF S BF BG AC BG ∴=⋅=⋅⋅=， ∴四边形AEFB 的面积为6410ABE BEF S
S +=+=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平移的性质、平行线间的距离、三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平移的性质是解题关键．
二、填空题
11．【分析】
过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．
【详解】
解：如图，过点向右作，过点向右作
,
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质定理,根据题
解析：()1180n -⋅︒
【分析】
过点2A 向右作21//A D A B ，过点3A 向右作31//A E A B ，得到
321////...////n A E A D A B A C ，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．
【详解】
解：如图，过点2A 向右作21//A D A B ，过点3A 向右作31//A E A B
1//n A B A C
321////...////n A E A D A B A C ∴
112180A A A D ∴∠+∠=︒,2323180DA A A A E ∠+∠=︒...
()11231...1180n n A A A A A A C n -∴∠+∠++∠=-⋅︒
故答案为：()1180n -⋅︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质定理,根据题意作合适的辅助线是解题的关键．
12．2，4，5
【解析】
【分析】
因棋子移动了n 次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝12n （n+1），然后再根据题目中所给的第n 次依次移动n 个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.
【详解】
解：因棋
解析：2，4，5
【解析】
【分析】
因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝n（n+1），然后再根据题目中所给的
第n次依次移动n个顶点的规则，可得到不等式最后求得解.
【详解】
解：因棋子移动了n次后走过的总格数是1+2+3+…+n＝n（n+1），应停在第n（n+1）﹣7p格，
这时p是整数，且使0≤n（n+1）﹣7p≤6，分别取n＝1，2，3，4，5，6，7时，
n（n+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停留棋子，
若7＜n≤10，设n＝7+t（t＝1，2，3）代入可得， n（n+1）﹣7p＝7m+12t（t+1），
由此可知，停棋的情形与n＝t时相同，
故第2，4，5格没有停留棋子．
故答案为：2，4，5．
【点睛】
此题主要考查推理与论证，解题的关键是根据题意分析运动规则，再列出式子来解答. 13．【解析】
【分析】
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得答案．
【详解】
如图
，
作，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了方向角，利用平行线的性质两直线平行内错角相等是解题
解析：110
【解析】
【分析】
根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得答案．
【详解】
如图
，
作CF //AD //BE ，
FCA DAC 50∠∠∴==，
BCF CBE 60∠∠==，
ACB ACF FCB 5060110∠∠∠∴=+=+=，
故答案为：110．
【点睛】
本题考查了方向角，利用平行线的性质两直线平行内错角相等是解题关键．
14．108
【解析】
分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，
∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性
解析：108
【解析】
分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED ，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.
详解：∵CE 平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∵AB ∥CD ，AC ∥BD,
∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF ，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED
∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED
∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF
设∠B=x，则∠A=180°-x ，∠ACE=∠ECD=∠CED=
12x ， ∴∠EDF=x ，∠BEF=32
x ∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x
∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+1
2
x=360°
解得x=72°
∴∠A=180°-72°=108°.
故答案为108.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和三角形的外角的综合应用，关键是利用平行线的性质和三角形的外角确定角之间的关系，有一定的难度.
15．130°
【解析】
∵AD∥BC，∠DEF=25°，
∴∠BFE=∠DEF=25°，
∴∠EFC=155°，
∴∠CFG=155°-25°=130°．
故答案为130°．
点睛：本题主要是根据折叠能
解析：130°
【解析】
∵AD∥BC，∠DEF=25°，
∴∠BFE=∠DEF=25°，
∴∠EFC=155°，
∴∠CFG=155°-25°=130°．
故答案为130°．
点睛：本题主要是根据折叠能够发现相等的角，同时运用了平行线的性质．
16．19800
【解析】
100条直线两两相交，最多有个交点，每个交点处有两组对顶角，4对邻补角，故100条直线两两相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角，
有4950×4＝19800
解析：19800
【解析】
100条直线两两相交，最多有100(1001)
4950
2
-
=个交点，每个交点处有两组对顶角，4
对邻补角，故100条直线两两相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角，
有4950×4＝19800（对）邻补角，
故答案为：9900，19800.
17．①③④
【分析】
根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公
解析：①③④
【分析】
根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果．
【详解】
解：∵直角三角形ABC沿斜边AC的方向平移到三角形DEF的位置，
∴AB∥DE，
∴∠ABC=∠DGC=90°，
∴DE⊥BC，
故①正确；
△ABC平移距离应该是BE的长度，BE>4，
故②错误；
由平移前后的图形是全等可知：AC=DF,
∴AC-DC=DF-DC,
∴AD=CF,
故③正确；
∵△BEG的面积是4，BG=4，
∴EG=4×2÷4=2，
∵由平移知：BC=EF=12，
∴CG=12-4=8，
四边形GCFE的面积：（12+8）×2÷2=20，
故④正确；
故答案为：①③④
【点睛】
本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键．
18．70°．
【分析】
依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°．【详解】
解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCE=140°，
由折叠可得：，
∴∠
解析：70°．
【分析】
依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°．【详解】
解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCE=140°，
由折叠可得：
1
2
DCF DCE ∠=∠，
∴∠α=70°．
故答案为：70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
19．65
【分析】
利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．【详解】
∵∠1=50°，
∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，
∵∠2=130°，
解析：65
【分析】
利用平行线的判定定理和性质定理，等量代换可得∠CBD=∠EBC，可得结果．
【详解】
∵∠1=50°，
∴∠DBE=180°-∠1=180°-50°=130°，
∵∠2=130°，
∴∠DBE=∠2，
∴AE∥CF，
∴∠4=∠ADF，
∵∠3=∠4，
∴∠EBC=∠4，
∴AD∥BC，
∵AD平分∠BDF，∴∠ADB=∠ADF，∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，∴∠4=∠CBD，
∴∠CBD=∠EBC=1
2
∠DBE=
1
2
×130°=65°．
故答案为：65．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义等，熟练掌握定理是解答此题的关键．
20．（n﹣1）×180
【分析】
分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=18
解析：（n﹣1）×180
【分析】
分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：
∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠2=10°，
∠1+∠P1+∠2=2×180，∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P1+…+∠P n=（n+1）×180°．
【详解】
解：如图，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，
∵AB∥CD，
∴AB∥P1E∥P2F∥P3G．
由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°
∴（1）∠1+∠2=180°，
（2）∠1+∠P1+∠2=2×180，
（3）∠1+∠P 1+∠P 2+∠2=3×180°，
（4）∠1+∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠2=4×180°，
∴∠1+∠2+∠P 1+…+∠P n =（n+1）×180°．
故答案为：（n+1）×180．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
三、解答题
21．（1）242∠=︒；（2）理由见解析；（3）12∠=∠，理由见解析．
【分析】
（1）由平角定义求出∠3＝42°，再由平行线的性质即可得出答案；
（2）过点B 作BD ∥a ．由平行线的性质得∠2＋∠ABD ＝180°，∠1＝∠DBC ，则∠ABD ＝∠ABC−∠DBC ＝60°−∠1，进而得出结论；
（3）过点C 作CP ∥a ，由角平分线定义得∠CAM ＝∠BAC ＝30°，∠BAM ＝2∠BAC ＝60°，由平行线的性质得∠1＝∠BAM ＝60°，∠PCA ＝∠CAM ＝30°，∠2＝∠BCP ＝60°，即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图1
148∠=︒，90BCA ∠=︒，
3180142BCA ∴∠=︒-∠-∠=︒，
//a b ，
2342∴∠=∠=︒；
图1
（2）理由如下：如图2． 过点B 作//BD a ，
图2
2180ABD ∴∠+∠=︒，
//a b ，
//b BD ∴，
1∴∠=∠DBC ，
601ABD ABC DBC ∴∠=∠-∠=︒-∠，
2601180∴∠+︒-∠=︒，
21120∴∠-∠=︒；
（3）12∠=∠，
图3
理由如下：如图3，过点C 作//CP a ， AC 平分BAM ∠，
30CAM BAC ∴∠=∠=︒，
260BAM BAC ∠=∠=︒，
又//a b ，
//CP b ∴，
160BAM ∠=∠=︒，
30PCA CAM ∴∠=∠=︒，
903060BCP BCA PCA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
又//CP a ，
260BCP ∴∠=∠=︒，
12∠∠∴=．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．
22．（1）60°；（2）①75°，②当BG 上的动点P 为∠CDG 的角平分线与BG 的交点时，满足∠BPD 是∠F 的k 系补周角，此时k=2n ，推导见解析.
【分析】
（1）直接利用k 系补周角的定义列方程求解即可．
（2）①依据k 系补周角的定义及平行线的性质，建立∠B ED 、∠B 、∠D 的关系式求解即可.
②结合本题的构图特点，利用平行线的性质得到：∠ABF+∠CDF+∠F=360°
,结合∠ABF =n ∠ABE ，∠CDF =n ∠CDE （其中n 为常数且n ＞1），又由于点P 是∠ABE 角平分线BG 上的一个动点，通过构造相同特殊条件猜想出一个满足条件的P 点，再通过推理论证得到k 的值（含n 的表达式），即说明点P 即为所求.
【详解】
解：（1）设∠H 的4系补周角的度数为x ，
则有120°+4x=360°，
解得：x=60°
∴∠H 的4系补周角的度数为60°；
（2）①如图，
过点E 作EF//AB ，
∵AB//EF,
∴EF//CD ，
∴∠B=∠1,∠D=∠2，
∴∠1+∠2=∠B+∠D ，
即∠B ED=∠B+∠D ，
∵∠BED+3∠B=360°，∠D ＝60，
∴360360B B ︒-∠=∠+︒，
解得：∠B=75°，
∴∠B=75°；
②预备知识，基本构图：
如图，AB//CD//EF,则
∠ABE+∠BEG=180°，
∠DCE+∠GEC=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠DCE+∠GEC=360°，
即∠ABE+∠DCG+∠BEC=360°
如图：
当BG 上的动点P 为∠CDG 的角平分线与BG 的交点时，满足∠BPD 是∠F 的k 系补周角，此时k=2n.理由如下：
若∠BPD 是∠F 的k 系补周角，则
∠F+k ∠BPD=360°，
∴k ∠BPD=360°-∠F
又由基本构图知：
∠ABF+∠CDF=360°
-∠F ， ∴k ∠BPD=∠ABF+∠CDF ，
又∵∠ABF =n ∠ABE ，∠CDF =n ∠CDE ，
∴k ∠BPD= n ∠ABE+ n ∠CDE ，
∵∠BPD=∠PHD+∠PDH,
∵AB//CD ，PG 平分∠ABE ，PD 平分∠CDE ，
∴∠PHD=∠ABH=
12ABE ∠ ,∠PDH=12CDE ∠， ∴2
k (ABE ∠+CDE ∠)=n(∠ABE+∠CDE)， ∴k=2n.
【点睛】
本题主要考查平行线的基本性质及基本构图的应用.题型较新颖，发散性较强，理解题意，熟练掌握平行线的性质及其基本构图是解题的关键.
23．（1）①∠BED =60º；②∠BED =12∠ABC +12
∠ADC ；（2）∠BED =180º-12∠ABC +12
∠ADC ，理由见解析． 【分析】
（1）①过点E 作EF ∥AB ，然后说明AB ∥CD ∥EF ，再运用平行线的性质、角平分线的性质和角的和差即可解答；
②利用平行线的性质和角平分线的性质即可确定它们的关系．
（2）过点E 作EF ∥AB ，再运用平行线的性质、角平分线的定义和角的和差即可确定它们的关系．
【详解】
（1）①如图1，过点E 作EF ∥AB ．
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF，∠EDC=∠DEF．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABC=50º，∠ADC=70º
∴∠ABE=1
2∠ABC=15025
2
⨯=
°°，
∠EDC=1
2∠ADC=17035
2
⨯︒=︒，
∴∠BEF=25º，∠DEF=35º，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=25º+35º=60º；
②∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠ABE=∠BEF=1
2∠ABC，∠EDC=∠DEF=1
2
∠ADC；．
∴∠BED=∠BEF +∠DEF =1
2∠ABC+1
2
∠ADC
∴∠BED=1
2∠ABC+1
2
∠ADC
（2）如图2，过点E作EF∥AB．∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠EDC=∠DEF，
∵∠ABE+∠BEF=180º，
∴∠BEF=180º-∠ABE．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=1
2∠ABC，∠DEF=1
2
∠ADC，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180º-1
2∠ABC+1
2
∠ADC．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线构造平行线并灵活利用平行线的性质是解答本题的关键．
24．（1）见解析；（2）∠EPF+2∠EQF＝360°；（3）∠P+3∠Q＝360°．
【分析】
（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP＝∠1，∠CFP＝
∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP＝∠EPF即可．
（2）首先由（1），可得∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平
分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF＝1
(360)
2
EPF
⨯︒-∠，即可判断出
∠EPF+2∠EQF＝360°．
（3）首先由（1），可得∠P＝∠AEP+CFP，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ＝
1 3∠BEP，∠DFQ＝
1
3
∠DFP，推得∠Q＝
1
3
×（360°﹣∠P），即可判断出∠P+3∠Q＝
360°．
【详解】
（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，
又∵∠1+∠2＝∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPF．
（2）如图2，
，
由（1），可得
∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ
＝1
2
（∠BEP+∠DFP）
＝1
[360()] 2
AEP CFP
︒-∠+∠
＝1
(360)
2
EPF
⨯︒-∠，
∴∠EPF+2∠EQF＝360°．
（3）如图3，
，
由（1），可得
∠P＝∠AEP+CFP，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEQ＝1
3
∠BEP，∠DFQ＝
1
3
∠DFP，
∴∠Q＝∠BEQ+∠DFQ
＝1
3
（∠BEP+∠DFP）
＝1
3
[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]
＝1
3
×（360°﹣∠P），
∴∠P+3∠Q＝360°．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说
成：两直线平行，内错角相等．
25．（1）60°；（2）当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，2BAC BCD ∠=∠．
【分析】
(1)根据2BAM BAN ∠=∠得到60BAN ∠=︒，再根据直线平行的性质即可得到答案；
(2)设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案；
(3)根据补角的性质表示出BAC ∠，再根据三角形内角和即可表示出BCD ∠，即可得到答案；
【详解】
解：（1）∵2BAM BAN ∠=∠
180BAM BAN ∠+∠=︒，
∴60BAN ∠=︒，
∴QBA ∠60BAN =∠=︒（两直线平行，内错角相等）
故结果为：60︒；
（2）设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，
①当090t <<时，如图，
//PQ MN ，
PBF BFA ∴∠=∠，
//AE BF ，
EAM BFA ∴∠=∠，
EAM PBF ∴∠=∠，
21(30)t t ∴=⋅+，
解得30t =；
②当90180t <<时，如图，
//PQ MN ，180PBF BFA ∴∠+∠=︒，
//AE BF ，EAN BFA ∴∠=∠
180PBF EAN ∴∠+∠=︒，1(30)(2180)180t t ∴⋅++-=，
解得110t =，
综上所述，当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；
（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，
理由：设射线AM 转动时间为m 秒，
作//CH PQ ，//PQ MN ，////CH PQ MN ∴，
2180QBC ∴∠+∠=︒，1180MAC ∠+∠=︒，
21360QBC MAC ∴∠+∠+∠+∠=︒，
180QBC m ∠=︒-，2MAC m ∠=，
()123601802180BCA m m m ∴∠=∠+∠=---=︒︒-︒，
而120ACD ∠=︒，
()12012018060BCD BCA m m ︒︒∴∠=-∠=--=-︒︒，
1802CAN m ∠=︒-，
()18022120BAC QBA m m ︒︒∴∠=∠--=-，
:2:1BAC BCD ∴∠∠=，
即2BAC BCD ∠=∠，
BAC ∴∠和BCD ∠关系不变．
【点睛】
本题主要考查了补角、角的运算、直线平行的性质和判定以及三角形的内角和定理，结合图形添加辅助线、分类讨论是解题的关键．
26．（1）C 的坐标为（0，4），点D 的坐标为（1，2）；（2）①点E 的坐标为（1，3），F 的坐标为（0，3）或点E 的坐标为（0，1），F 的坐标为（1，1）；②存在△PEF 的面积为2，点E 、F 两点的坐标为E （﹣，0）、F （，0），或E （，4）、F （﹣，4）．
【解析】
【分析】
（1）由点A 和点C 在y 轴上确定出向右平移3个单位，再根据△ACD 的面积求出向上平移的单位，然后写出点C 、D 的坐标即可．
（2）①根据线段EF平行于线段OM且等于线段OM，得出2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，解答即可；
②首先根据题意求出点P的坐标为（，2），设点E在F的左边，由EF∥x轴得出a+b＝1，求出△PEF的面积＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，得出（b﹣a）|2a﹣1|＝4，当EF在点P 的上方时，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，与a+b＝1联立得：，此方程组无解；当EF在点P的下方时，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，与a+b＝1联立得：
，解得：，或；分别代入点E（a，2a+1）、F（b，﹣
2b+3）即可．
【详解】
解：（1）∵A（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，
∴向右平移3个单位，
设向上平移x个单位，
∵S△ACO＝OA×OC＝6，
∴×3x＝6，
解得：x＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
﹣2+3＝1，﹣2+4＝2，
故点D的坐标为（1，2）．
（2）①存在；理由如下：
∵线段EF平行于线段OM且等于线段OM，
∴2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，
解得：a＝1，b＝0或a＝0，b＝1，
即点E的坐标为（1，3），F的坐标为（0，3）或点E的坐标为（0，1），F的坐标为（1，1）；
②存在，理由如下：如图2所示：
当点E、F重合时，，
解得：，
∴2a+1＝2，
∴点P的坐标为（，2），
设点E在F的左边，
∵EF∥x轴，
∴2a+1＝﹣2b+3，
∴a+b＝1，
∵△PEF的面积＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，
即（b﹣a）|2a﹣1|＝4，
当EF在点P的上方时，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，与a+b＝1联立得：
，此方程组无解；
当EF在点P的下方时，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，与a+＝1联立得：
，
解得：，或；
分别代入点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）得：E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）；
综上所述，存在△PEF的面积为2，点E、F两点的坐标为E（﹣，0）、F（，0），或E （，4）、F（﹣，4）．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、三角形面积公式、坐标与图形性质、方程组的解法、平行线的性质等知识；本题综合性强，根据题意得出方程组是解题的关键．。