高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念学案(含解析)4-4

一曲线的参数方程1．参数方程的概念
1．参数方程的概念
在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t的函数:错误!①，并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程,t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．参数的意义
参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
求曲线的参数方程
如图，△ABP是等腰直角三角形,∠B是直角，腰长为a，顶点
B,A分别在x轴、y轴上滑动,求点P在第一象限的轨迹的参数方程．
此类问题的关键是参数的选取．本例中由于A，B的滑动而引
起点P的运动,故可以OB的长为参数，或以角为参数，不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解．
法一：设P点的坐标为（x,y)，过P点作x轴的垂线交x轴于点Q。

如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP。

取OB＝t，t为参数（0＜t＜a)．
∵|OA|＝错误!，
∴｜BQ｜＝a2－t2.
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为错误!（0＜t＜a）．
法二：设点P的坐标为(x,y），过点P作x轴的垂线交x轴于点Q,如图所示．
取∠QBP＝θ，
θ为参数错误!，
则∠ABO＝错误!－θ。

在Rt△OAB中,
|OB｜＝a cos错误!＝a sin θ.
在Rt△QBP中,
|BQ|＝a cos θ，｜PQ|＝a sin θ。

∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
错误!错误!。

求曲线参数方程的主要步骤
第一步,画出轨迹草图，设M(x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．
第二步,选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标x,y 与参数的关系比较明显，容易列出方程;二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如,在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外,离某一定点的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等,建立点的坐标与参数的函数关系式,证明可以省略．
1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为错误! rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．
解：如图，运动开始时质点位于点A处，
此时t＝0，设动点M(x,y）对应时刻t，由图可知错误!（θ为参数），
又θ＝错误!t，
故参数方程为错误!（t为参数）．
2．选取适当的参数,把直线方程y＝2x＋3化为参数方程．
解：选t＝x，则y＝2t＋3.
由此得直线的参数方程为错误!（t为参数)．
也可选t＝x＋1，则y＝2t＋1。

参数方程为错误!(t为参数)。

参数方程表示的曲线上的点已知曲线C的参数方程是错误!
(t为参数)．
（1）判断点M1（0,1)，M2（5，4）与曲线C的位置关系；
（2）已知点M3（6,a）在曲线C上，求a的值．
由参数方程的概念,只需判断对应于点的参数是否存在即可,若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上．
(1）把点M1的坐标（0,1）代入方程组，得错误!
解得t＝0.∴点M1在曲线C上．
同理，可知点M2不在曲线C上．
(2)∵点M3(6，a）在曲线C上,∴错误!
解得t＝2,a＝9.
∴a＝9。

参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．
3．曲线（x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为（)
A．(－1＋cos θ,sin θ) B．(1＋sin θ,cos θ)
C．（－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ,2sin θ)
解析：选D 将点的坐标代入方程,使方程成立的即可．
4．已知某条曲线C的参数方程为错误!（其中t为参数,a∈R）,点M(5,4)在该曲线上，求常数a.
解:∵点M（5,4）在曲线C上，
∴错误!
解得错误!
∴a的值为1。

课时跟踪检测（七）
一、选择题
1．下列方程可以作为x 轴的参数方程的是（ ） A 。

错误!(t 为参数） B.错误!（t 为参数） C.错误!(θ为参数)
D 。

错误!(t 为参数)
解析：选D x 轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
2．已知曲线C 的参数方程为错误!(θ为参数，π≤θ<2π），若点Μ（14,a ）在曲线
C 上，则a 等于（ ）
A ．－3－5错误!
B ．－3＋5错误!
C ．－3＋5
3
错误!
D ．－3－错误!错误!
解析：选A ∵(14，a ）在曲线C 上， ∴错误!
由①，得cos θ＝错误!。

又π≤θ＜2π， ∴sin θ＝－错误!＝－错误!， ∴tan θ＝－ 3.
∴a ＝5·(－错误!）－3＝－3－5错误!。

3．在方程错误!(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( ） A ．(2，－7）
B.错误! C 。

错误! D ．(1，0）
解析：选C 将点的坐标代入参数方程,若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C 满足条件．
4．由方程x 2
＋y 2
－4tx －2ty ＋3t 2
－4＝0（t 为参数）所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A 。

错误!
B 。

错误! C.{ x ＝2t ，y ＝－t
D.错误!
解析：选A 设（x ,y ）为所求轨迹上任一点． 由x 2
＋y 2
－4tx －2ty ＋3t 2
－4＝0,得 (x －2t ）2
＋(y －t )2
＝4＋2t 2
. ∴错误! 二、填空题
5．已知曲线错误!（θ为参数，0≤θ＜2π）．
下列各点:A （1,3)，B (2,2)，C (－3，5），其中在曲线上的点是________． 解析：将点A 坐标代入方程，得θ＝0或π， 将点B ,C 坐标代入方程，方程无解，
故点A在曲线上．
答案：A（1,3）
6．下列各参数方程与方程xy＝1表示相同曲线的是________（填序号）．
①错误!②错误!③错误!
④｛x＝tan t，
y＝cot t。

解析：普通方程中,x,y均为不等于0的实数，而①②③中x的取值依次为：，，故①②③均不正确，而④中，x∈R,y∈R，且xy＝1,故④正确．
答案：④
7．动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A（1,1),则点M的参数方程为________________________．
解析：设M(x,y),
则在x轴上的位移为x＝1＋9t,
在y轴上的位移为y＝1＋12t。

∴参数方程为｛x＝1＋9t，，y＝1＋12t（t为参数）．
答案：错误!(t为参数)
三、解答题
8．已知动圆x2＋y2－2ax cos θ－2by sin θ＝0（a，b∈R＋，且a≠b，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．
解：设P(x,y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－2ax cos θ－2by sin θ＝0，得
（x－a cos θ）2＋(y－b sin θ)2＝a2cos2θ＋b2sin2θ。

∴错误!(θ为参数)．
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q
点，和经过A点的切线交于B点,作PQ⊥OA,PB∥OA,试求点P的轨迹方
程．
解：设P（x，y）是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，
由PQ⊥OA，PB∥OA，得
x＝OD＝OQ cos θ＝OA cos2θ＝2a cos2θ，
y＝AB＝OA tan θ＝2a tan θ。

所以P点轨迹的参数方程为
错误!θ∈错误!。

10．试确定过M（0，1)作椭圆x2＋错误!＝1的弦的中点的轨迹方程．解:设过M（0，1）的弦所在的直线方程为y＝kx＋1,
其与椭圆的交点为(x1，y1）和(x2，y2）．
设中点P(x，y)，则有：x＝错误!，y＝错误!。

由错误!
得（k2＋4)y2－8y＋4－4k2＝0.
∴x1＋x2＝错误!，y1＋y2＝错误!。

∴错误!（k为参数）．
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹方程．
攀上山峰，见识险峰，你的人生中,也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志.。