2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标11函数与方程理6

课时达标 第11讲
[解密考纲]本考点考查函数与方程的关系、函数的零点．在近几年的高考卷中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．
一、选择题
1．函数f (x )＝x 3
＋2x －1的零点所在的大致区间是( A ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)
D ．(3,4)
解析 f (0)＝－1<0，f (1)＝2>0，则f (0)·f (1)＝－2<0，且函数f (x )＝x 3
＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．
2．满足方程ln x ＋x －4＝0的x 0属于区间( C ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)
D ．(3,4)
解析 设f (x )＝ln x ＋x －4，因为f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3＋3－4>0，故零点一定在区间(2,3)内．
3．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( B ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
解析 令f (x )＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2π
π＝2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数
图象的交点一共有5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.
4．已知方程|x 2
－a |－x ＋2＝0有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为( B ) A ．(0,4) B ．(4，＋∞) C ．(0,2)
D ．(2，＋∞)
解析 依题意，知方程|x 2
－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y 1＝|x 2
－a |的图象与函数y 2＝x －2的图象有两个不同的交点．如图，则a >2，即a >4，故选B ．
5．已知函数f (x )＝e |x |
＋|x |，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( B
)
A ．(0,1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－1,0)
D ．(－∞，－1)
解析 因为f (－x )＝e
|－x |
＋|－x |＝e |x |
＋|x |＝f (x )，故f (x )是偶函数．当x ≥0时，
f (x )＝e x ＋x 是增函数，故f (x )≥f (0)＝1，由偶函数图象关于y 轴对称，知f (x )在(－∞，
0)上是减函数，值域为[1，＋∞)，作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知，实数k 的取值范围是(1，＋∞)，故选B ．
6．已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝1
2
，则f (x )＝0在区间[0,2 017]内根的个数为( C )
A ．2 015
B ．1 008
C ．2 017
D ．1 009
解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2.由f (x )＝f (－x ＋2)可知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝1
2
，所以函数f (x )＝0在区间[0,2 017]内根的个数为2 017，故选C ．
二、填空题
7．若二次函数f (x )＝x 2
－2ax ＋4在(1，＋∞)上有两个零点，则实数a 的取值范围为
__⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，52__. 解析 依据二次函数的图象有
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，
－－2a 2>1，f ，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
4a 2
－16>0，
a >1，
a <52
，解得2<a <5
2
.
8．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 017x
＋log 2 017x ，则在R 上函数
f (x )零点的个数为__3__.
解析 函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 017x
＋log 2 017x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 017内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一零点，从而函数f (x )在R 上的零点的个数为3.
9．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－a ，x ≤0，
x 2
－3ax ＋a ，x >0有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是
⎝ ⎛⎦
⎥⎤49，1 .
解析 依题意，要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x －a ＝0，即2x
＝a 必有一个根，此时0<a ≤1；
当x >0时，方程x 2
－3ax ＋a ＝0有两个不等的实根，即方程x 2
－3ax ＋a ＝0有两个不等的正实根，
于是有⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝9a 2
－4a >0，3a >0，
a >0，
解得a >4
9
，
因此，满足题意的实数a 需满足⎩⎪⎨⎪
⎧
0<a ≤1，a >4
9，即4
9
<a ≤1． 三、解答题
10．设函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；
(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2
－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1． 所以函数f (x )的零点为3或－1．
(2)依题意，ax 2
＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根， 所以b 2
－4a (b －1)>0恒成立，
即对于任意b ∈R ，b 2
－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2
－4×(4a )<0⇒a 2
－a <0， 解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0,1)．
11．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2
－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；
(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．
解析 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， 因为y ＝f (x )是奇函数，
所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2
－2(－x )]＝－x 2
－2x ，
所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x ≥0，
－x 2
－2x ，x <0.
(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2
－2x ＝(x －1)2
－1，最小值为－1； 当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2
－2x ＝1－(x ＋1)2
，最大值为1．
可作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，根据图象，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．
12．已知函数f (x )＝－x 2
＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e
2
x
(x >0)．
(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．
解析 (1)∵x >0时，g (x )＝x ＋e 2
x
≥2e 2
＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值
域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e 时，y ＝g (x )－m 就有零点．所以m 的取值范围是[2e ，＋∞)．
(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e
2
x
(x >0)的大致图象．
∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2
. ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2
.
故当m －1＋e 2
>2e ，即m >－e 2
＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．
∴m 的取值范围是(－e 2
＋2e ＋1，＋∞)．。