昌平区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

昌平区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知命题p ：“∀x ∈R ，e x ＞0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0﹣2＞x 02”，则（ ）
A ．命题p ∨q 是假命题
B ．命题p ∧q 是真命题
C ．命题p ∧（￢q ）是真命题
D ．命题p ∨（￢q ）是假命题
2． （m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1） C
．
D
．
3． 若关于x 的不等式07|2||1|>-+-++m x x 的解集为R ，则参数m 的取值范围为（ ） A ．),4(+∞ B ．),4[+∞ C ．)4,(-∞ D ．]4,(-∞
【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题，强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的应用，属于中等难度.
4． 已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞2
B ．m ＞4
C ．m ＞6
D ．m ＞8
5． 若复数满足
7
1i i z
+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -
6． 下列四个命题中的真命题是（ ）
A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示
B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=-- 表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程
1x y
a b
+=表示 D ．经过定点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示
7． 函数f （x ）
=﹣lnx 的零点个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8． 已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a
的 取值范围是（ ）
A ．(1,)-+∞
B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)- 9． 直线在平面外是指（ ） A ．直线与平面没有公共点 B ．直线与平面相交
C ．直线与平面平行
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
D ．直线与平面最多只有一个公共点
10．（）0﹣（1﹣0.5﹣2
）÷
的值为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．
D ．
11．设F 1，F 2分别是椭圆+
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠F 1PQ=60°，
|PF 1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ． 14．已知点E 、F 分别在正方体 的棱上，且, ,则
面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .
15．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．
16．等比数列{a n }的公比q=﹣，a 6=1，则S 6= ．
17．已知[2,2]a ∈-，不等式2
(4)420x a x a +-+->恒成立，则的取值范围为__________. 18．函数y=1﹣（x ∈R ）的最大值与最小值的和为 2 ．
三、解答题
19．已知函数
，
．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．
20．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．
21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求a的值．
22．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2）．（1）求f（1）的值；
（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；
（3）在（2）的条件下，若f（5）=﹣1，求f（x）在[3，25]上的最小值．
23．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；
（2）求f （x ）在[﹣2，﹣]的最值．
24．（本小题满分16分）
给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x =- （1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；
（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．
昌平区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：命题p：“∀x∈R，e x＞0”，是真命题，
命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，即﹣x0+2＜0，
即：+＜0，显然是假命题，
∴p∨q真，p∧q假，p∧（￢q）真，p∨（￢q）假，
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数的性质，解不等式问题，考查复合命题的判断，是一道基础题．
2．【答案】C
【解析】解：不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，
即（m+1）x2﹣（m﹣1）x+3（m﹣1）＜0对一切x∈R恒成立
若m+1=0，显然不成立
若m+1≠0，则
解得a．
故选C．
【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0只需．
3．【答案】A
4．【答案】C
【解析】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）
∵函数的定义域为[0，2]
∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m
由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；
f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②
由①②得到m＞6为所求．
故选C
【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值
5． 【答案】A 【解析】
试题分析：42731,1i i i i i ==-∴==-,因为复数满足7
1i i z +=,所以()1,1i i i i z i z
+=-∴=-，所以复数的虚部为,故选A.
考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算. 6． 【答案】B 【解析】
考
点：直线方程的形式.
【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 7． 【答案】B
【解析】解：函数f （x ）=﹣lnx 的零点个数等价于
函数y=与函数y=lnx 图象交点的个数， 在同一坐标系中，作出它们的图象：
由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1 故选B
8． 【答案】A
【解析】
考
点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.
【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
9． 【答案】D
【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交， ∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点． 故选D ．
10．【答案】D
【解析】解：原式=1﹣（1﹣）÷
=1﹣（1﹣
）÷
=1﹣（1﹣4）×
=1﹣（﹣3）×
=1+
=．
故选：D．
【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题，解题时应细心计算，是易错题．11．【答案】D
【解析】解：设|PF1|=t，
∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°，
∴|PQ|=t，|F1Q|=t，
由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|，
由对称性可知，PQ垂直于x轴，
F2为PQ的中点，|PF2|=，
∴|F1F2|=，即2c=，
由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t=t，
∴椭圆的离心率为：e===．
故选D．
12．【答案】C
【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，
故外接球半径为，外接球的体积为，
故选C．
【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x ∈R ，x 2
﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是：
．
故答案为：．
14．【答案】
【解析】延长EF 交BC 的延长线于P ，则AP 为面AEF 与面ABC 的交线，因为，所以
为
面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角。

15．【答案】乙 ，丙
【解析】【解析】
甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。

故答案为：乙，丙。

16．【答案】 ﹣21 ．
【解析】解：∵等比数列{a n }的公比q=﹣，a 6=1，
∴a 1（﹣）5
=1，解得a 1=﹣32，
∴S 6=
=﹣21
故答案为：﹣21
17．【答案】(,0)(4,)-∞+∞
【解析】
试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2
a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可，设关于的函数44)2(24)4(x f(x)y 2
2+-+-=-+-+==x x a x a x a 对任意的2]，[-2a ∈，当-2a =时，044)42(x )2(f(a)y 2>++--+=-==x f ，即086x )2(2
>+-=-x f ，解得4x 2x ><或；当2
a =时，044)42(x )2(y 2
>-+-+==x f ，即02x )2(2
>-=x f ，解得2x 0x ><或，∴的取值范围是
{x|x 0x 4}<>或；故答案为：(,0)(4,)-∞+∞．
考点：换主元法解决不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简
洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在2]，[-2
a ∈时恒成立,只要满足在2]，[-2a ∈时直线在轴上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体范围.
18．【答案】2
【解析】解：设f（x）=﹣，则f（x）为奇函数，所以函数f（x）的最大值与最小值互为相反数，
即f（x）的最大值与最小值之和为0．
将函数f（x）向上平移一个单位得到函数y=1﹣的图象，所以此时函数y=1﹣（x∈R）
的最大值与最小值的和为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）由已知
当，即，时，
（Ⅱ)当时，递增
即，令，且注意到
函数的递增区间为
20．【答案】
【解析】解：（1）因为函数f（x）=ax2+blnx，
所以．
又函数f（x）在x=1处有极值，
所以即
可得，b=﹣1．
（2）由（1）可知，其定义域是（0，+∞），
且
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA==，
又∵A∈（0，π），
∴A=；
（Ⅱ）∵cosB=，B∈（0，π），
∴sinB==，
由正弦定理=，得a===3．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．22．【答案】
【解析】解：（1）令x1=x2＞0，
代入得f（1）=f（x1）﹣f（x1）=0，
故f（1）=0．…（4分）
（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，
由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（）＜0，
即f（x1）﹣f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分）
（3）因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
所以f（x）在[3，25]上的最小值为f（25）．
由f（）=f（x1）﹣f（x2）得，
f（5）=f（）=f（25）﹣f（5），而f（5）=﹣1，
所以f（25）=﹣2．
即f（x）在[3，25]上的最小值为﹣2．…（12分）
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）=x 3+3ax 2
+bx ， ∴f'（x ）=3x 2
+6ax+b ，
又∵f （x ）在x=﹣1时有极值0， ∴f'（﹣1）=0且f （﹣1）=0， 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a ﹣b=0，
解得：a=，b=1 经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x ）=3x 2
+4x+1，
令f'（x ）=0得x=﹣或x=﹣1，
又∵f （﹣2）=﹣2，f （﹣）=﹣
，f （﹣1）=0，f （﹣）=﹣
，
∴f （x ）max =0，f （x ）min =﹣2．
24．【答案】（1） 2a = （2） a ≥2（3）两个零点． 【解析】
试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′
，解得2a = ，需验证（2） ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′
≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：2
41
x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()241x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数
()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <，
4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数
试题解析：（1） ()2a
f x x x
=-′
由已知，(1)0f =′
即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意 所以 2a = ………………………………………4分
因为(]0,1x ∈，所以[)1
1,x ∈+∞，所以2min
112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分
（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为(
)22ln 6m x x x x =--+
所以(
)
)(
)1222
221x m x x x x
+=--==′ ………12分
当()1,0∈x 时，()'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m
所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分 32
41-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（） ，8424
8
12(21))0e e e m e e -++-=>（
44
42()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：
函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，
所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分 考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性 【思路点睛】
对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．。