电场与导体及电介质的相互作用
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知带电后四个面的静电势分别为φ1、φ2 、φ3和φ4，求四面体
中心O点的电势φO（24届决赛）
如图所示，正四面体ABCD各面为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四
个面的静电势分别为φ1、φ2 、φ3和φ4，求四面体中心O点的电势φO
由于题中仅给出电势,又电势符合叠加原理,
因此φ 与φ1、φ2 、φ3和φ4必为线性关系,即
另有同样的三个四面体静电势分布亦相同, 设法叠加在一起, 中心点O 共点, 使四面体的 每一个面的电势均为
φ1 φ2 φ3 φ4
中心O点的电势和每一个面的电势相同,即
4φ φ1 φ2 φ3 φ4
φ
1 4 (φ1
φ2
φ3
φ4 )
如图所示，正四面体ABCD各面为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四
A
P1
P2
B
C
2. 三根等长的带电绝缘细棒形成图示的等边三角形ABC,各棒中的电荷分布
与将绝缘棒换成等长的带电细导体棒时的电荷分布完全相同.图中P1 点为此 正三角形的中点,P2 点与P1 点相对AC 边对称.已知P1点的电势为U1, P2点的电 势为U2, 现将BC 棒取走, 试求此时P1 点和P2点的电势.
P
Q
C
O
D
R
两个半径均为R 的相同的绝缘半球面上均匀带电,带电 量均为Q, 被如图所示 的方式叠放在一起,它们的对称轴 线重合,两球心间的距离小于R, 已知一球心O1点的电势 为U0,试求另一球心O2点的电势.
R O1
R
O2
两个半径均为R 的相同的绝缘半球面上均匀带电,带电量均为Q, 被 如图所示 的方式叠放在一起,它们的对称轴线重合,两球心间的距离 小于R, 已知一球心O1点的电势为U0,试求另一球心O2点的电势.
3. 真空中，有五个电量均为q 的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为R、 R/2、R/4、R/8、R/16，彼此内切于P 点（如图所示）。球心分别为O1、 O2、O3、O4、O5。，求O5与O1间的电势差。
O5的电势
φ5
k
q R
q R/2
q R/4
q R/8
q R / 16
k 1 2 22 23 24 q R
Q
Q
U 0 k R φ1 , U k R φ2
φ1
φ2
k
2Q R
U
4k
Q R
U0
R O1
R
O2
导体静电感应
interaction of electrostatic field with conductor
导体静电感应
interaction of electrostatic field with conductor
导体与电介质
本章内容
Contents chapter 6
电场与导体的相互作用
interaction of electrostatic field with conductor
电容
capacity
静电场与介质的相互作用(略)
interaction of electrostatic field with dielectric
φ
1 4 (φ1
φ2
φ3
φ4 )
如图所示，正四面体ABCD各面为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四
个面的静电势分别为φ1、φ2 、φ3和φ4，求四面体中心O点的电势φO
ⅠⅡ Ⅲ Ⅳ
1
φ1 φ2
φ3
φ4
2
φ4 φ1
φ2
φ3
3
φ3 φ4
φ1
φ2
4
φ2 φ3
φ4
φ1
4φ φ1 φ2 φ3 φ4 1
φ k1φ1 k22、k3、k4为常数,只与导体的相对位置有关. 由于正四面体具有中心对称性,故应有.
k1 k2 k3 k4 k
φ k(φ1 φ2 φ3 φ4 ) 易知,若 φ1 φ2 φ3 φ4 φ0 则系统为一等势体,有 φ φ0
31 kq R
O1的电势
φ1
k
q R
q R/2
R/2
q
R/4
R/
2
q R/4
R/8
R/
2
R/4
q R/8
R / 16
k 3 372 q 6.54 kq
105 R
R
O5与O1的电势差
kq
kq
kq
φ5 φ1 31 R 6.54 R 24.46 R
如图所示，正四面体ABCD各面为导体，但又彼此绝缘．已
个面的静电势分别为φ1、φ2 、φ3和φ4，求四面体中心O点的电势φO
若四个面的电势相同,则四面体为一等势体, 其中心点电势就可确定.
如果设想彼此用导线连通,整体上电荷未变, 在中心O 点的电势分布亦不变,此时四面体 的每一个面的电势均为
φ
1 4 (φ1
φ2
φ3
φ4 )
中心O点的电势和每一个面的电势相同,即
R1 O R2
φ 2k π(R1σ1 R2σ2 ) r R2
φ
2k
π( R1 σ 1
R22σ2 r
)
R2 r R1
半径为R的半球面均匀带电,电量为 q , CD 为过球
心O 的对称轴线, P、Q 为此轴线上位于O 点两边,
与O 等距的两点, 如图, 已知半球面上电荷在 P 点 的电势为 UP ,求Q点的电势 UQ.
O
r
Q Δ Q, φ(r ) Δ φ(r )
φ(r) Q 2 π
α
Δ φ(r) Δ Q Δ α
ΔQ Δα qα
φ(r) q α Δ φ(r) Δ Q Δ α
φ(r) k Q ,(r R) R
φ(r) k q ,(r R) R
φ(r) q φ(r) Q
φ(r) k Q ,(r R) r
介质中的高斯定理(略)
Gauss theorem in dielectric
电场的能量
energy of electric field
1.画出正的点电荷及两个足够大的带等量异种电荷的平行金属板间周 围空间的电场线及等势面分布图
2. 三根等长的带电绝缘细棒形成图示的等边三角形ABC,各棒中的电 荷分布与将绝缘棒换成等长的带电细导体棒时的电荷分布完全相同. 图中P1 点为此正三角形的中点,P2 点与P1 点相对AC 边对称.已知P1点 的电势为U1, P2点的电势为U2, 现将BC 棒取走, 试求此时P1 点和P2点 的电势.
导体静电平衡
静电平衡条件
实心导体
空腔无荷导体
空腔有荷导体
静电屏蔽
平衡导体近场
近场公式证明
凡例
高中物理竞赛培优教材(第二 版) 1.第257页第7小题 2.第264页第10小题
本次辅导课结束. 同学们，再见!
P
Q
C
O
D
R
半径为R的半球面均匀带电,电量为 q , CD 为过球心O 的对称轴线, P、
Q 为此轴线上位于O 点两边,与O 等距的两点, 如图, 已知半球面上电 荷在 P 点的电势为 UP , 求Q点的电势 UQ.
拼成一个完整球壳, 则球 面内电势为
φ k 2q R
φ U P U Q
2kq U Q R U P
φ
P2
φ
A
U1 3φ, U 2 φ 2φ
U1 2, U2
P1
P2
U 1
2 3 U1
U 2
U2 2
U1 6
B
C
3. 真空中，有五个电量均为q 的均匀带电薄球壳，它们的半径分 别为R、R/2、R/4、R/8、R/16，彼此内切于P 点（如图所示）。球 心分别为O1、O2、O3、O4、O5。，求O5与O1间的电势差。 （第十五届预赛）
φ 4 (φ1 φ2 φ3 φ4 )
带电薄球壳
φ
φ
φ
( r≤R )
φ
( r＞R )
φφ
φ
场势微分式
φφ φ
φ φ
U
U El
等势面
综合势场图
半径为R的半球面均匀带电,过同一直径切出一块二面角为α 的部分球面,该部分球面带有电量q, 试求这些电荷产生的场在 此直径上的电势分布.
Δα ΔQ
φ0 k(φ0 φ0 φ0 φ0 )
k 1/4
1 φ 4 (φ1 φ2 φ3 φ4 )
如图所示，正四面体ABCD各面为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四
个面的静电势分别为φ1、φ2 、φ3和φ4，求四面体中心O点的电势φO
若四个面的电势相同,则四面体为一等势体, 其中心点电势就可确定.
φ(r) k q ,(r R) r
半径分别为R1和R2 (R1>R2) 的两个同心球面相对放置,如 图所示,两个半球面均匀带电,电荷面密度分别为σ1和σ2.试 求大的半球面所对应的底面圆直径上的电势分布.
R1 O R2
半径分别为R1和R2 (R1>R2) 的两个同心球面相对放置,如图所示,两个 半球面均匀带电,电荷面密度分别为σ1和σ2.试求大的半球面所对应的 底面圆直径上的电势分布.
中心O点的电势φO（24届决赛）
如图所示，正四面体ABCD各面为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四
个面的静电势分别为φ1、φ2 、φ3和φ4，求四面体中心O点的电势φO
由于题中仅给出电势,又电势符合叠加原理,
因此φ 与φ1、φ2 、φ3和φ4必为线性关系,即
另有同样的三个四面体静电势分布亦相同, 设法叠加在一起, 中心点O 共点, 使四面体的 每一个面的电势均为
φ1 φ2 φ3 φ4
中心O点的电势和每一个面的电势相同,即
4φ φ1 φ2 φ3 φ4
φ
1 4 (φ1
φ2
φ3
φ4 )
如图所示，正四面体ABCD各面为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四
A
P1
P2
B
C
2. 三根等长的带电绝缘细棒形成图示的等边三角形ABC,各棒中的电荷分布
与将绝缘棒换成等长的带电细导体棒时的电荷分布完全相同.图中P1 点为此 正三角形的中点,P2 点与P1 点相对AC 边对称.已知P1点的电势为U1, P2点的电 势为U2, 现将BC 棒取走, 试求此时P1 点和P2点的电势.
P
Q
C
O
D
R
两个半径均为R 的相同的绝缘半球面上均匀带电,带电 量均为Q, 被如图所示 的方式叠放在一起,它们的对称轴 线重合,两球心间的距离小于R, 已知一球心O1点的电势 为U0,试求另一球心O2点的电势.
R O1
R
O2
两个半径均为R 的相同的绝缘半球面上均匀带电,带电量均为Q, 被 如图所示 的方式叠放在一起,它们的对称轴线重合,两球心间的距离 小于R, 已知一球心O1点的电势为U0,试求另一球心O2点的电势.
3. 真空中，有五个电量均为q 的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为R、 R/2、R/4、R/8、R/16，彼此内切于P 点（如图所示）。球心分别为O1、 O2、O3、O4、O5。，求O5与O1间的电势差。
O5的电势
φ5
k
q R
q R/2
q R/4
q R/8
q R / 16
k 1 2 22 23 24 q R
Q
Q
U 0 k R φ1 , U k R φ2
φ1
φ2
k
2Q R
U
4k
Q R
U0
R O1
R
O2
导体静电感应
interaction of electrostatic field with conductor
导体静电感应
interaction of electrostatic field with conductor
导体与电介质
本章内容
Contents chapter 6
电场与导体的相互作用
interaction of electrostatic field with conductor
电容
capacity
静电场与介质的相互作用(略)
interaction of electrostatic field with dielectric
φ
1 4 (φ1
φ2
φ3
φ4 )
如图所示，正四面体ABCD各面为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四
个面的静电势分别为φ1、φ2 、φ3和φ4，求四面体中心O点的电势φO
ⅠⅡ Ⅲ Ⅳ
1
φ1 φ2
φ3
φ4
2
φ4 φ1
φ2
φ3
3
φ3 φ4
φ1
φ2
4
φ2 φ3
φ4
φ1
4φ φ1 φ2 φ3 φ4 1
φ k1φ1 k22、k3、k4为常数,只与导体的相对位置有关. 由于正四面体具有中心对称性,故应有.
k1 k2 k3 k4 k
φ k(φ1 φ2 φ3 φ4 ) 易知,若 φ1 φ2 φ3 φ4 φ0 则系统为一等势体,有 φ φ0
31 kq R
O1的电势
φ1
k
q R
q R/2
R/2
q
R/4
R/
2
q R/4
R/8
R/
2
R/4
q R/8
R / 16
k 3 372 q 6.54 kq
105 R
R
O5与O1的电势差
kq
kq
kq
φ5 φ1 31 R 6.54 R 24.46 R
如图所示，正四面体ABCD各面为导体，但又彼此绝缘．已
个面的静电势分别为φ1、φ2 、φ3和φ4，求四面体中心O点的电势φO
若四个面的电势相同,则四面体为一等势体, 其中心点电势就可确定.
如果设想彼此用导线连通,整体上电荷未变, 在中心O 点的电势分布亦不变,此时四面体 的每一个面的电势均为
φ
1 4 (φ1
φ2
φ3
φ4 )
中心O点的电势和每一个面的电势相同,即
R1 O R2
φ 2k π(R1σ1 R2σ2 ) r R2
φ
2k
π( R1 σ 1
R22σ2 r
)
R2 r R1
半径为R的半球面均匀带电,电量为 q , CD 为过球
心O 的对称轴线, P、Q 为此轴线上位于O 点两边,
与O 等距的两点, 如图, 已知半球面上电荷在 P 点 的电势为 UP ,求Q点的电势 UQ.
O
r
Q Δ Q, φ(r ) Δ φ(r )
φ(r) Q 2 π
α
Δ φ(r) Δ Q Δ α
ΔQ Δα qα
φ(r) q α Δ φ(r) Δ Q Δ α
φ(r) k Q ,(r R) R
φ(r) k q ,(r R) R
φ(r) q φ(r) Q
φ(r) k Q ,(r R) r
介质中的高斯定理(略)
Gauss theorem in dielectric
电场的能量
energy of electric field
1.画出正的点电荷及两个足够大的带等量异种电荷的平行金属板间周 围空间的电场线及等势面分布图
2. 三根等长的带电绝缘细棒形成图示的等边三角形ABC,各棒中的电 荷分布与将绝缘棒换成等长的带电细导体棒时的电荷分布完全相同. 图中P1 点为此正三角形的中点,P2 点与P1 点相对AC 边对称.已知P1点 的电势为U1, P2点的电势为U2, 现将BC 棒取走, 试求此时P1 点和P2点 的电势.
导体静电平衡
静电平衡条件
实心导体
空腔无荷导体
空腔有荷导体
静电屏蔽
平衡导体近场
近场公式证明
凡例
高中物理竞赛培优教材(第二 版) 1.第257页第7小题 2.第264页第10小题
本次辅导课结束. 同学们，再见!
P
Q
C
O
D
R
半径为R的半球面均匀带电,电量为 q , CD 为过球心O 的对称轴线, P、
Q 为此轴线上位于O 点两边,与O 等距的两点, 如图, 已知半球面上电 荷在 P 点的电势为 UP , 求Q点的电势 UQ.
拼成一个完整球壳, 则球 面内电势为
φ k 2q R
φ U P U Q
2kq U Q R U P
φ
P2
φ
A
U1 3φ, U 2 φ 2φ
U1 2, U2
P1
P2
U 1
2 3 U1
U 2
U2 2
U1 6
B
C
3. 真空中，有五个电量均为q 的均匀带电薄球壳，它们的半径分 别为R、R/2、R/4、R/8、R/16，彼此内切于P 点（如图所示）。球 心分别为O1、O2、O3、O4、O5。，求O5与O1间的电势差。 （第十五届预赛）
φ 4 (φ1 φ2 φ3 φ4 )
带电薄球壳
φ
φ
φ
( r≤R )
φ
( r＞R )
φφ
φ
场势微分式
φφ φ
φ φ
U
U El
等势面
综合势场图
半径为R的半球面均匀带电,过同一直径切出一块二面角为α 的部分球面,该部分球面带有电量q, 试求这些电荷产生的场在 此直径上的电势分布.
Δα ΔQ
φ0 k(φ0 φ0 φ0 φ0 )
k 1/4
1 φ 4 (φ1 φ2 φ3 φ4 )
如图所示，正四面体ABCD各面为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四
个面的静电势分别为φ1、φ2 、φ3和φ4，求四面体中心O点的电势φO
若四个面的电势相同,则四面体为一等势体, 其中心点电势就可确定.
φ(r) k q ,(r R) r
半径分别为R1和R2 (R1>R2) 的两个同心球面相对放置,如 图所示,两个半球面均匀带电,电荷面密度分别为σ1和σ2.试 求大的半球面所对应的底面圆直径上的电势分布.
R1 O R2
半径分别为R1和R2 (R1>R2) 的两个同心球面相对放置,如图所示,两个 半球面均匀带电,电荷面密度分别为σ1和σ2.试求大的半球面所对应的 底面圆直径上的电势分布.