2020高考数学异构异模复习第四章三角函数4-3三角函数的化简与求值撬题理

2018高考数学异构异模复习考案 第四章 三角函数 4.3 三角函数的化简与求值撬
题 理
1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－
32
B.32
C ．－12
D.12
答案 D
解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝1
2.
2．化简cos40°
cos25°1－sin40°＝( )
A ．1 B. 3 C. 2 D ．2
答案 C 解析 原式 ＝
cos 220°－sin 2
20°
cos25°sin 220°－2sin20°cos20°＋cos 2
20°
＝cos 2
20°－sin 2
20°
cos25°cos20°－sin20° ＝
2sin65°cos25°＝2cos25°
cos25°
＝ 2.
3．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )
A ．－3
4
B ．－14
C.
34
D.14
答案 B 解析 ∵a ⊥b ，
∴a ·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 4.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝1
7
，则tan β的值为________．
答案 3
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝17
＋2
1－2
7＝ 3.
5．sin15°＋sin75°的值是________． 答案
62
解析 解法一：sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝62
. 解法二：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15° ＝2sin(45°＋15°)＝2sin60°＝
62
. 6．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为π
3的交点，则φ的值是
________．
答案
π6
解析 显然交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12， 故有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝1
2
，
∴23π＋φ＝2k π＋π
6，k ∈Z ， 或23π＋φ＝2k π＋5
6
π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－π2或φ＝2k π＋π
6，k ∈Z ，
又0≤φ≤π，故φ＝π
6
.
7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2
α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.
答案
26
8
解析 解法一：由2sin 2
α－sin αcos α－3cos 2
α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∵α∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝21313，sin α＝313
13
，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22sin α＋cos αsin α＋cos α2＋－sin 2α＋cos 2
α
＝
26
8
.
解法二：同解法一得2sin α＝3cos α，即tan α＝3
2，由三角函数定义令y ＝3，x ＝2，则r ＝13，又α∈
⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，故cos α＝21313.(或对式子2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0两边同时除去cos 2α得2tan 2
α－tan α－3＝0，即(2tan α－3)(tan α＋1)＝0，得tan α＝3
2
或tan α＝－1(舍)．)以下同解法一．
8．化简tan π12－1
tan
π
12＝________.
答案 －2 3
解析 原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝－⎝
⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cos π612sin π6
＝－2 3.
9.
如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角．
(1)证明：tan A 2＝1－cos A
sin A
；
(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D
2的值．
解 (1)证法一：tan A 2＝sin A
2cos A 2＝2sin
2
A
22sin A 2cos A 2＝1－cos A
sin A .
证法二：1－cos A
sin A
＝
2sin
2
A
2
2sin A 2cos
A 2
＝tan A
2. (2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B . 由(1)，有
tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D
2 ＝
1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos 180°－A sin 180°－A ＋1－cos 180°－B sin 180°－B ＝2sin A ＋2
sin B
. 连接BD .
在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ， 在△BCD 中，有BD 2
＝BC 2
＋CD 2
－2BC ·CD cos C ，
所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2
＋2BC ·CD cos A .
则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22AB ·AD ＋BC ·CD ＝62＋52－32－42
26×5＋3×4＝3
7
.
于是sin A ＝1－cos 2
A ＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫372＝
2107.
连接AC .同理可得
cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 2
2AB ·BC ＋AD ·CD
＝62
＋32
－52
－42
26×3＋5×4＝119， 于是sin B ＝1－cos 2
B ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1192＝
61019.
所以tan A 2＋tan B 2＋tan C
2＋tan D
2
＝
2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103
. 10.已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin α＝55.
(1)求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α的值；
(2)求cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎫5π6－2α的值．
解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，
所以cos α＝－1－sin 2
α＝－255.
故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22
×55＝－1010.
(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－255＝－4
5， cos2α＝1－2sin 2
α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝3
5
， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45＝－4＋3310.。