【2019版课标版】高考数学文科精品课件§5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用

§5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用
考纲解读
考点 内容解读
要求 高考示例
常考题型 预测热度
1.向量数量积的定义及长度、角度问题
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义
2.掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度
的表示
3.了解平面向量的数量积与向量投影的关系
4.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算
5.理解数量积的性质,并能运用
Ⅲ
2017课标全国Ⅰ,13; 2017课标全国Ⅲ,13; 2016课标全国Ⅲ,3; 2016课标全国Ⅰ,13;
2016北京,9;
2015课标Ⅱ,4
选择题、 填空题
★★★
2.向量数量积的综合应用
1.能运用数量积解决两向量的夹角问题和长
度问题
2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系
3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题
Ⅱ
2017天津,14; 2017北京,12; 2017江苏,12; 2013课标Ⅰ,13
分析解读
高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面向量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、判断三角形形状等问题;考查形式除小题之外,还可能是与函数、解析几何、平面向量等知识综合在一起形成的解答题,主要考查学生的审题能力和知识迁移能力,难度适中.
五年高考
考点一 向量数量积的定义及长度、角度问题
1.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12
,√32
),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,1
2
),则∠ABC=( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120° 答案 A
2.(2015课标Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 C
3.(2015北京,6,5分)设a,b 是非零向量.“a ·b=|a||b|”是“a ∥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
4.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C 在圆x 2+y 2
=1上运动,且AB ⊥BC.若点P 的坐标为(2,0),则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC
⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9
答案 B
5.(2014课标Ⅱ,4,5分)设向量a,b 满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a ·b=( ) A.1 B.2 C.3
D.5
答案 A
6.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b 与a 垂直,则m= . 答案 7
7.(2017课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a ⊥b,则m= . 答案 2
8.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,√3),b=(√3,1),则a 与b 夹角的大小为 . 答案
π6
9.(2015湖北,11,5分)已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 答案 9
10.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy 中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R). (1)若m=n=23
,求|OP
⃗⃗⃗⃗⃗ |; (2)用x,y 表示m-n,并求m-n 的最大值.
解析 (1)∵m=n=2
3
,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1), ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2
3
(1,2)+23(2,1)=(2,2), ∴|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22+22=2√2.
(2)∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n), ∴{x =m +2n,y =2m +n,
两式相减,得m-n=y-x. 令y-x=t,由图知,当直线y=x+t 过点B(2,3)时,t 取得最大值1,故m-n 的最大值为1.
教师用书专用(11—25)
11.(2014大纲全国,6,5分)已知a 、b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 B
12.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0,√3),C(3,0),动点D 满足|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ) A.[4,6] B.[√19-1,√19+1] C.[2√3,2√7] D.[√7-1,√7+1]
答案 D
13.(2014山东,7,5分)已知向量a=(1,√3),b=(3,m).若向量a,b 的夹角为π6
,则实数m=( ) A.2√3 B.√3 C.0
D.-√3
答案 B
14.(2014浙江,9,5分)设θ为两个非零向量a,b 的夹角.已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1.( )
A.若θ确定,则|a|唯一确定
B.若θ确定,则|b|唯一确定
C.若|a|确定,则θ唯一确定
D.若|b|确定,则θ唯一确定
答案 B
15.(2013湖北,7,5分)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) A.
3√2
2 B.
3√15
2 C.-3√2
2
D.-
3√15
2
答案 A
16.(2013福建,10,5分)在四边形ABCD 中,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2),则该四边形的面积为( ) A.√5
B.2√5
C.5
D.10
答案 C
17.(2013湖南,8,5分)已知a,b 是单位向量,a ·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( ) A.√2-1 B.√2 C.√2+1 D.√2+2
答案 C
18.(2017浙江,15,5分)已知向量a,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 . 答案 4;2√5
19.(2016山东,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a ⊥(ta+b),则实数t 的值为 . 答案 -5
20.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a ⊥b,则x= . 答案 -23
21.(2015浙江,13,4分)已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2=12
.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2=1,则|b|= . 答案
2
3
√3 22.(2014湖北,12,5分)若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案 2√5
23.(2014江西,12,5分)已知单位向量e 1,e 2的夹角为α,且cos α=13
,若向量a=3e 1-2e 2,则|a|= . 答案 3
24.(2013重庆,14,5分)在OA 为边,OB 为对角线的矩形中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,k),则实数k= . 答案 4
25.(2013安徽,13,5分)若非零向量a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a 与b 夹角的余弦值为 . 答案 -13
考点二 向量数量积的综合应用
1.(2017浙江,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,AB ⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O.记I 1=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 2=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,I 3=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )
A.I 1<I 2<I 3
B.I 1<I 3<I 2
C.I 3<I 1<I 2
D.I 2<I 1<I 3
答案 C 2.(2017北京,12,5分)已知点P 在圆x 2+y 2
=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .
答案 6
3.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E,F 是AD 上的两个三等分点,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE
⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是 .
答案 78
4.(2015安徽,15,5分)△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a,b 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+b,则下列结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号)
①a 为单位向量; ②b 为单位向量; ③a ⊥b; ④b ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⑤(4a+b)⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案 ①④⑤
5.(2013课标全国Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b 的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b ·c=0,则t= . 答案 2
教师用书专用(6—12)
6.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC
⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),则m+n= .
答案 3
7.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
6
DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF
⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 . 答案 29
18
8.(2014天津,13,5分)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E,F 分别在边BC,DC 上,BC=3BE,DC=λDF.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则λ的值为 . 答案 2
9.(2014四川,14,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m ∈R),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m= . 答案 2
10.(2013山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy 中,已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ = (-1,t),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2).若∠ABO=90°,则实数t 的值为 . 答案 5
11.(2013课标全国Ⅱ,14,5分)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 答案 2
12.(2013天津,12,5分)在平行四边形ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为CD 的中点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则AB 的长为 . 答案 1
2
三年模拟
A 组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 向量数量积的定义及长度、角度问题
1.(2018河南中原名校第三次联考,2)已知点A(0,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) A.
3√2
2
B.√2
C.-
3√2
2
D.-
3√15
2
答案 B
2.(2018湖北荆州12月联考,2)已知向量a,b 的夹角是π3
,|a|=2,|b|=1,则|a+b|·|a-b|的值是( ) A.√21 B.√23 C.5 D.2√6 答案 A
3.(2018河南商丘九校联考,6)向量a,b 均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b 的夹角为( ) A.π3
B.π2
C.2π3
D.5π6
答案 A
4.(2017广东广雅中学、江西南昌二中联考,4)已知a=(-2,1),b=(k,-3),c=(1,2),若(a-2b)⊥c,则|b|=( ) A.3√5 B.3√2 C.2√5 D.√10 答案 A
5.(2017河南部分重点中学联考,10)在△ABC 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,AB=3,AC=4,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影是( ) A.4 B.3 C.-4 D.5
答案 C
6.(2016福建四地六校第一次联考,7)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b 与a 垂直,则λ的值是( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 答案 A
考点二 向量数量积的综合应用
7.(2018广东惠州一调,4)已知正方形ABCD 的中心为O,且其边长为1,则(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=( )
A.√3
B.12
C.2
D.1
答案 D
8.(2018河南许昌、平顶山两市联考,10)若边长为a 的等边三角形ABC 的中心为O,M 是边AB 上的动点,则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) A.有最大值-a 22
B.有最小值a 22
C.与M 的位置有关
D.为定值-a 2
答案 D 9.(2018河北石家庄调研,10)在平行四边形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8.若点M,N 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.20 B.15 C.36
D.6
答案 C
10.(2017河北张家口期末,7)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,O 为△ABC 的外心,D 为BC 边的中点,c=4,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5,sin C+sin A-4sin B=0,则cos A=( ) A.√3
2
B.1
2
C.14
D.√2
8
答案 C
11.(2017湖南长沙长郡中学12月模拟,4)已知向量a=(m,2),b=(-1,n)(n>0),且a ·b=0,点P(m,n)在圆x 2+y 2
=5上,则|2a+b|=( ) A.√34 B.4 C.4√2 D.3√2
答案 A
12.(2016湖南十校联考,5)在平行四边形ABCD 中,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3),则平行四边形ABCD 的面积为( ) A.7
4
B.7
C.72
D.6
答案 C
B 组 2016—2018年模拟·提升题组
(满分:65分 时间:45分钟)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2018湖南师大附中12月月考,8)已知半径为4的圆O 是△ABC 的外接圆,且满足OA
⃗⃗⃗⃗⃗ +13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) A.2√3 B.-2√3 C.4√3 D.-4√3
答案 A
2.(2018河北衡水中学四调,10)设向量a=(cos 25°,sin 25°),b=(sin 20°,cos 20°),若t 是实数,且u=a+tb,则|u|的最小值为( ) A.√2
B.√2
2
C.1
D.12
答案 B
3.(2018江西南昌二中期中模拟,8)如图,O 为△ABC 的外心,AB=4,AC=2,∠BAC 为钝角,M 是边BC 的中点,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
答案 B
4.(2018湖南五市十校12月联考,12)在△ABC 中,AB=3AC=9,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2,点P 是△ABC 所在平面内一点,则当PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2取得最小值时,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-24 B.6√2 C.9
2
D.24
答案 D
5.(2017辽宁葫芦岛六校联考,3)同一平面内,非零向量a,b,c 两两夹角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则a+b+c=( ) A.√3 B.5 C.5或6 D.√3或6
答案 D
6.(2017湖南郴州质量监测,9)已知A,B 是单位圆O 上的两点(O 为圆心),∠AOB=120°,点C 是线段AB 上不与A 、B 重合的动点.MN 是圆O 的一条直径,则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[-34
,0) B.[-1,1) C.[-12
,1)
D.[-1,0)
答案 A
7.(2016湖南衡阳模拟,9)在△ABC 中,∠C=90°,且|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,点M 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.6 B.4 C.3
D.2
答案 C
二、填空题(共5分)
8.(2017宁夏银川一中月考,15)设a=(4,3),a 在b 方向上的投影为5√2
2
,b 在x 轴正方向上的投影为2,且b 对应的点在第四象限,则b= .
答案 (2,−27
)
三、解答题(共25分)
9.(2018河南中原名校联盟第四次测评,19)在△ABC 中,满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,M 是BC 的中点. (1)若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,求向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC
⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值; (2)若O 是线段AM 上任意一点,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.
解析 (1)设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ,因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以 cos θ=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|2AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,设|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a(a>0),则cos θ=
2a 2+2a 2√5a ·√5a =4
5
.(5
分)
(2)∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, 设|OA
⃗⃗⃗⃗⃗ |=x(0≤x ≤1),则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1-x.(8分) 因为OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π=2x 2
-2x=2(x -12
)2
-12
.
因为0≤x ≤1,所以当且仅当x=1
2
时,OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值-12
.(12分) 10.(2016江西四校联考,17)已知向量a=(1,2),b=(-2,x).
(1)当a ⊥b 时,求x 的值;
(2)若向量a 与4a+b 的夹角是锐角,求|b|的取值范围. 解析 (1)∵a ⊥b ,∴a ·b=-2+2x=0,∴x=1. (2)由题意知,4a+b=(2,8+x). ∵a 与4a+b 的夹角是锐角,
∴a ·(4a+b)>0且a 与4a+b 不能同向. 由a ·(4a+b)>0,得2x+18>0,解得x>-9①, 若a 与(4a+b)共线,则2×2=8+x,∴x=-4. 此时4a+b=(2,4)=2a ,∴x≠-4②.
由①②得x>-9且x ≠-4,∴x 2
≥0.
又|b|=√4+x 2,∴|b|≥2.即|b|的取值范围为[2,+∞).
C 组 2016—2018年模拟·方法题组
方法1 求平面向量模长的方法
1.(2018辽宁六校协作体期初联考,11)已知O 为坐标原点,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m>0,n>0),若m+n ∈[1,2],则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是
( ) A.[√5,2√5]
B.[√5,2√10)
C.(√5,√10)
D.[√5,2√10] 答案 B
2.(2016辽宁抚顺一中月考,7)已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c 满足c 与b 的夹角为120°,c ·(4a+b)=5,则|c|=( ) A.1
B.√5
C.2
D.2√5
答案 D
3.(2017江西六校联考,17)已知向量a,b 满足|a|=2,|b|=1,a 与b 的夹角为π3
. (1)求|a+2b|;
(2)若向量a+2b 与ta+b 垂直,求实数t 的值.
解析 (1)∵向量a,b 满足|a|=2,|b|=1,a 与b 的夹角为π3
,
∴|a+2b|=√(a +2b)2=√a 2+4a ·b +4b 2=√4+4×2×1×cos π3
+4=2√3. (2)∵向量a+2b 与ta+b 垂直,∴(a+2b)·(ta+b)=0,
∴t a 2+(2t+1)a ·b+2b 2
=0,∴4t+(2t+1)×2×1×cos π3
+2=0,
解得t=-12
.
方法2 求平面向量夹角的方法
4.(2018湖南益阳、湘潭调研,15)已知向量a,b 满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,√3),记向量a,b 的夹角为θ,则tan θ= .
答案 -√15
5.(2017吉林九校联考,14)已知e 1,e 2是夹角为120°的单位向量,a=e 1+e 2,b=2e 1+xe 2,且b 在a 方向上的投影为-1,向量a 与b 的夹角为θ,则cos θ= . 答案 -√7
14
6.(2016四川资阳第一次模拟,14)已知非零向量a,b 满足|a+b|=|a-b|=2√3
3
|a|,则向量a+b 与a-b 的夹角为 .
答案 π3
方法3 用向量法解决平面几何问题的方法
7.(2017山东质检,8)在△ABC 中,已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos 18°,cos 72°),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cos 63°,2cos 27°),则△ABC 的面积等于( ) A.√2
2
B.√2
4
C.√3
2
D.√2
答案 A
8.(2018豫东、豫北十校联考(三),15)如图,在等腰梯形ABCD 中,AD=BC=AB=1
2
DC=2,点E,F 分别为线段AD,BC 的三等分点,O 为DC 的中点,则FE
⃗⃗⃗⃗⃗ ·OF ⃗⃗⃗⃗⃗ = .
答案 -143。