江苏省如皋市2021-2022学年度高二年级第二学期 期初调研 数学

如皋市2021-2022学年度高二年级第二学期期初调研测试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.1.
南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称
之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，则第十层球的个数为（▲）.A.45
B.55
C.90
D.110
2.“椭圆的离心率为
2
2
”是“6m =”的（▲）.A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.
在等比数列{}n a 中，22a =，，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =（▲）.A.15
B.31
C.48
D.63
4.陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为
，已知该陀螺由密度
为的木质材料做成，其总质量为
，则此陀螺圆柱底面的面积为（▲）
A.
B.
C.
D.
5.圆C ：上的动点P 到直线l ：
的距离的最大值是（▲）.
A.6
B.7
C.8
D.9
6.
《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵111ABC A B C -中，若1AC BC ==，12AA =，点P 为线段1BA 的中点，则点P 到平面11A B C 的距离为（▲）.A.3
B.1
C.
23
D.
13
7.若，则=2a （▲）.A.22
B.19
C.20-
D.19-
8.
过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，
垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点.B 已知O 为坐标原点，若OAB △的内切圆的半径为
，则双曲线C 的离心率为（▲）.
A.
233
B.
31
+ C.
43
3
或4 D.
23
3
或2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.9.
已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且，
，则下列结论正确的是（▲）.
A.B.
{}n a 是先递减后递增的数列
C.12a 是8a 和
的等比中项
D.n S 的最小值为49
-10.A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（▲）.
A.若A 、B 两人站在一起有48种方法
B.若A 、B 不相邻共有12种方法
C.若A 在B 左边有60种排法
D.若A 不站在最左边，B 不站最右边，有72种方法
11.如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为棱AB ，BC 的中点，则以下
四个结论正确的是（▲）.
A.棱11C D 上存在一点M ，使得//AM 平面
B.直线11A C 到平面的距离为
23
C.过11A C 且与面
平行的平面截正方体所得截面面积为
98D.过PQ 的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
38
π
12.已知抛物线C ：22(0)y px p =>与圆O ：225x y +=交于A ，B 两点，且4AB =，直线l 过C
的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，则下列说法中正确的是（▲）.
A.若直线l 的斜率为3
，则8=MN
B.
的最小值为3+ C.若以MF 为直径的圆与y 轴的公共点为，则点M 的横坐标为
32
D.若点
，则
周长的最小值为4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上.13.将5名北京冬奥会志愿者全部分配到花样滑冰､短道速滑､高山滑雪3个项目进行培训，每名志愿者只
分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，并且甲､乙两名志愿者必须分配在一起，则共有种不同的分配方式
▲
.
14.过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作渐近线b
y x a
=的垂线，垂足为M ，与双曲线的左、
右两支分别交于,A B 两点，则双曲线离心率的取值范围是
▲
.
15.数列{}n a 满足
，若14a =，则前12项的和
▲
.
16.过直线90x y -+=上一点P 作圆
的切线PA 、PB ，切点为,A B ，则直线AB 过定
点
▲
，若AB 的中点为D ，则点D 的轨迹方程为
▲
.
（本小题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．
，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）
已知数列{}n a 满足11a =，（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和.18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，且ABCD 是直角梯形，
，
，点E 是PB 的中点.
（1）证明：直线BC ⊥平面PAC ；
（2）者直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为
3
3
，求三棱锥P ACE -的体积.
已知数列{}n a 满足14a =，
（1）求的值；
（2）记
，证明：数列{}n b 为等比数列．
20.（本小题满分12分）
已知抛物线2
:2(0)C y px p =>过点
，其焦点为F ，且 2.
MF =（1）求抛物线C 的方程；
（2）设E 为y 轴上异于原点的任意一点，过点E 作不经过原点的两条直线分别与抛物线C 和圆
相切，切点分别为,A B ，求证：
三点共线．
在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，
，60DAB ︒
∠=，AE BE =，
PAD △为正三角形，且平面PAD ⊥平面.
ABCD （1）求二面角
的余弦值；
（2）线段PB 上是否存在一点(M 不含端点)，使得异面直线DM 和
PE 所成的角的余弦值为6
4
？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
如图，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点分别为F '，F ；A ，B 分别是椭圆C 的左，右
顶点，短轴长为32倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．
（1）若1k =时，记AFM △，BFN △的面积分别为1S ，2S ，求
的值；
（2）记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ使21k k λ=成立，若存在，求出λ的值，
若不存在，请说明理由．。