四川省内江市2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题含详解

2019年5月四川省内江市2018-2019学年高一上学期期末检测
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.已知集合，则集合中的元素个数为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
【答案】D
由已知得中的元素均为偶数，应为取偶数，故，故选D.
2.函数的图象的两条相邻对称轴间的距离为
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【分析】
根据三角函数的周期性进行求解即可。

【详解】解：函数的图象的两条相邻对称轴间的距离为，
函数的周期，
则，
故选：C
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的周期性计算出函数的周期是解决本题的关键
3.二次函数的减区间为
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
根据二次函数的性质求出函数的对称轴，从而求出函数的单调区间即可．
【详解】解：函数的对称轴是，
故函数在递减，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道常规题。

4.的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可得出．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查了诱导公式和特殊角的三角函数值，属于基础题．
5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点
A. 向左平移1个单位长度再向下平移个单位长度
B. 向左平移1个单位长度再向下平移2个单位长度
C. 向右平移1个单位长度再向下平移2个单位长度
D. 向右平移1个单位长度再向下平移个单位长度
【答案】B
【分析】
先根据对数函数的运算法则进行化简，结合函数图象变换关系进行判断即可．
【详解】解：，
则把函数的图象上所有的点，向左平移1个单位长度得到，
然后向下平移2个单位长度，得到，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换，根据对数的运算法则结合图象左加右减，上加下减的原则是解决本题的关键．
6.已知函数的部分图象如图所示，则的解+析式是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】
观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点然后求出，即可求出函数解+析式.
【详解】解：由图象可知：的长度是四分之一个周期
函数的周期为2，所以
函数图象过所以，并且
，
的解+析式是
故选：A．
【点睛】本题考查由的部分图象确定其解+析式，读懂图象是解题关键，并结合图象求出三角函数的解+析式，本题是基础题．
7.函数，则
A. 4
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
推导出，从而，由此能求出结果．
【详解】解：函数
，
则．
故选：B．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8.设函数，则是( )
A. 奇函数，且在（0,1）上是增函数
B. 奇函数，且在（0,1）上是减函数
C. 偶函数，且在（0,1）上是增函数
D. 偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A
试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，
又，所以函数的奇函数，由，令，又由，则
，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，故选A.
考点：函数的单调性与奇偶性的应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的
定义域是解答的一个易错点，属于基础题.
9.设则
A. B. C. D.
【答案】C
试题分析：故选C．考点：1.三角函数基本关系式（商关系）；2. 三角函数的单调性．
10.函数的大致图象是
A. B.
C. D.
【答案】A
由题意，函数满足，则或，
当时，为单调递增函数，
当时，，故选A.
11.若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
函数是上的单调减函数,
则有：解得，故选B.
点睛：本题考查分段函数的单调性，解决本题的关键是熟悉指数函数，一次函数的单调性，确定了两端函数在区间上单调以外，仍需考虑分界点两侧的单调性，需要列出分界点出的不等关系.
12.设函数有唯一的零点，则实数
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【分析】
由函数解+析式推导出函数的对称性，然后结合只有唯一的零点求出参数的值
【详解】解：由
，得
，即函数的图象关于对称，要使函数有唯一的零点，则，即，得．
故选：D．
【点睛】本题考查由零点问题求参数的值，在求解过程中求得函数的对称性，继而得到零点的值，然后再求出参数的值，需要掌握解题方法
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设是第三象限角，，则______．
【答案】
【分析】
由是第三象限的角，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值即可．
【详解】解：，
，
，
又为第三象限角，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
14.若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则______．
【答案】
【分析】
利用函数奇偶性的性质，建立方程组进行求解即可．
【详解】解：偶函数和奇函数满足，
，
即，
两式相减，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数解+析式的求解，利用奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键．15.已知，则______．
【答案】6
【分析】
由已知求得，再由同角三角函数的基本关系式化弦为切求得的值．
【详解】解：由，得．
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
16.已知函数，若方程有四个不等实根，，，
，则______．
【答案】8
【分析】
画出函数图像，由方程的根与函数的零点的相互转化求出根之间的数量关系，由函数的对称性求出结果
【详解】
解：由题意可知方程有四个不等实根，，，则，即，得，化简可得，
又因为，则函数图像关于对称，所以，
则
故答案为：8．
【点睛】本题考查了方程的根与函数的零点的相互转化，函数的对称性，属中档题，考查了数形结合能力
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.函数．
当时，求函数的定义域；
若对任意恒有，试确定a的取值范围．
【答案】（1）．（2）．
【分析】
由题意可得由对数函数的真数大于0，代入，解不等式即可得到所求定义域；
由题意可得，即，即有对任意恒成立，由二次函数的最值求法，结合对称轴和区间的关系，可得最大值，即可得到a的范围．
【详解】解：当时，，
由，
可得，
则函数的定义域为；
对任意恒有，
即为，即，
即有对任意恒成立，
由的对称轴为，区间为减区间，
即有处y取得最大值，且为2，
则．
故a的取值范围是．
【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，以及不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离以及二次函数的单调性，考查转化思想和运算求解能力，属于中档题．
18.某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨，从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
【答案】从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨
试题分析：蓄水池中的水量等于原有水量加上注水量再减去向小区的供水量，得到关于的一元二次方程，为计算方便可用换元法令，即将方程转化为熟悉的关于x的一元二次方程，可利用配方法求值域。

试题详细分析：设小时后蓄水池中的水量为吨，
则（）
令＝，即，且
即
∴当，即时，，
答：从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨
考点：实际应用题，二次函数配方法求最值
19.已知函数为奇函数．
求的值；
若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．
【答案】（1）（2）．
【分析】
令，则，运用已知解+析式，结合奇函数的定义，即可得到a，b的值，进而得到；
求出的单调增区间，由区间的包含关系，得到不等式，解出即可．
【详解】解：令，则，
则．
，，．
，
即有在上递增，
由于函数在区间上单调递增，
，
，解得，．
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：求解+析式和求参数范围，考查运算能力，属于中档题．
20.已知函数．
求的最小正周期和单调递增区间；
求函数的对称轴与对称中心．
【答案】（1）周期，递增区间为，．（2）对称轴为，，
对称中心为，．
【分析】
根据三角函数的周期和单调性进行求解即可．
根据三角函数的对称性进行求解．
【详解】解：函数的周期，
由，，
得，，
即函数的单调递增区间为，．
由，得，，即函数的对称轴为，，
由，得，，即函数的对称中心为，．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合周期公式，单调性以及对称性是解决本题的关键．
21.已知函数其中，为自然对数的底数．
试判断函数的单调性，并予以说明；
试确定函数的零点个数．
【答案】（1）单调递增．（2）一个
【分析】
利用定义证明即可；
需要分类讨论，当时，根据函数零点定理，以及函数的单调性，根据根据函数零点定理得到结论．
【详解】解：因为函数的定义域为，设，
所以，，
所以，
因为，，所以，所以，
所以，即，
所以在定义域上单调递增．
函数的零点只有一个．
当时，，
，
且函数在上的图象是连续不间断曲线，
所以由零点定理可得函数在上存在一个零点，
又由得在定义域上单调递增，所以函数的零点只有一个．
【点睛】本题考查了函数零点存在定理和函数的单调性，考查了分类讨论的能力，转化能力，运算能力，属于中档题．
22.已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为．
求函数的解+析式；
求函数的单调递增区间；
当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）f(x)=2sin(3x-)；（2）[+，+]，k∈Z；（3）[，+¥).
试题分析：（1）由题意先求，根据确定其值，再求出函数的周期，利用周期公式求出的值，从而可求函数解+析式.（2）令，即可解得函数的单调减区间.（3）由题意可得，恒成立，只需求时，
的最大值即可.
试题详细分析：
（1）角的终边经过点，，
∵，∴．
由时，的最小值为，得，即，∴，
∴．
（2），即，
∴函数的单调递增区间为（）．
（3）当时，，于是，，等价于
，由，得的最大值为，
所以，实数的取值范围是．。