高三数学数学数列多选题专项训练的专项培优易错试卷练习题含答案

一、数列多选题
1．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列
数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数
C ．202020182022
3a a a =+
D ．123a a a +++…20202022a a +=
答案：AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，，，，故A 正确；
对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加
解析：AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；
对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，
32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，
各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.
2．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2
3
n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为
（ ） A ．2
B ．5
C ．3
D ．4
答案：BD 【分析】
利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴时，， 化为：，
由于数列单调递减， 可得：时，取得最大值2． ∴的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】 本
解析：BD 【分析】 利用递推关系可得12
11
n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵2
3
n n n S a +=
， ∴2n ≥时，1121
33
n n n n n n n a S S a a --++=-=-， 化为：
112
111n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
单调递减， 可得：2n =时，2
1
n -取得最大值2． ∴
1
n
n a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．(多选)在数列{}n a 中，若2
2
1(2,,n n a a p n n N p *
--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差
数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列
B ．
(){}1n
- 是等方差数列
C ．{}2
n
是等方差数列.
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
答案：BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故
解析：BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故
{}n
a 不是等方差数列，故A 错误；
对于B ，数列
(){}1n
-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方
差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2
n
中，()(
)
2
2
221
11
2234n n n n n a
a ----=-=⨯不是常数，{}
2n
∴不是等方差
数列，故C 错误； 对于D ，
{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数
列，()()2
2
2
112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，
故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22
10n n a a --=是常数，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.
4．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则50a >，60a <；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；
D ．若89S S <，则78S S <.
答案：ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】
对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差， 所以，即，
根据等差数列的性质可得，又， 所以，，故A 正
解析：ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】
对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()
02
a a S +=
=，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，
所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯=
==>，116891616()16()
022
a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为1158
15815()15215022
a a a S a +⨯=
==>，则80a >， 116891616()16()022
a a a a S ++=
==，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；
对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】
解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 5．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有
m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）
A ．11285a a a a +=+
B ．56110a a a a <
C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103
a = D ．数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为递减的等差数列 答案：AC 【分析】
令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误. 【详解】
令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；
解析：AC 【分析】
令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由2
56110200a a a a d -=>，可
判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】
令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；
由(
)()22
2
256110111
19209200a a a a a a d d
a
a d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B
错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以1
3x =，213
x -=， 故101110
9333
a =
+⨯=，故C 正确； 由()111222n
n n na d
S d d n a n
n -+
⎛⎫=
=+- ⎪⎝⎭
，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】
解决数列的单调性问题的三种方法；
1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数
列；
2、作商比较法：根据1
(0n n n
a a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断. 6．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的
是（ ） A ．110S =
B ．10n n S S -=（110n ≤≤）
C ．当110S >时，5n S S ≥
D ．当110S <时，5n S S ≥
答案：BC 【分析】
设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】 设公差d 不为零, 因为， 所以， 即， 解得， ，故A 错误； ，故B 正确；
若，解得，，故C 正确；D 错误； 故选：BC
解析：BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =，解得192
a d =-，然后逐项判断.
【详解】 设公差d 不为零, 因为
38a a =，
所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--， 解得192
a d =-，
11191111551155022S a d d d d ⎛⎫
=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭
，故A 错误；
()()()()()()221101110910,10102222
n n n n n n d
d na d n n n a n n S S d ----=+
=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫
=+=⨯-
+=> ⎪⎝⎭
，解得0d >，
()()2
2510525222
n d d d n n S n S =
-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC 7．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项
答案：ABD 【分析】
由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】
A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A 正确；
B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数
解析：ABD 【分析】
由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】
A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；
B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么
()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确；
C.
1111
11n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
不是等差数列，故C 不正确；
D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型. 8．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ）
A ．244a a ⋅<
B ．2
24154
a a +≥
C ．
15
111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅
答案：ABC 【分析】
由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项． 【详解】 由题知，只需， ，A 正确； ，B 正确； ，C 正确； ，所以，D 错误. 【点睛】
本题考查等差数列的性
解析：ABC 【分析】
由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项． 【详解】
由题知，只需1220
010a d d d =->⎧⇒<<⎨
>⎩
， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；
()()2
2
22415
223644
a a d d d d +=-++=-+>≥
，B 正确； 2
1511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，
D 错误. 【点睛】
本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断． 9．定义11222n n
n a a a H n
-++
+=
为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优
值”2n
n H =，前n 项和为n S ，则（ ）
A ．数列{}n a 为等差数列
B ．数列{}n a 为等比数列
C ．
20202023
20202
S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列
答案：AC 【分析】
由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由， 得， 所以时，， 得时，， 即时，， 当时，由
解析：AC 【分析】 由题意可知112222n n n
n a a a H n
-++
+==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2
n ≥时，()()1
112
21212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数
列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n n
n a a a H n
-++
+==，
得112222n n n a a a n -++
+=⋅，①
所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②
得2n ≥时，()()1
112
21212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，
即2n ≥时，1n a n =+，
当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．
所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()
32
n n n S +=
，所以2020202320202S =，故C 正确．
25S =，414S =，627S =，故D 错，
故选：AC ． 【点睛】
本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 10．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，
6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）
A ．320n a n =-
B ．325n a n =-+
C ．当4n =时，n T 取最小值
D ．当6n =时，n T 取最小值
答案：AC 【分析】
由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值． 【详解】
解：在递增的等差数列中， 由，得， 又，联立解得，， 则，． ．
故正确，错误；
可得数列的
解析：AC 【分析】
由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】
解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，
又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)
3963
a a d ---=
==-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．
故A 正确，B 错误；
12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---
可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．
∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．
故选：AC ． 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。