托勒密定理及逆定理的证明

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托勒密定理及逆定理的证明:
托勒密定理：如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对 角线的乘积.
因此△ ABK DBC ,
同理也有厶 ABD KBC 。

因此 AK/AB = CD/BD ，且 CK/BC = DA/BD ; ( 1)
因此 AK- BD = AB • CD ，且 CK- BD = BC • DA ;
( 2) 两式相加，得 (AK+CK - BD = AB- CD + BC- DA ; 但 AK+CK = AC ，因此 AC- BD = AB- CD + BC- DA 。

证明：设四边形 ABCD 有外接圆O,AC 和BD 相交于P , / CPD= a (图3- 107).若四边形 ABCD 的四边都相等，则四边形 ABCD 为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立.若四边不全相等，不 失一般性，设AB<AD.在弧AD 上取一点 E,使DE=AB ,连结AE , BE , DE 」AE
// BD ，于是△ ABD
EDB ，从而 AD=BE .
1 S 四边形 ABCD = AC x BD x sin a 2
1
又 S 四边形 BCD =
( BE X BC+D X CD sin / EBC
2 而 S 四边形ABCD =S 四边形BCDE ,
1 1
所以一 (BE X BC+D X CD sin / EBC — AC x BD x sin a 2 2
即(AD X BC+AB X CD)sin / EBC=AC X BD X sin a . 由于/ a = / DAC+ / ADB= / DBC+ / EBD= / EBC , 所以 AD X BC+AB X CD=AC X BD . 在弦BC 上，圆周角/
BAC = / BDC , 而在AB 上，/ ADB = / ACB 。

在AC 上取一点 K ，使得/ ABK =
/ CBD ; 因为/ ABK + / CBK = / ABC =
/ CBD + /
ABD , 所以/ CBK = / ABD 。

所以BE - ,AB
即 BE • AC-AB CD (1) CD AC
又有比例式 AB = A E •得： AB = AC AC A AE AD
证明：
设 A
托勒密定理逆定理的证明：
证明：在任意四边形ABCD中，连接AC,取点E使得/ 1= / 2 (即/ ABE= / ACD ) / 3= / 4 (即/ BAE= / CAD ,) 则厶ABE ACD
而/ BAC= / 1+ / EAC，/ DAE= / 2+ / EAC
得/ BAC= / DAE
所以△ ABC s\ AED相似.
得：BC= AC 即ED-AC=BC AD (2)
ED AD
且/ 5= / 6
⑴+⑵,得
AC(BE+ED)=AB・ CD+AD BC
又因为BE+EI>BD
得: AB- CD+AD BO AC- BD
当BE+ED= BD时，点B, E, D共线
此时因为/ 3= / 4，/ 5= / 6
在厶ABC 中，/ 1+ / 2+ / EAC+ / 3+ / 6=180 0
得：/ 1+ / 2+ / EAC+ / 4+ / 5=180 0
即/ BAD+ / BCD=180 0
得此时，A, B, C, D四点共圆。

(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即托勒密定理”)
所以命题得证。